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Chapitre 13 : Mouvement dans un champ uniforme
1) Le centre de masse
On nomme système le ou les objets dont on cherche à étudier l’équilibre ou le mouvement.
Un système peut être considéré comme ponctuel si sa taille est négligeable devant l’ampleur de son mouvement ou la taille des autres corps en interaction avec lui (ex : la Terre en orbite autour du Soleil).
Si le système n’est pas ponctuel, pour simplifier l’étude de son mouvement, on le modélise alors par un point matériel appelé centre de masse (ou centre de gravité avec g supposé constant) qui est le barycentre des masses.
2) Les lois de Newton
2.1. Référentiel Galiléen
•
Définition : Un référentiel dans lequel les lois de Newton sont vérifiées est appelé référentiel Galiléen.
Rem : On admet que le référentiel terrestre est Galiléen ( ce qui est faux en toute rigueur , car il est en rotation…)
• Les référentiels terrestres :
• Le référentiel géocentrique :
Ils sont construits à partir de n’importe quel solide de référence lié à la terre (le solide doit être fixe par rapport à la terre).
On les utilisera pour étudier tout mouvement à la surface de la terre. Dans ce référentiel, le terre est IMMOBILE
Il est utilisé pour décrire le mouvement de la lune ou des satellites artificiels.
Il est définit par le centre de la terre et 3 axes dirigés vers 3 étoiles lointaines. On considère que ce sont des étoiles fixes, les axes sont donc fixes.
Dans ce référentiel , le terre a un mouvement de rotation
uniforme
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• Le référentiel héliocentrique :
2.2 Première Loi : Principe d’inertie
•
Principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme s’il est soumis à des forces qui se compensent.
•
Remarques :
→
L’état de repos et le
mouvement rectiligne uniformesont tous deux caractérisés par un
vecteur vitesse constant.Donc v = 0
Or t
a v
= donc 0 = 0
= a t
→
Un corps soumis à des forces qui se compensent est dit pseudo-isolé.
→
Un corps soumis à aucune force est dit isolé.
•
Un référentiel est dit galiléen si le principe de l’inertie y est vérifié.
•
Exemple :Dans l’ascenseur immobile (à gauche) la pomme lâchée tombe. Son mouvement n’est pas rectiligne uniforme car elle n’est pas soumise à des forces qui se compensent (il n’y a que le poids). Le principe de l’inertie est vérifié.
Dans l’ascenseur en chute libre, la pomme est immobile par rapport à l’ascenseur, pourtant elle n’est soumise qu’à une force (son poids). Donc les forces ne se compensent pas ! Le principe d’inertie n’est pas vérifié !
L’ascenseur en chute libre n’est pas un référentiel galiléen.
2.3. Deuxième Loi : Principe fondamental de la dynamique
•
Principe fondamentale de la dynamique
Dans un référentiel galiléen, si un objet ponctuel est soumis à des forces extérieures, alors le vecteur « somme des forces » F est égal à la dérivé par rapport au temps de son vecteur « quantité de mouvement » p :
•
Rem :
Seules les forces exercées par l’extérieur sur le système étudié sont à prendre en compte dans le bilan des forces.
Référentiel galiléen et référentiel non galiléen
dt p F = d
Terre
Soleil
→ F F’ →
Il est utilisé pour décrire le mouvement des astres du système solaire.
Son centre est le centre du soleil et ces 3 axes sont dirigés vers les mêmes étoiles lointaines que pour le référentiel géocentrique.
Dans ce référentiel, la Terre a un mouvement de double
rotation sur elle-même et autour du Soleil
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Exercice 1:a) On considère le système {Terre}. D’après la figure 11, Déterminer la direction et le sens du vecteur quantité de mouvement de la Terre
b) On considère le système {voiture + caravane} de la figure 11.
Parmi les forces représentées, déterminer celles que l’on appelle des forces extérieures.
c) Montrer que la relation fondamentale de le dynamique peut aussi s’écrire :
F = m a
2.4. Troisième Loi : Principe d’interaction
•
Principe des actions réciproques
Si un système A exerce sur un système B une force F
A/Balors le système B exerce sur le système A une force F
B/Atelle que :
•
Rem : Ces deux forces ont donc même direction et même intensité mais sont de sens opposés.
•
Exemple :
La force exercée par la Terre sur la Lune a même direction et même intensité que la force exercée par la Lune sur la Terre.
/ 2 /
L T
T L T
L L
T
d
M G M
F F
−
=
=
Par contre ces deux forces sont de sens opposés.
