Ch12: Mouvement dans un champ uniforme

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Ch12: Mouvement dans un champ uniforme

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1. Les champs uniformes

- Un champ est un espace dans lequel une particule subit une interaction.

- Le vecteur champ de pesanteur 𝒈 est un champ de

gravitation induit par la présence de la Terre. Il peut être

considérer comme uniforme (même valeur, même direction et même sens) dans une zone restreinte au voisinage de la Terre.

-Le vecteur champ électrique 𝑬 entre les

deux plaques d’un condensateur plan chargé avec une tension 𝑈 est uniforme.

Sa valeur est 𝑬 = ^𝑈

𝑑

-

+ 𝐸 𝑑

𝐸 𝐸

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2. Le mouvement dans un champ uniforme

On cherche à déterminer l’accélération, la vitesse, le vecteur position et l’équation de la trajectoire d’un mobile ayant une vitesse initiale 𝒗_𝟎, faisant un angle 𝜶 avec l’horizontale, dans un champ uniforme vertical

𝒈

ou

𝑬

à partir du modèle

théorique.

𝑦

𝒈 ou 𝑬

𝒗

_𝟎

𝜶

𝑥

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2.1. Détermination du vecteur accélération

Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen,

d’après la

deuxième loi de Newton

la somme des forces appliquées au mobile est égale au produit de sa masse 𝑚 par le vecteur accélération de centre de masse 𝑎_𝐺:

Dans le cas du mobile dans le

champ de pesanteur

: 𝑚 × 𝑔 = 𝑚 × 𝑎_𝐺

Soit:

𝒂

_𝑮

= 𝒈 𝒂

_𝑮 _−𝒈^𝟎

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Dans le cas d’une particule de charge 𝑞 en mouvement dans le

champ électrique 𝑬

(on négligera le poids la particule devant la force électrique):

q × 𝐸 = 𝑚 × 𝑎_𝐺 Soit:

𝒂

_𝑮

=

^𝒒

𝒎

× 𝑬 𝒂

_𝑮 ^𝒒 ^𝟎

𝒎×𝑬

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2.2. Détermination du vecteur vitesse

L’accélération étant la dérivée de la vitesse par rapport au temps alors on peut retrouver les coordonnées de la vitesse en cherchant des primitives des coordonnées de

l’accélération par rapport au temps.

Dans le cas du mobile dans le champ de pesanteur:

𝒂_𝑮 _−𝒈^𝟎

donc 𝒗_𝑮 _{−𝒈×𝒕+𝒄}^𝒄^𝟏

𝟐

Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬 𝒂_𝑮 ^𝒒^𝟎

𝒎×𝑬

donc 𝒗_𝑮 _𝒒𝑬 ^𝒄^𝟏

𝒎×𝒕+𝒄_𝟐

(7)

D’après les conditions initiales les coordonnées du vecteur vitesse initiale 𝒗_𝟎, sont:

𝒗

_𝟎 ^𝒗_𝒗^𝟎^{×𝒄𝒐𝒔(∝)}

𝟎×𝒔𝒊𝒏(∝) 𝑦

𝒗

_𝟎

𝜶

𝑥

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Donc à la date 𝒕 = 𝟎 (conditions initiales) les coordonnées du vecteur vitesse sont .

𝒗_𝑮 𝒄_𝟏 = 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔(∝)

−𝒈 × 𝟎 + 𝒄_𝟐 = 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) Soit: 𝒄_𝟏 = 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔(∝) et 𝒄_𝟐 = 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝)

Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬 𝒗_𝑮 𝒄_𝟏 = 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔(∝)

𝒒𝑬

𝒎 × 𝟎 + 𝒄_𝟐 = 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) Soit: 𝒄_𝟏 = 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔(∝) et 𝒄_𝟐 = 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝)

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Les coordonnées de vecteur vitesse sont donc:

𝒗_𝑮 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔(∝)

−𝒈 × 𝒕 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝)

Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬

𝒗_𝑮 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔(∝) 𝒒𝑬

𝒎 × 𝒕 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝)

(10)

2.3. Détermination du vecteur position

La vitesse étant la dérivée du vecteur position 𝑂𝑀 par

rapport au temps, alors les coordonnées du vecteur position sont aussi des primitives des coordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps. Soit:

𝒗_𝑮 _{−𝒈×𝒕+𝒗}^𝒗^𝟎^{×𝒄𝒐𝒔(∝)}

𝟎×𝒔𝒊𝒏(∝) donc

𝑂𝑀 ^𝒗^𝟎^{×𝒄𝒐𝒔 ∝} ^×𝒕+𝒄^𝟑

−^𝟏_𝟐𝒈×𝒕^𝟐+𝒗_𝟎×𝒔𝒊𝒏(∝)×𝒕+^𝒄_𝟒

Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬 𝒗_𝑮 _𝒒𝑬 ^𝒗^𝟎^{×𝒄𝒐𝒔(∝)}

𝒎×𝒕+𝒗_𝟎×𝒔𝒊𝒏(∝) donc

𝑂𝑀 ^𝒗^𝟎^{×𝒄𝒐𝒔 ∝} ^×𝒕+𝒄^𝟑

−^𝟏_𝟐^𝒒𝑬_𝒎×𝒕^𝟐+𝒗_𝟎×𝒔𝒊𝒏(∝)×𝒕+^𝒄_𝟒

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Dans les conditions initiales ( à la date t=0), le vecteur position est le vecteur nul: 𝑶𝑴 ^𝟎_𝟎

