Mouvement dans un champ de force centrale conservatif

1 1. Satellite circulaire :

Un satellite suit une orbite circulaire autour de la Terre, d’altitude h.

On donne R = 6370 km pour le rayon terrestre et K = 6,67.10

u.s.i. constante universelle de gravitation et la masse de la Terre M = 5,97.10

kg.

a) Montrer à l’aide du théorème du moment cinétique que le mouvement est uniforme. Déterminer la vitesse du satellite à partir de la RFD. Calculer numériquement la vitesse v

et la période T

d’un satellite en orbite basse, soit pour h << R.

b) La terre accomplit une rotation sur son axe en une durée j

nommée jour sidéral, avec j

= 8,61.10

s.

Dans quelle condition d’orbite aura-t-on un satellite géostationnaire ?

Réponse : a) v² = KM/(R+ h). v

= 7920 m/s = 28500 km/h. T

= 1h 24 mn 37 s (application directe du cours).

b) cours.

2. Sonde spatiale :

a. Une sonde spatiale de masse m = 200 kg a été placée sur une orbite circulaire d’altitude h = 300 km.

Quelle est l’énergie supplémentaire ∆E à lui communiquer pour que cette sonde puisse explorer le système solaire, c’est à dire se libérer de l’attraction terrestre ? Quelle est alors sa vitesse v

dans le référentiel géocentrique ? On donne K = 6,67.10

u.s.i. constante universelle de gravitation et la masse de la Terre M = 5,97.10

kg. Le rayon terrestre est de R = 6370 km.

b. Cette vitesse a été communiquée dans une direction tangente à sa trajectoire circulaire autour de la Terre. Est-ce que cette sonde pourra quitter le système solaire ? On donne le rayon orbital de la Terre autour du Soleil a = 1,5.10

m, et l’on connaît la durée d’une année terrestre.

Réponse : a. ∆E > GMm/2(R + h) ; v

= 1,09.10

m.s

; b. vitesse v

dans le référentiel héliocentrique : v

= v

+ v

où v

est la vitesse de la Terre. M

masse du Soleil à partir de la 3° loi de Kepler. v

=(GM

/a)

. v

= 4,1. 10

m.s

. Vitesse pour quitter l’attraction solaire v

= (2GM

/a)

légèrement supérieure à v

.

3. Atome de Bohr :

Soit un proton de charge +e, fixe dans le référentiel d’étude, et un électron de charge –e, animé d’un mouvement circulaire uniforme autour du proton.

1°) Montrer que le mouvement est nécessairement plan. Dans l’hypothèse d’un mouvement circulaire, montrer à l’aide du TMC que le mouvement sera alors nécessairement uniforme.

2°) L’expérience montre que l’énergie totale du système est quantifiée, c’est à dire qu’elle peut se mettre sous la forme : E = -K/n² où n est un entier positif et K une constante positive ne dépendant que des caractéristiques du système.

Montrer que le rayon de la trajectoire est quantifié, selon la loi r = n².a

où a

est le rayon de Bohr, que l’on exprimera en fonction de e, K et 

= 8,84.10

usi.

3°) Montrer que le moment cinétique L de l’électron par rapport au proton est aussi quantifié.

4°) Pour l’hydrogène, K = 13,6 eV. Calculer a

. Quelles sont les valeurs possibles pour L ?

Réponse : E = Ec + Ep = mv²/2 – e²/(4 

r). En écrivant la RFD, on exprime v, et l’on peut tirer r = e²n²/(8 

K). Le rayon orbital est quantifié.

On a ici : L = mvr, donc L = nL

avec : L

= cste. Le moment cinétique est quantifié

2 4.

:

Une particule chargée, de charge +2e et de masse m (noyau d’hélium He

, dite particule α ), est projetée avec une vitesse v

et un paramètre d’impact b (voir schéma) en direction d’une particule de masse M et de charge +Ze (noyau métallique), à partir d’une position très éloignée de ce noyau.

a. Exprimer la force d’interaction existant entre ces deux particules.

Le noyau métallique étant beaucoup plus massique que la particule α, on peut le considérer comme immobile dans le référentiel d’étude, supposé galiléen.

Montrer que le mouvement étudié est plan. Donner l’expression du moment cinétique du mobile en coordonnées polaires, et donner sa valeur en fonction de m, b et v

.

b. Une étude plus complète permet de montrer que la particule α va suivre une trajectoire correspondant à une branche d’hyperbole. Justifier que ce mouvement est conservatif.