Exercice 2:
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3) Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
3.1. Notion de champ UNIFORME
La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté g . De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître une force qui l’attire vers le centre de la Terre et d’intensité :
g m P =
Les caractéristiques du champ de pesanteur sont :
-direction : radiale
-
sens : vers le centre de la Terre
-intensité : m
gDonc, à l’échelle de la Terre, le champ de pesanteur n’est pas uniforme
( 2 vecteurs g voisins ne sont pas EGAUX : même direction, même sens et même norme)
Néanmoins, à
l’échelle humaine, on admet que ce champ peut-êtreraisonnablement considéré comme UNIFORME.
3.2. Système, référentiel
On doit , au préalable, définir le SYSTEME étudié ainsi que le REFERENTIEL dans lequel on se place. Ensuite on décrit un REPERE .
Dans notre cas , on étudie le mouvement d’une balle de tennis sur un terrain :
•
Le système : la balle
•
Le référentiel : Terrestre
•
Le repère : ( O,x,y,z ) .
3.3. Application de la 2
èmeloi de Newton
On fait le bilan des forces appliquées au solide dans le référentiel.
Considérons la balle de tennis tirée au point B de coordonnées (0 ; h) à la date t
0= 0. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. La position de la balle est repérée à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère (O, x, y,z)
D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
dt v m d dt
p
F d ( )
=
=
dt
v m d dt v
m
F = d +
Or la masse m étant constante, on aura :
dt v m d dt
v m d v
F = + =
0
D’où :
F m a
=
→ g
Figure 2 : Champ uniformeP
enN m
enkg
g
enN/kg ou m/𝑠
2→ g
→ g
→ g
Figure 1 : Champ non uniformeB
O y
v0
h x
→ g
Figure 3 : Tir d’un boulet B5/ 11
En supposant que la balle ne subisse pas de frottements ( on parle alors de chute libre ), on aura alors : F P m a
=
=
m g m a
=
a g
= Donc :
− 0 0 a g
Rem : On voit que le mouvement se déroulera dans le plan contenant Vo et g , donc dans (O,x,y) , donc dans la suite des calculs, on ne s’intéressera qu’aux coordonnées selon (O,x) et (O,y)
Dans la
•
ETAPE 1 :Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, on détermine le vecteur vitesse en recherchant la primitive de chaque coordonnée du vecteur accélération, en tenant compte des coordonnées du vecteur vitesse initiale :
+
−gt cste' v cste
Or à t = 0, on a
+
= −
' sin 0
cos
0 0
cste g
cste v
v v
donc cste = v
0cos et cste’ = v
0sin .
D’où :
+
−
sin cos
0 0
v gt v v
•
ETAPE 2 :Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on détermine le vecteur position en recherchant la primitive de chaque coordonnée du vecteur vitesse, en tenant compte des coordonnées du vecteur position initiale :
+
+
−
+
' 2 sin
1 cos
0 2 0
cste t v
gt
cste t v
OG
Or à
t
= 0, le boulet G est en B (0 ; h
) donccste = 0
etcste’ = h
D’où :
+
+
−
+
h t v
gt
t v
OG
2 sin
1
0 cos
0 2 0
• ETAPE 3 : On a obtenu les équations horaires définissant le mouvement de cette balle de tennis :
Pour l’accélération : Pour la vitesse : Pour la position :
a
x= 0 v
x= v
0cos x(t) = v
0cos t
a
y= -g v
y= – gt + v
0sin y(t) = – ½ gt
2+ v
0sin t + h
a
z= 0 v
z= 0 z(t) = 0
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Rem : Ce mouvement est plan car l’une des coordonnées du vecteur position OG ne dépend pas du temps.
•
ETAPE 4 : En combinant les équations horaires du mouvement , et en éliminant le temps, on obtient l’équation de la trajectoire y(x) :
t v
t
x ( ) =
0cos
0cos v t= x
En remplaçant dans y(t), on obtient : h
v v x
v g x x
y + +
−
=
sin cos
cos 2
) 1 (
0 0
2
0
Soit, en simplifiant : x x h
v x g
y + +
−
=
tan
cos ) 2
(
2 2 20
Remarque :L’ équation est du type : y ( x ) = ax
2+ bx + c correspond à une trajectoire PARABOLIQUE
3.4. Caractéristiques de la trajectoire
• La FLECHE : Il s’agit du sommet de la trajectoire ( donc de la parabole). Elle est atteinte lorsque la vitesse verticale devient NULLE :
v
y= – gt + v
0sin = 0 donc t =
𝑉𝑜𝑠𝑖𝑛𝛼𝑔 En remplaçant dans l’équation de la trajectoire, on a :
𝑦
𝑚𝑎𝑥=
12
×
𝑉02𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑔
• La PORTEE : La portée correspond au point P dont l’ordonnée est NULLE :
On doit résoudre l’équation :
x x h
v
g + +
−
=
tan
cos
0 2
2 2 20
Comme tout polynôme du second degré, il admet 2 solutions, l’une absurde et l’autre valide :
𝑥
𝑃=
𝑉02𝑠𝑖𝑛( 2𝛼)𝑔
Equation de la trajectoire
= flèche
portée
O
Trajectoire parabolique
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4) Mouvement dans un champ électrique uniforme
4.1. Système, référentiel
On considère une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniforme E . Système étudié : particule G
Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen
Inventaire des forces extérieures :
•
le poids P = m g
•
la force électrique F
e= q E
•
les forces de frottement de l’air f = k v
•
la poussée d’Archimède =
air V g
Avec V le volume de la particule, v sa vitesse, k une constante et
airla masse volumique de l’air.
