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Sur l’équation d’ondes du corpuscule de spin total
maximu h/2π possédant plusieurs états de masse
Gérard Petiau
To cite this version:
SUR
L’ÉQUATION
D’ONDES DU CORPUSCULE DE SPIN TOTALMAXIMU h/203C0
POSSÉDANT
PLUSIEURSÉTATS
DE MASSEPar GÉRARD PETIAU,
Institut Henri Poincaré.
Sommaire. - La
méthode introduite par M. J. Van Isacker et permettant d’affecter aux différentes
représentations irréductibles de l’équation d’ondes du corpuscule de spin total
maximum h/203C0
des coeffi-cients de masse propre différents est étendue au cas où le système de matrices caractérisant le corpuscule est défini dans un espace à cinq dimensions. On montre que, dans ce cas, on peut obtenir une équationd’ondes générale dont les représentations irréductibles correspondent à un méson de Möller-Rosenfeld
à la fois vectoriel et pseudo-scalaire de masse m1, à un méson scalaire de masse m2, à un méson vectoriel et à un méson pseudo-vectoriel de masses m3 et m4. Le procédé utilisé permet également d’attacher
aux différentes représentations irréductibles des états de charge électrique ou de moment
électro-magnétique propre différents.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. SÉRIE VIII, TOME IX,
JUILLET-AOÛT-SEPTEMBRE
1948.La théorie du
corpuscule
despin
total maximum!3-27,,
représente
l’évolution de cecorpuscule
par lesfonc-tions d’ondes
6b,
solutions d’uneéquation
d’ondes(1)
de la forme
où
A~
représente
lequadripotentiel-vecteur
d’unchamp
électromagnétique
extérieuragissant
sur lecorpuscule
de masse m, et de
charge
e.Le
système
desquatre
matrices r~ est définipar la relation
Par combinaison des
quatre
l’on construit unsystème
de r 26 matrices linéairementindépendantes,
système
qui
est réductible. Si l’on effectue cetteréduction,
l’on constate que l’on obtient troissystèmes irréductibles, Si,
Sn et Sode
rangs n = I o,5 et I. Par
suite,
l’équatiom
d’ondes(1) peut
être considérée comme rassemblant trois
équations
d’ondes
indépendantes
relatives à descorpuscules
différents mais
possédant
tous la même masse mo.(1) Voir par exemple : G. PETIAU, Thèse, Paris, 1936 et
Jlém. Ac. Roy. Belgique, 1936, Zfi; J. de Physique, 1939, 10, p. ~8’7; Revue Scientifique, 1945, 83, p. 67-~4.
Pour définir d’une
façon
plus précise
lesreprésen-tations
So,
Si, S,I,
l’on forme au moyen desmatrices les matrices
et l’on constate que le
système
des 126 matrices combinaisons des ri’ et des C~ admet les troiscommutateurs :
- 1
On voit facilement que les matrices
C,,
el, e2
sontinvariantes dans une transformation de Lorentz. Dans les
représentations
irréductibles,
cescommu-tateurs se réduisent à des
multiples
de l’unitéqui
sont
précisément
leurs valeurs propres.On voit facilement que les
représentations
SI,
6’n,
So de
rangs n --- I o, 5 et 1 sont caractérisées parles valeurs propres : .
L’équation
d’ondes(1)
a été utiliséejusqu’ici
pour
représenter
soit lephoton
de la théorie de la246
lumière de 1I. Louis de
Broglie (2),
soit les différentstypes
de. mésons(3).
Dans sa théorie du
photon,
1I. L. deBroglie
attribue à ce
corpuscule
une masse mo infinimentpetite
etinterprète
lareprésentation
SI commecorrespondant
auphoton
maxwellien,
tandis que lareprésentation
Sjicorrespondrait
à unphoton
nonmaxwellien non considéré
jusqu’ici.
Lareprésen-tation
So
serait liée auphoton lorsque
celui-ci est dans un état annihilé danslequel
tous ses caractèresobservables
disparaissent.
Dans la théorie du
méson,
on a considéré larepré-sentation
Si
pour formerl’équation
d’ondes desmésons dits vectoriels ou
pseudo-vectoriels,
tandisque la
représentation
5’ncorrespond
aux mésonsscalaires ou
pseudo-scalaires.
Lareprésentation So,
singulière
est écartée comme nonphysique.
