Sur l'approximation non relativiste de l'équation d'ondes du méson dans un champ de force central

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Sur l’approximation non relativiste de l’équation d’ondes

du méson dans un champ de force central

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR L’APPROXIMATION NON RELATIVISTE DE

_{L’ÉQUATION}

D’ONDES DU

MÉSON

DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRAL

Par M.

_GÉRARD

PETIAU.

(Institut Henri-Poincaré.)

Sommaire. 2014 Nous

nous proposons dans ce travail de préciser la forme _approchée de _{l’équation} d’ondes du méson

_corpuscule

de spin

$$ h/203C0)

placé dans un _champ de force central lorsque l’on se limite à

une _{première approximation} à _{l’équation} de _{Schrödinger, à partir} des _équations du méson sous la forme matricielle dans la représentation de M. L. de Broglie. Nos calculs seront _analogues à ceux _qui sont

ordinairement _{effectués pour le traitement de} ce _problème dans la théorie de l’électron de Dirac et qui

conduisent à la considération de l’interaction du type spin-orbite. Les _{propriétés corpusculaires} parti-culières du méson nous _permettront de mettre en évidence, à côté de l’interaction _spin-orbite, une

interaction d’un _type nouveau s’exerçant par l’intermédiaire d’un tenseur _symétrique du second ordre caractérisant avec le _{spin l’approximation} non relativiste du méson.

1 1.

Approximation

non relativiste dans la

théorie de l’électron de Dirac. -

L’équation

d’ondes

déterminant l’évolution de

_l’on.de

représentant

le

_corpuscule

de

_spin

2013,

dans un

champ

électrique

de

_potentiel

scalaire constant

central

_{V(r), eV(i-)}

=

L~ (r),

s’écrit

où

Le

_{potentiel C~~r)}

étant

_indépendant

du

_temps,

nous _{pouvons poser}

9i,j

(x,

~,

z)

étant solution de

Nous

_séparerons

dans cette

_équation

les ondes

correspondant

aux valeurs 1, 2 de

l’indice j

des

matrices p et nous écrirons

pour

Nous ôlJtenons ainsi au lieu de

_(2),

ic double

systèmes

Si nous

_séparons

dans ~’ le terme

_d’énergie

ciné-tique

E du terme de masse _propre

_rrl,C2

en écrivant

le

_système

₍₃₎

s’écrit encore

Posant

277

Nous obtenons immédiatement

et en

_reportant

dans la seconde

_{équation (4)}

Cir, l’on a

et

Introduisant le moment orbital L de

_composantes

et

_remarquant

_que

nous obtenions

et l’onde CP2 se trouve _{déterminée par}

_{l’équation}

Connaissant 92’ ~1 se détermine alors _par

_(5).

On

_peut

d’ailleurs obtenir directement une

équa-tion _{satisfaite par 91.} En

_effet,

₍₄₎

donne

et

où

et avec

Les

_équations

₍₆₎

et

₍₈₎

sont des

_équations

rigou-reuses obtenues sans intervention

_{d’approximations.}

Nous allons faire maintenant considérer des

approximations

de différents ordres en

consi-dérant E - Cl comme

_petit

devant

_moc2

et en

déve-loppant

f(r)

suivant

L’équation (6)

nous donne alors des

approxi-mations successives :

~x.

c’est

_{l’équation}

de

_{Schrôdinger.}

~

b. En retenant le second terme de

_1(r)

~

ou encore au

même

degré d’approximation

Cette

_{équation correspond à l’équation}

de

SchrÕ-d,inger corrigée

par : ,

x. Un terme

en ’ ’

_{correspondant à}

une

première

correction de relativité.

~.

Un ternie en

_1J§.

_{caractéristique}

de l’électron

de Dirac dans

_lequel

l’action du

_spin

se manifeste

par l’intervention du terme

_{(L cr)}

traduisant un

couplage

entre le moment orbital L et le

_{sp*ln h}

cr.

2. Théorie du mésons. - En théorie du méson

le

_{problème analogue}

au

_{précédent présente}

un

intérêt

_particulier

tenant au _{fait que,} alors

_qu’à

l’approximation

non relativiste l’électron ne diffère

du

_{corpuscule classique}

_{que par l’existence de la}

grandeur

spin,

le

_méson,

à la même

approximation

est _{caractérisé par} son

_spin

et en outre _par un tenseur

symétrique

du second ordre

_{(dans l’espace à}

trois

dimensions).

Ceci résuite immédiatement des

_propriétés

des matrices de

_spin

_que nous avons étudiées en détail

par ailleurs

(Thèse,

Paris

1936

et

Mémoires,

Ac. roy. Sc.

_Belgique,

t.

_16,

_1936;

C. R. Acad.

Se., Paris,

r 5 décembre

_IgQI,

p.

863-86~).

Alors que dans le

278

système complet

1, c~, c~, (13 telles que

les matrices

_{Si, Sz,}

S3

du

_spin

h

forment un

_système

2 TT

lié par les relations

’

et, par

suite,

l’algèbre (réductible)

des

Si

comporte

les dix matrices

Ce

_système

est réductible et admet le

commu-tateur

qui possède

les valeurs propres

Pour

=-

3,

on a

la

_{représentation}

se réduit à la

matrice

unité

repré-sentant le

_spin

zéro.