On admet que toutes les forces sont NEGLIGEABLES par rapport à la force électrostatique. On peut le vérifier dans l’exercice suivant
Exercice 3:
a) En supposant que cette particule soit un électron de masse m = 9,110
– 31kg et de charge électrique q = - 1,610
– 17C, déterminer les caractéristiques du poids de l’électron et celles de la force électrique qu’il subit sachant que E = 10 000 V
m –1b) Que penser de l’influence du poids de l’électron sur son mouvement dans le champ électrique ?
c) Que penser de la poussée d’Archimède que subit l’électron ? Même question pour les forces de frottements.
d) Faire l’inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron (m = 1,6710
– 27kg).
4.2. Application de la 2
èmeloi de Newton D’après la deuxième loi de Newton :
a m F
F
e
=
=
=
−
yx
a m a qE 0
D’où :
−
=
= m a qE
a
y
x
0
− m a qE
0
•
ETAPE 1 : En cherchant les primitives des coordonnées du vecteur accélération,et en tenant compte des conditions initiales, on obtient :
+
− t cste ' m
qE cste v
Or à t = 0, le vecteur vitesse s’écrit :
=
+
− 0 ' '
0
cste
cste m cste
qE cste v
Particule chargée dans un champ électrique
E
→E
→E
→x y
O
→
g v
0→
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D’autre part, d’après l’énoncé, le vecteur vitesse initiale s’écrit aussi
0
0 0
v v
D’où : cste = v
0et cste’ = 0
Donc
− t
m qE
v v
0
•
ETAPE 2 : En cherchant les primitives des coordonnées du vecteur vitesse, et en tenant compte des conditions initiales,on obtient :
+
−
+ 2 '
1
20
cste m t
qE cste t v OG
Or à t = 0, le vecteur position s’écrit :
=
+
−
+
' ' 2 0
1 0
2
cste
cste m cste
qE
cste t OG
Et d’après l’énoncé la particule est en O à l’origine du temps, donc
0 OG 0 D’où cste = cste’ = 0
Donc :
−
20
2
1 t
m qE
t v
OG
•
ETAPE 3 : On a obtenu les équations horaires définissant le mouvement de particule chargée : x ( t ) = v
0t
2
) 2
( t
m t qE
y = −
•
ETAPE 4 : En combinant les équations horaires du mouvement , et en éliminant le temps, on obtient l’équation de la trajectoire y(x) :
2 2
2
0)
( x
v m x qE
y
−
=
Exemple : Déviation d’ions oxyde dans un champ électrique
Cette trajectoire est aussi une parabole car son équation est du type :
y ( x ) = ax
2+ bx + c
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5) Aspects énergétiques
5.1
L’énergie potentielle
Tout système physique plongé dans un champ dispose alors d’une énergie potentielle s’il possède la grandeur physique qui le couple à ce champ.
Exemples : • dans le cas du champ de pesanteur, cette grandeur est la masse
• dans le cas du champ électrique, cette grandeur est la charge électrique.
• dans le cas d’un champ magnétique, cette grandeur est le moment magnétique de l’aimant
Energie potentielle de pesanteur : EPP =mgh
Energie potentielle électrique :
EPél=qV
Exercice 5:
On considère une particule alpha plongée dans un champ électrique E. La différence de potentiel U entre les plaques A et F séparée de d = 50 cm est de 500 V.
a) Sachant que l’armature A est à -200 V, quel est le potentiel électrique de l’armature B ?
b) Calculer la valeur du champ électrique E dans ce condensateur.
c) Rappeler la constitution d’une particule alpha et en déduire sa charge électrique en fonction de e.
d) Calculer l’énergie potentielle de la particule alpha en position C et en position E.
e) Calculer la variation de l’énergie potentielle de la particule lorsqu’elle passe de F à A.
f) Calculer à nouveau cette variation en supposant que l’armature A soit à présent à 0 V et la F à 500 V. Conclure.