Ecrire la conservation de l’énergie mécanique, et montrer que l’utilisation du théorème du moment cinétique conduit à construire une fonction énergie potentielle effective E

(r) telle que l’énergie mécanique s’explicite sous la forme : E

= E

(r) + 𝑚𝑟̇².

c. Tracer une allure du graphe E

(r) et visualiser la position correspondant à r

. A quel niveau le paramètre d’impact b intervient-il implicitement sur ce graphe ?

d. Déduire une relation entre v

, le rayon r

correspondant à la distance minimale d’approche et la vitesse v

dans cette dernière situation et en tirer l’expression de r

en fonction des différents paramètres du problème.

Réponse : a. F = 2Ze²/(4  or²). force centrale, L = cste. (voir cours). L = mr²(d  /dt) = mbv

. b. voir cours. c. voir cours. d.

𝑟 = 1 2

𝑍𝑒²

𝑚𝑣 ²𝜋𝜀 ± 𝑍𝑒²

𝑚𝑣 ²𝜋𝜀 + 4𝑏²

5. Vitesse d’un météore.

Un météore de masse m arrive avec une vitesse incidente v

et un paramètre d’impact b (voir schéma) en direction d’une planète de masse M = 6,0.10

kg (Terre). Sa position initiale est suffisamment éloignée de la planète pour négliger alors l’attraction gravitationnelle.

a. Exprimer la force d’interaction existant entre ces deux corps célestes. On donne G = 6,67.10

usi.

La planète étant beaucoup plus massique que le météore, on peut la considérer comme immobile dans le référentiel d’étude, supposé galiléen.

Montrer que le mouvement étudié est plan. Donner l’expression du moment cinétique du mobile en coordonnées polaires, et donner sa valeur en fonction de m, b et v

.

b. Une étude plus complète permet de montrer que le météore va suivre une trajectoire correspondant à une branche d’hyperbole. Justifier que ce mouvement est conservatif. A quel niveau sa vitesse sera-t-elle maximale ?

vo

= b

3 arrive à la même conclusion en prenant en compte le caractère central de la force d’attraction.

c. En exploitant la conservation de l’énergie, établir une relation entre v

, le rayon r

correspondant à la distance minimale d’approche et la vitesse v

dans cette dernière situation et en tirer l’expression de r

en fonction des différents paramètres du problème. Evaluer v

.

Données : v

= 5,0 km.s

, b = 2,3.10

m.s

. M = 6,0.10

kg.

Réponse :

a. En module : F = GMm/r². force centrale, L = cste. (voir cours). L = mr²(d/dt) = mbv

.

b. mouvement à force centrale, conservation du moment cinétique, vitesse maximale quand le rayon est minimal. Du point de vue énergétique, même conclusion car au rayon minimal l’énergie potentielle sera minimale, donc l’énergie cinétique sera maximale.

c. r

= 1,2.10

m (≈ 2 rayons terrestres). L = mr

.v

donne v

.

6. Mouvement d’un satellite terrestre :

On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6400 km et de masse M et le satellite à un point matériel(S, m) avec m = 1,0.10

kg. On suppose le référentiel géocentrique galiléen.

1°) Montrer que le moment cinétique L 

en O du satellite est une constante du mouvement. On utilise les coordonnées cylindriques (O, r, , z) avec e 

tel que L Le   

.

Montrer que le mouvement est plan et exprimer la quantité r²d/dt en fonction de L et m. Comment nomme-t- on cette grandeur ?

2°) On peut montrer que l’équation polaire de la trajectoire peut se mettre sous la forme :





e r p



 



 

cos . ) 1

( .

où p et e sont des paramètres fixés par les conditions initiales déterminant la trajectoire. La quantité θ

traduit le choix d’une origine pour l’angle polaire θ. Tracer l’allure de cette trajectoire elliptique. On notera O la position du centre de la Terre.

3°) Application : trajectoire du satellite Hipparcos. Ce satellite d’observations astronomiques devait être placé sur une orbite géostationnaire, à une altitude H = 36000 km. Un problème de mise à feu du moteur d’apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert.

L’utilisation des moteurs de positionnement a permis de le placer finalement sur une orbite elliptique de grande excentricité, son altitude variant entre h = 500 km (périgée) et H = 36000 km (apogée).

Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R. Calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.

4°) Quelle est la période orbitale du satellite ? On donne G = 6,67.10

usi et la masse terrestre M = 5,97.10

kg.

5°) Quelle serait la quantité d’énergie nécessaire, par unité de masse, pour pouvoir placer le satellite sur l’orbite géostationnaire prévue, d’altitude H ?

Réponse : 1°) 2°) voir cours. 3°) h + R = p/(1+e) et H + R = p/(1-e) ; on tire p = 1,2.10

km et e = 0,72.