Récemment,
1~~. Van Isacker(4)
aremarqué
quel’on
pouvait
introduire,
dansl’équation (1)
au lieude l’invariant m o c =
mu un,e matrice Mc
éga-lement
invariante,
formée par combinaison dedo,
el
etC,
avec des coefficientsrespectifs
telsqu’après
réduction du
système,
les diversesreprésentations
apparaissent
avec les masses mo, ml, m2.Posant .
ces conditions nous donnent, pour déterminer
À1,
a.2
lesystème
linéaired’où nous tirons
et, par
suite,
Nous avons montré antérieurement
que
pour50,
on a
C
_ - i, r~ = o,l’équation (1)
se réduisant àCette
équation
nepouvait
admettre pour solutionque 4> = o à moins que l’on ait mo =
o, ce
qui
entraînerait
également
une masse nulle pour lesreprésentations
SI
etIci,
avec la méthode de :B1. VanIsacker,
nousécrivons, au lieu de
(1),
(2) Louis de BROGLIE, Une nouvelle théorie de la lumière,
I et II. _
(3) 1. Proc. Roy. Soc., A, 1939,173, p. 9I.
(~) lI. VAX IsACKER, C. R. Acad. Sc., Paris, 23 juin
224,
et nous pouvons poser mo - o de
façon
à satisfaireà
(9)
avec (Dquelconque
sans pour cela annuler la masse dans lesreprésentations
Si etM. Van Isacker a considéré que cette
propriété
permettait
de définir une vraie solution d’annihi-lation. Ceci nous semble assez discutable car, enréalité,
l’équation (9)
disparaît
complètement
et l’onne
peut
direqu’elle
permet
de définir une solutionpossédant
les caractèresqu’il
semble que l’on doive attribuer à la fonction d’annihilation : fonction d’ondes invariante et constante.Il nous semblé
plus
intéressant,
dans cebut,
d’examiner le cas où nous prenons à la fois n1o = o
et m2 = o avec o.
La réduction du
système
nous donnealors,
à côtéde la
représentation
Si
correspondant
auphoton
maxwellien de M. L. de
Broglie,
unsystème
pseudo-scalaire dont les fonctions d’ondes sont un
pseudo-invariant
I2
et . unpseudo-vecteur
Su satisfaisantaux
équations
d’ondes1...’ état annihilé
pourrait
être caractérisé par la solu-tion12
= const.et,
par un,e fonction vectorielle dedivergence
nulle,
pouvant
d’ailleurs êtreidenti-quement
nulle.Au
point
de vue de la théorie duméson,
si l’on écarte lesystème (9) correspondant
à50
comme nonphysique, l’équation (10)
devient,
faisant m o = o :et
permet
dereprésenter
un mésonprésentant
simultanément un état vectoriel de masse m, et unétat
pseudo-scalaire
de masse m2.Si l’on veut introduire simultanément les
quatre
types
de mésons considérés par N.Kemmer,
l’équa-tion
(10)
nepeut
suffire.Toutefois,
nous remarquons que obtiendraune théorie
satisfaisante,
si nousconsidérons,
au lieude
(1), l’équation
de même formemais étendue à
cinq
dimensions enposant
encorecomplétée
par les conditionsLes r:x forment un
système
de 5 matrices liées par les relationsPar combinaison des Tx et des
Cx===~(r~2013i,
indépen-dantes
(5)
commutant toutes avec lescinq
commu-tateurs :
où
Aux valeurs propres de ces
matrices,
corres-pondent
cinq représentations
irréductibles :So,
SI,
SHI, Siv
de rangs n =i, 15,
6,
z o et 10 suivantle tableau de
correspondance.
Considérant ces
représentations,
nous pouvonsgénéraliser
leprocédé
de Van Isacker enrem-plaçant l’équatioI1 (13)
parl’équation
, oùNous déterminons les coefficients en résolvant le
système
--d’où nous tirons
et,
parsuite,
Par réduction du
système
{16),l’équation
d’ondes(18)
nous donnera
cinq
équations
d’ondes dont lescoeffi-cients de masse seront mo, Ml, ~2? m3 ~4’
(5) Pour l’étude détaillée de la réductibilité du système (16)
noir G. PETIAU, Revue Scientifique, 1945, 83, p. 67-74.
Nous obtenons ainsi :
1° Avec la
représentation
So
de rang i, uneéqua-tion
unique qui
s’écrit encoreSi nous posons m, =
o, nous pouvons encore
dire,
avec M. Van
Isacker,
que nous écrivons uneéqua-tion admettant pour solution une fonction d’annihi-lation ou bien considérer que nous éliminons ainsi
cette
équation
de caractère nonphysique.
2~ Avec la
représentation
SI
de rang n =15,
nous avons une
équation
d’ondesreprésentant
unméson vectoriel dans
l’espace
R,.