Conclusions :
• L’énergie potentielle (électrique ou de pesanteur) en un point de l’espace dépend de la référence choisie, c’est- à-dire de la position pour laquelle cette énergie est définie comme étant nulle.
• Quelle que soit la référence choisie, la variation de l'énergie potentielle reste la même.
E en J m en kg g en N/kg h en m
A noter :
Cette expression est correcte lorsque l’on peut considérer que le champ de pesanteur g est constant quelle que soit h.
Dans le cas contraire, l’expression devient :
r GMm
Epp=− avec M la masse générant le champ de pesanteur.
E en J q en C V en V
A B C D E F
Exercice 4:
On considère une pomme de masse m = 180 g posée sur une table de hauteur h = 120 cm.
a) Calculer l’énergie potentielle de pesanteur de cette pomme si l’altitude de référence (z = 0) est prise au niveau du sol.
b) Même question si l’altitude de référence est prise au niveau du plateau de la table.
c) Calculer la variation de l’énergie potentielle de la pomme lorsqu’elle tombe au sol en prenant z = 0 au niveau du sol.
d) Même question en prenant z = 0 au niveau du plateau de la table.
Conclure
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5.2L’énergie cinétique
L’énergie cinétique d’un système est l’énergie qu’il possède du fait de sa vitesse par rapport à un référentiel donné. Sa valeur dépend donc elle aussi de la référence choisie.
Energie cinétique :
22 1mv EC =
5.3
L’énergie mécanique
L’énergie mécanique d’un système est la somme des énergies macroscopiques de ce système.
Energie mécanique : Em=EC+EP
L’énergie mécanique d’un système se conserve s’il n’y a pas de perte (par frottement par exemple) ou de gain (moteur) d’énergie.
5.4
Le travail d’une force
Le travail
WAB(F)d’une force
Fconstante dont le point d’application se déplace de A vers B est égal au produit scalaire
FAB cos )
(F =FAB=FAB WAB
•
Si le déplacement n’est pas rectiligne, la définition du travail reste la même
•
Remarque : Une force NON CONSTANTE est une force dont l’intensité varie au cours du temps : par exemple le force de rappel d’un ressort F = - k.x dépend de x, Ce n’est pas une force constante , et nous ne calculerons pas son travail lors d’un déplacement.
E en J m en kg v en m/s
A noter :
Cette expression est valable pour tout système non relativiste, c'est- à-dire pour tout système ayant une vitesse telle que v < 0,1 c.
Dans le cas contraire, on utilise alors la formule plus générale :
FenN AB en m
WenJ A
B A retenir :
Un système uniquement soumis à son poids est dit en chute libre.
Exercice 6:
Calculer la variation de l’énergie cinétique d’une voiture de masse 1,2 t dans le référentiel terrestre lorsqu’elle passe de 100 à 0 km/h et préciser ce qu’est devenue cette énergieExercice 7:
Une pomme de rayon r = 4,0 cm et de masse m = 220 g tombe d’une branche située à h = 6,7 m du sol. On prendra g = 10 N/kg.a) En ne négligeant aucune force, faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur la pomme durant sa chute.
b) Calculer la valeur du poids P et de la poussée d’Archimède qui s’exercent sur la pomme.
c) En supposant que seul le poids ne soit pas négligeable, déterminer l’expression littérale de la vitesse d’impact vF
de la pomme avec le sol dans le référentiel terrestre. Calculer sa valeur.
d) A quelles conditions peut-on considérer qu’un objet est en chute libre dans l’atmosphère de la Terre ?
e) Représenter de manière qualitative l’évolution des énergies mécanique, cinétique et potentielle d’une pomme en chute libre.
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•
On rencontre 3 cas :
Si 0 < < 90 alors 0 < cos < 1
Et donc W
AB( F ) = F AB cos 0 Le travail de la force est positif.
Le travail est dit moteur.
La force favorise le déplacement.
Si = 90 alors cos = 0
Et donc W
AB( F ) = F AB cos = 0 Le travail est nul.
La force n’a pas d’effet sur le déplacement.
Si 90 < < 180 alors -1 < cos < 0 Et donc W
AB( F ) = F AB cos 0 Le travail de la force est négatif
Le travail est dit résistant
La force s’oppose au déplacement.
5.5
Le théorème de l’énergie cinétique
La variation de l’énergie cinétique d’un système matériel en mouvement entre deux points A et B est égale à la somme
algébrique des travaux des forces extérieures qui lui sont appliquées lors de ce déplacement.
) (F W EC = AB
A
B
A
B A
B
Travail moteur ou résistant