4°) 3° loi de Kepler. 5°) ∆E = -GMm/2r

– GMm/2a

4 7. Masse de la Terre :

a. La valeur du champ de gravitation à la surface de la Terre est g = 9,81 m/s², le rayon terrestre R = 6,40.106 m, la constante de gravitation universelle G = 6,672.10

u.s.i. On sait que le champ de gravitation terrestre varie en raison inverse du carré de la distance r au centre de la Terre. En déduire la masse M de la Terre supposée sphérique et homogène.

b. Comparer le résultat obtenu avec celui déduit de l'étude du mouvement de la Lune : celle-ci, située à la distance a = 3,86.10

m du centre de la Terre effectue un tour complet autour de la Terre en environ 2,36.10

s (27 jours et 7 heures). On admet que le centre de la Terre peut être considéré comme l'origine d'un référentiel galiléen.

Réponse : a. Le module du champ de gravitation terrestre répond à G (r) = GM/r², avec à la surface de la Terre : G (r = R) = GM/R² = g valeur du champ de pesanteur. D’où M = gR²/G.

b. Par l'étude du mouvement de la Lune : M = 4  ²a3/(kT)². D'où m = 6,02.10

kg.

8. Vitesses de périhélie et d'aphélie :

La trajectoire de la Terre autour du Soleil est une ellipse d'excentricité e = 0,0167 et de demi-grand axe

a = 1,50.1011 m. La surface S circonscrite par l’orbite elliptique s’exprime par S = π.a.b où b est le demi-petit axe. On montre géométriquement que : 𝑏 = 𝑎 1 − 𝑒². La durée de révolution est de T = 365,25 jours terrestres.

Calculer les valeurs maximales et minimales de la vitesse de la Terre sur son orbite.

Réponse : L’étude de la trajectoire en utilisant l'équation polaire d'une ellipse donne les rayons des périhélie et aphélie ra = a(1 + e) et rp = a(1 - e). Par la loi des aires :  /m = va.ra = vp.rp = C = dS= dt = cste = 2(  ab)/T.

Les valeurs a, b et e caractérisant l'ellipse sont liées par : 𝑏 = 𝑎 1 − 𝑒² . D'où va et vp. A.N.: va = 29,4.10

m/s et vp = 30,4.10

m/s.

9. Durée d’une saison :

La Terre suit une orbite légèrement elliptique autour du Soleil, d’excentricité e = 0,0167. Sa vitesse de périhélie vaut v

= 30,4.10

m.s

et le paramètre p de sa trajectoire vaut p = 1,49.10

m.

On définit la saison « été » comme la durée séparant le passage de la Terre par la position de Solstice d’été S

et par la position d’équinoxe d’automne E

.

Calculer précisément la durée de l’été. Comparer à la durée de l’hiver, défini de façon analogue comme la

S

S

E

E

5 printemps E

Réponse : C = r².(dθ/dt) permet de tirer par intégration :

2

1

² t r d

C







   ^{. C = r}

^.v

^{avec r}

= p / (1+ e).

L’intégrale peut se calculer avec un développement limité (compte tenu de e << 1).

Δt

= 7,66.10

s et Δt

= 7,99.10

s. Vue la loi des aires, l’hiver sera de durée (légèrement) inférieure à l’été.

10. Energie sur une orbite elliptique ; retour d'un satellite :

1°) Un satellite artificiel de la Terre de masse m est placé sur une orbite elliptique. Ecrire l'expression de son énergie mécanique en fonction de sa vitesse v et de sa coordonnée radiale r. Montrer que les coordonnées radiales ra et rp de l'apogée et du périgée sont racines d'une équation du second degré dont les coefficients s'expriment en fonction de l'énergie mécanique et de la constante des aires. En déduire l'expression de l'énergie mécanique en fonction du demi-grand axe a de l'ellipse et établir la relation :

v² = go R².[(2/r) - (1/a)], où go est le champ de gravitation terrestre au sol et R le rayon terrestre.

2°) Le satellite est initialement situé sur une orbite circulaire de rayon ro ; déterminer sa vitesse vo. A son passage par un point A de l'orbite, on exerce sur le satellite dans la direction de son vecteur vitesse et de façon quasi instantanée une force qui le ralentit (rétro-fusées) ; déterminer la vitesse v1 qu'il doit prendre pour atteindre l’entrée dans l’atmosphère terrestre en un point B tel que l'angle (AOB) vaille /2 (on négligera l’épaisseur de l’atmosphère devant le rayon terrestre).

Calculer la variation d'énergie cinétique subie par le satellite.