Cetteéquation
nous
donne,
dansR4
avec la condition(15),
leséquations
desphotons
maxwellien et nonmaxwel-lien de 1B1. L. de
Broglie
avec le terme de masse commun m1 ou encore le méson deMöller-Rosenfeld,
réunion d’un méson vectoriel et d’un méson
pseudo-scalaire
possédant
les mêmes constantes d’interactionavec la matière. On montre, dans ce cas, que les
fonctions d’ondes se
représentent
par un vecteurO«
à
cinq composantes
et par un tenseurantisymé-trique
du second ordre 10compo-santes
(a,
~.
=1, 2, 3,
4,
5).
L’interaction avec unnucléon caractérisé par des
grandeurs
cova-riantes
U«,
s’écritet se
décompose
dansR4
en donnantc’est-à-dire les termes d’interaction
correspondant
àun méson vectoriel et à un méson
pseudo-scalaire
avec seulement deux constantesf
et g,
tandis quela considération
indépendante
des interactions parmésons vectoriels et par mésons
pseudo-scalaires
conduit à écrire ’
en introduisant
quatre
constantes gl, g2,fi,
/2-30 La
représentation
Sll
de rang n = 6correspond
à un méson scalaire
possédant,
dansl’espace
R5,
une fonction d’ondes à 6
composantes :
uninva-riant
~o,
un vecteur ~~ àcinq composantes.
Ces fonctions d’ondes satisfont ausystème
et nous donnent, dans
R .d’une part,
unsystème
scalaire
et, d’autre
part,
tenantcompte
de la condition(15),
2013
W =248
Cette
équation
estsatisfaite,
soit si nous posons~5
=o, soit si nous posons m2 = o.
Mais cette dernière condition nous donne, pour
le
système
(28)
deR4,
et nous conduit à considérer la fonction
4).
inva-riante et constante. Cette fonction nous sembleconstituer une fonction d’annihilation
possédant
lescaractères convenables et mieux définie que la solution de M. Van Isacker.
(1 0
Avec lesreprésentations
etSiv
de rangs I o,nous obtenons deux
équations
d’ondescorrespondant
à des mésons l’un
vectoriel,
l’autrepseudo-vectoriel,
définis dansR5
etgardant
leurs caractères dansR4.
L’application
de la méthode de M. Van Isackerpour
l’adaptation
de facteurs de masse différentsaux différentes
représentations
nouspermet
doncd’obtenir,
àpartir
dusystème
des matrices ducorpuscule
despir
totalmaximum -
définies dansl’espace
àcinq
dimensions,
unsystème
dequatre
mésons de masses distinctes : un méson delllôller-Rosenfeld de masse m,
composé
d’un méson vectorielet d’un méson
pseudo-scalaire
associés,
un mésonscalaire de masse m2, deux mésons de masses m3
et m4 l’un
vectoriel,
l’autrepseudo-vectoriel.
L’hypo-thèse m~ ~ o
permet
de trouver une solutiond’annihilation
possédant
des caractères convenables.L’examen du tableau des valeurs propres des commutateurs du
système
algébrique
des rx montre que lacondition C,
= - i ramène lesystème
auxreprésentations
So
etSl
donnan,t lesystème
deséquations
duphoton
de M. L. deBroglie
avec,si Mo - o la solution d’annihilation de M. Van
Isacker ou la théorie du
méson.de
Môller-Rosenfeld.La condition i
ramène,
aucontraire,
lesystème
aux deux mésons vectoriel etpseudo-vectoriel et au méson scalaire donnant, si nous
faisons m2 = o une fonction d’annihilation
accep-table.
Les conditions I,
t?2
= 3,e3
=-3 écartent lareprésentation
Si,
de rang 6 et ne laissentsubsister que les deux mésons vectoriel et
pseudo-vectoriel le terme de masse s’écrivant alors
La théorie considérée
permet également
d’intro-duire unsystème
possédant
des états decharge
différents suivant les
représentations
en écrivant lesystème
(18)
sous la f ormeen
désignant
par E la matrice decharge
électrique
telle que
L’introduction de cette matrice attribue les
charges
eo, el, e2, e3. e4, > o, o ou nulles aux diffë-rentesreprésentations.
Toutefois,
on voitimmédia-tement que e, n’intervient pas et
peut
êtrepris
nulcar les matrices ra sont toutes nulles dans la
repré-sentation
So.
L’équation
(32)
estcompatible
avec la conditiond’invariance de
jauge
dupotentiel
électromagnétique.
Eneffet,
soitF étant un
scalaire,
l’équation (32)
s’écritT’osant
nous en tirons
et tenant
compte
de la commutation de E et des1~,
De même, en
posant
nous pouvons associer des moments
magnétiques
propres avec différentes
représentations
enajoutant,
dans
l’équation
d’ondes(32),
le terme d’interactionG