Pour -

i on a une

_{représentation}

irréductible

avec

La

_{représentation}

est alors du troisième rang et

les

formules

générales

que nous avons établies _par

ailleurs

_{(C. R.}

Acad.

Sc., Paris,

15

_{dé«cmbre I9Qi,}

p.

863-865),

donnent

Les matrices Si

correspondant

au vecteur de

spin

de

_composantes

ô,

on voit facilement que

21: ..

la

_grandeur

dont les

_composantes

sont

_*

_{Si,j ut}

v*

Si,i

~,

représente

un tenseur

_symétrique

du second

ordre et la

_relations

= i montre _{que la} trace de

ce tenseur est

_égale

à la densité de

présence ~.;~*

rf.

Le méson est donc caractérisé et’une

_façon

intrin-séque

à

_{l’approximation}

non _{relativiste par le} vecteur

de

_spin

et _par un tenseur

_symétrique

du second

ordre.

Nous

_{représenterons}

le méson _{par les solutions}

_ut

de

_{l’équation}

d’ondes des

_corpuscules

de

spin

-2TT

de M. Louis de

Broglie

avec

Les constituent deux

systèmes

de matrices de Dirac tels _que

Nous écrirons encore les matrices a, en

intro-duisant leurs

_expressions

au _{nioyen de} matrices

a-et _{p du second rang,} soit _{ap - a P Pl, C-4} =

c; 0 P3, d’où des

_{in,dices i~, il, k2, k,}

ne variant que sur i

et 2 dans la fonction

d’onde

les indices

_{’l’ Í2}

_{correspondant}

aux matrices (1,

les indices

_{ki, ~°2}

aux matrices p.

Dans le

_champ

de force centrale

_U(r),

le

_problème

étant

_statique,

nous aurons

Nous

_séparerons

encore dans

_l’énergie

W le terme

279

Posant alors

pour

l’équation (1)

se

_décomposera

en

_{quatre systèmes}

que nous écrivons

en

_posant

0"(1),

Q(2~ _pour

_~~~i2n2g.

Les deux

dernières de ces

_équations

nous donnent

et en

_reportant

dans les deux

_premières

14a

_première

de ces

_équations

s’écrit encore

et nous _poserons

de telle sorte _que

nous

_donnera,

si E - v’ est

_petit

devant le

développement

L’équation (Q)

s’écrira encore

Cette

équation

nous

_permettra

la détermination

de en fonction de Y,2 _par un _processus

d’approxi-mations successives en

_posant

et en écrivant pour

déterminer

les termes de ce

développement

d’où

-

Reportant

ce

_{développement}

_{de PlI}

dans la

seconde

équation (3),

nous obtenons

_pour

déterminer

l’équation

Les deux

_premiers

termes

_{correspondent}

à

l’équa-tion de

_Schrôdinger

_classique,

_{tandis que} ceux du

dernier _groupe traduisent les corrections relativistes

et les corrections dues à la structure

_quantique

du

corpuscule.

Nous allons calculer le

_premier

de ces terme correctif

nous tirons

et nous devons

appliquer

cet

_opérateur

~, Ir

Le

_premier

terme nous donne

_{immédiatement}

Le second terme nous donne

Or

d’oii,

en introduisant le moment orbital

et le

_spin

du méson par

’

remarquant

que

(xP)

=

à

l’expression

de _ce

rr°

terme sous la

forme

Nous retrouvons ici un terme d’interaction

spin-orbite en théorie du méson.

-

Le

troisième

terme nous donnera

Nous introduirons les matrices

et nous- écrirons

Posant encore

le terme considéré s’écrit

Nous avons vu _que dans une

_{représentation}

irré-ductible non triviale du

_système

des

_{matriccs q}

= i.

Il reste alors _pour le terme considéré

’

Dans la

_{représentation}

de

_spin

zéro,

Si,i

=-- _i,

Si,,

- _o

(i ~ j)

et il reste

’

b. Nous devons calculer

Or

Développant

le

_produit

de ces termes et tenant

_compte

des lois de

_composition

des matrices

_{Si,i, Si,;}

déduites de celles des (7,

posant

LI.

=

XiP¡- Xj pi, nous obtenons

ou encore

281

ou encore

Nous avons vu _{que dans} une

_{représentation}

irréductible non triviale _g = 1. Nous

B

2/TT

obtenons alors dans ce cas

_{l’équation approchée}

L’équation

de

_Schrôdinger

se trouve ainsi en

première

approximation

complétée

par trois sortes

de termes.

a. Des .termes

_{indépendants}

des indices de

_spin

traduisant les corrections de relativité et intro-duisant en outre une interaction non _{centrale par}

b. Des termes

_dépendant

du

_spin

_{qui. s’introduit}

comme dans le cas de l’électron _{par le}

_couplage

spin-moment

orbital.

c. Des termes d’un nouveau

_type

caractérisant

le méson et traduisant ion

_couplage

tensoriel

s’intro-duisant _{par le tenseur propre}

Si,j.

Si nous introduisons le

_{développement}

de

_~(r)

on voit _que la

_{première approximation}

n’introduit que la

première

correction de

_relativité,

tandis que la seconde

approximation

introduit tous les

_types

de

_couplages

considérés.