𝑶𝑴 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔 ∝ × 𝟎 + 𝒄_𝟑 = 𝟎

− 𝟏

𝟐 𝒈 × 𝟎^𝟐 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × 𝟎+ 𝒄_𝟒= 0 Donc 𝒄_𝟑 = 𝟎 et 𝒄_𝟒= 0

Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬 𝑂𝑀 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔 ∝ × 𝟎 + 𝒄_𝟑 = 𝟎

𝟏 𝟐

𝒒𝑬

𝒎 × 𝟎^𝟐 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × 𝟎+ 𝒄_𝟒 = 𝟎 Donc 𝒄_𝟑 = 𝟎 et 𝒄_𝟒= 0

(12)

Donc le vecteur position à pour coordonnées ( ou équations horaires):

𝑂𝑀 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔 ∝ × 𝒕

− 𝟏

𝟐 𝒈 × 𝒕^𝟐 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × 𝒕 Soit:

𝑥 𝑡 = 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔 ∝ × 𝒕 𝑦 𝑡 = − 𝟏

𝟐 𝒈 × 𝒕^𝟐 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × 𝒕

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Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬

𝑂𝑀 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔 ∝ × 𝒕 𝟏

𝟐

𝒒𝑬

𝒎 × 𝒕^𝟐 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × 𝒕 Soit:

𝑥 𝑡 = 𝒗_𝟎 × 𝒄𝒐𝒔 ∝ × 𝒕 𝑦 𝑡 = 𝟏

𝟐

𝒒𝑬

𝒎 × 𝒕^𝟐 + 𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × 𝒕

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2.4. Détermination de l’équation de la trajectoire Dans les deux cas on remplace le temps

𝑡 = ^𝑥(𝑡)

𝒗_𝟎×𝒄𝒐𝒔 ∝

et on le remplace dans l’ordonnée. On trouve:

Dans le cas du mobile dans le champ de pesanteur 𝑦 = − ^𝟏

𝟐 𝒈 × ( ^𝑥

𝒗_𝟎×𝒄𝒐𝒔 ∝ )^𝟐+𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × ^𝑥

𝒚 = −𝒈

𝟐 𝒗

_𝟎

× 𝒄𝒐𝒔 ∝

^𝟐

× 𝒙

^𝟐

+ 𝒕𝒂𝒏(∝) × 𝒙

Parabole qui dépend des conditions initiales

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Dans le cas de la particule dans le champ électrique 𝑬 𝑦 = ^𝟏

𝟐 𝒒𝑬

𝒎 × ( ^𝑥

𝒗_𝟎×𝒄𝒐𝒔 ∝ )^𝟐+𝒗_𝟎 × 𝒔𝒊𝒏(∝) × ^𝑥

𝒚 =

^𝒒𝑬

𝟐𝒎 𝒗_𝟎×𝒄𝒐𝒔 ∝ ^𝟐

× 𝒙

^𝟐

+ 𝒕𝒂𝒏(∝) × 𝒙

Parabole qui dépend des conditions initiales

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3. Aspect énergétique

Le poids et la force électrique étant des forces conservatives, l’énergie mécanique du mobile se conserve au cours du

temps. L’énergie cinétique est transférée en énergie potentielle et vis versa au cours du temps.

Rappels de 1ére:

∆𝑬

_𝒎

= 𝑾(𝑭

𝒏𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆𝒔

)

∆𝑬

_𝒄

= 𝑾(𝑭

𝒂𝒑𝒑𝒍𝒊𝒒𝒖é𝒆𝒔 𝒂𝒖 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆

)

(théorème de l’Ec)

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4. Principe de fonctionnement d’un accélérateur linéaire de particules

La particule de charge q subit une force électrique de valeur 𝐹 = 𝑞𝐸 = q ^𝑈^𝐴𝐵

𝑑 .

D’après le théorème de l’énergie cinétique

∆𝑬_𝒄 = 𝑾(𝑭𝒂𝒑𝒑𝒍𝒊𝒒𝒖é𝒆𝒔 𝒂𝒖 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆)

∆𝑬_𝒄 = 𝑾_𝑨𝑩(𝒒𝑬) si on néglige le poids

∆𝑬_𝒄 = 𝑞𝐸. 𝐴𝐵 = 𝑞 ^𝑈^𝐴𝐵

𝑑 × 𝐴𝐵

∆𝑬_𝒄 = 𝑞 ^𝑈^𝐴𝐵

𝑑 × 𝑑

∆𝑬_𝒄 = 𝑞 × 𝑈_𝐴𝐵

Donc si 𝒒 × 𝑼_𝑨𝑩 > 𝟎 alors la particule accélère dans le sens de A vers B. Il faudra bien choisir la polarité du condensateur.

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Exercices p247 qcm1, 2 Ex 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 28, 33, 35, 36 et ECE.