Réponse : 1°) voir cours. ra et rp sont les racines de l'équation : Er² + G.m.Mterre.r - m.C²/2 = 0. 2°) orbite circulaire on a : r = ro = a, d'où vo par la relation précédente. En utilisant l'équation polaire de l'ellipse, avec p = R et e = 1 - R/ro ainsi que la relation précédente, on tire v1 = (go R3/ro2)

.

11. Rentrée d’un satellite dans l’atmosphère :

Un satellite de masse m = 1 tonne, décrit une orbite circulaire autour de la Terre de masse M = 6.10

kg, de rayon 6400 km.

1°) La période du satellite est de 1h 30 mn. Calculer son altitude.

2°) Les couches raréfiées de l’atmosphère induisent une force de frottement 𝑓⃗=-k. 𝑣⃗ où k = cste et . 𝑣⃗ est le vecteur-vitesse du satellite.

a) donner l’équation différentielle du premier ordre d’évolution du moment cinétique.

b) En déduire que la trajectoire est plane.

c) Le frottement étant faible, montrer que  = 

(1 – t/) pour une approximation au premier ordre, en précisant la valeur de la constante de temps .

d)  étant grand devant la période T, on admettra que la trajectoire est un cercle dont le rayon varie lentement avec le temps. Montrer que r = r

(1 – 2t/) pour une approximation au premier ordre.

e) Lors de la mission Skylab, l’altitude du satellite diminuait de 14 km par jour. En déduire l’ordre de grandeur de

la durée caractéristique . Donner la relation d’évolution de la vitesse en fonction de v

,  et t.

6 f) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique d’un satellite en orbite circulaire. Evaluer la perte d’énergie sur un tour au début de la chute.

g) En admettant que cette énergie calorifique échauffe le nez du satellite, recouvert d’une protection thermique en surface constituée d’une couche de céramique de masse 20 kg, de capacité thermique massique c = 5 kJ / kg, déterminer l’augmentation de la température sur une période.

Réponse : H = 260 km. Par le TMC : d  / dt = -k  / m. D’où  = 

exp(-t/  ) et faire un DL1.  = 22000 h = 2,5 ans.

E = -GMm/2r = (-GMm/2r

) (1 + 2t/  ) par un DL1. Sur la durée d’un tour  t = T :  E = 4260 kJ et donc  T ≈ 40 °C.

12. Lancement raté d'un satellite.

Le lancement d'un satellite terrestre de masse m sur une orbite circulaire de rayon r

a été manqué : au point de mise en orbite, le vecteur-vitesse a bien le module v

correspondant à une orbite circulaire de rayon ro, mais il fait l'angle  avec la direction ortho-radiale prévue.

L’orbite effective est alors une ellipse d’équation polaire : r = p / (1 + e.cos)

Applications numériques : G = 6,67.10

usi ; M=5,97.10

kg ; r

= 4,21.10

m ; α = 10°.

1°) a) Calculer la vitesse v

en fonction de la constante de gravitation G et de la masse terrestre M et du rayon orbital r

.

b) On donne la deuxième formule de Binet, exprimant l’accélération du satellite : u e

d

u u d C

a 

 

 



 



 ²

² ²

²  ^avec

la variable u = 1/r. C est la constante des aires. Calculer le paramètre p de l’orbite elliptique obtenue.

2°) L’énergie d’une orbite elliptique vaut E = -GMm / 2a où a est le demi grand axe de l’ellipse. On précise que le demi grand axe a = p / (1- e²), où e est l’excentricité de la trajectoire. Calculer e, et déterminer ainsi les coordonnées radiales du périgée et de l'apogée de la trajectoire en fonction de r

et . Calculer les vitesses de périgée et d’apogée. On prendra la demi-droite (OA) comme origine des angles polaires.

3°) Calculer la période T

attendue si la mise en orbite circulaire avait réussi. Comparer à la période T effectivement obtenue.

Réponse : 1°) par la RFD : Vo = (GM/ro)

.

p = C²/GM (par la 2° formule de Binet) soit comme C =  / m = roVocos  , p = rocos²  . 2°) Calculer E vues les conditions initiales. On déduit a = r

d’où e = |sin  |.

autre méthode : En dérivant l'équation polaire par rapport au temps, et compte tenu des conditions initiales et de C = r²𝜃̇ : e.sin  _{o/p = -tan}  /ro . Par ailleurs l'équation polaire donne : e.cos  o = (1/p) - (1/ro) = tan²  _{/ro. D'où} e = | sin  |.

En utilisant l'équation polaire de l'ellipse : ra = p/(1 - e) et rp = p/(1 + e). C = r

.v

= r

v

= r

V

.cos  d’où va et vp.

3°) 3° Loi de Kepler. T et T

identiques. T = 8,61.10

s