Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative
Julien Cubizolles
Lycée Louis le Grand
vendredi 24 avril 2020
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative
Julien Cubizolles
Lycée Louis le Grand
vendredi 24 avril 2020
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Expression de la force Exemples
1. Forces centrales conservatives
2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Expression de la force Exemples
1. Forces centrales conservatives 1.1 Expression de la force 1.2 Exemples
2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
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Expression de la force Exemples
Expression de la force
Définition (Force centrale) La force#»
F à laquelle est soumis un point matériel situé au pointMd’un référentielRest ditecentrales’il existe un pointOfixe deRtel que#»
F reste toujours colinéaire à# »
OMau cours du mouvement deM.
Les caractères central et conservatif de la force restreignent les expressions possibles
Expression d’une force centrale conservative
Soit un point matériel de positionMsoumis à la force#»Fcentrale de centreO, repéré par le vecteur#»ertel que# »
OM= r
|{z}
>0
#»er. La force#»Fest conservative ssi son intensité ne dépend
que de la distancer=OM. On a alors :
#»F =F(r)#»er etF(r) =−dEpot(r) dr ,
avecEpot(r)une énergie potentielle associée qui ne dépend également que der. La force est dite :
répulsive pourF(r)>0ieEpot(r)décroissante, attractive pourF(r)<0ieEpot(r)croissante.
I La résultante#»F=P
i#»Fide forces#»Ficentrales demêmecentreOet conservatives (Epoti), est également centrale de centreOet conservative,Epot=P
iEpoti. I Asi les centres sont différents, elle ne seraqueconservative.
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 11/54
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Expression de la force Exemples
Expression de la force
Expression d’une force centrale conservative
Soit un point matériel de positionMsoumis à la force#»Fcentrale de centreO, repéré par le vecteur#»ertel que# »
OM= r
|{z}
>0
#»er. La force#»Fest conservative ssi son intensité ne dépend
que de la distancer=OM. On a alors :
#»F =F(r)#»er etF(r) =−dEpot(r) dr ,
avecEpot(r)une énergie potentielle associée qui ne dépend également que der.
La force est dite :
répulsive pourF(r)>0ieEpot(r)décroissante, attractive pourF(r)<0ieEpot(r)croissante.
I La résultante#»
F=P
i
#»Fide forces#»
Ficentrales demêmecentreOet conservatives (Epoti), est également centrale de centreOet conservative,Epot=P
iEpoti. I Asi les centres sont différents, elle ne seraqueconservative.
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Expression de la force Exemples
1. Forces centrales conservatives 1.1 Expression de la force 1.2 Exemples
2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
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Expression de la force Exemples
Oscillateur spatial
Rappel harmonique vers le centre de force :
#»F =−k#»r ou :#»
F =−k(r−r0)e#»r
Epot =kr2
2 Epot= k(r−r0)2 2
r0
r Epot(r)
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Expression de la force Exemples
Oscillateur spatial
Rappel harmonique vers le centre de force :
#»F =−k#»r ou :#»
F =−k(r−r0)e#»r Epot =kr2
2 Epot= k(r−r0)2 2
r0
r Epot(r)
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Expression de la force Exemples
Oscillateur spatial
Rappel harmonique vers le centre de force :
#»F =−k#»r ou :#»
F =−k(r−r0)e#»r
Epot =kr2
2 Epot= k(r−r0)2 2
r0
r Epot(r)
I attractive pourk>0, on peut également envisagerk<0répulsive I modèle d’un jokari, modèle de Thomson de l’électron élastiquement
lié
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Expression de la force Exemples
Énergie potentielle de Yukawa (Nobel 1949)
modèle de l’interaction (forte) entre nucléons (protons et neutrons) à courte distance ('1 fm=1·10−15m)
Epot(r) =−ge−r/a r
#»F(r) =−g r
1 r+1
a
e−r/a#»er
r r)
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Expression de la force Exemples
Énergie potentielle de Yukawa (Nobel 1949)
modèle de l’interaction (forte) entre nucléons (protons et neutrons) à courte distance ('1 fm=1·10−15m)
Epot(r) =−ge−r/a r
#»F(r) =−g r
1 r+1
a
e−r/a#»er
r r)
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation 2.1 Constantes du mouvement 2.2 Énergie potentielle effective 2.3 Nature du mouvement
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Conservation du moment cinétique et planéité : rappel
Planéité d’un mouvement à force centrale
Soit un point matériel soumis à une force centrale de centreOfixe dans un référentiel galiléenRg.
I Lemoment cinétique enO,σ# »/O(M) =σOe#»z, est conservé.
I La trajectoire estinscrite dans le plan orthogonal àσ# »/O(M)passant parO,iele plan défini par la position et la vitesse initiales. On a donc :
# »
σ/O(M) =m#»r0∧#»v0=mr2θ˙e#»z≡σce#»z.
I on pourra choisir l’orientation dee#»zpour avoirσc>0
I cas particulier : le mouvement sera rectiligne selon une droite passant parOsi# »
OM∝ #»v,ieσ# »/O(M) = #»0
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Constante des aires : rappel
Théorème (Constante des aires)
Dans un mouvement à force centrale lavitesse aréolaireest une constante, nomméeconstante des aires.
I L’aire balayée pendant une durée∆tpar le rayon vecteur # »
OMest proportionnelle à∆t.
I En particulier, le mouvement deM autour deOs’effectue toujours dans le même sens.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Constante des aires : rappel
Théorème (Constante des aires)
Dans un mouvement à force centrale lavitesse aréolaireest une constante, nomméeconstante des aires.
I L’aire balayée pendant une durée∆tpar le rayon vecteur # »
OMest proportionnelle à∆t.
I En particulier, le mouvement deM autour deOs’effectue toujours dans le même sens.
r
O M
A1
A2
Les airesA1etA2balayées pendant un même intervalle de temps sont égales.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙re#»r+rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙r#»er +rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée
force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙r#»er +rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙r#»er +rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙r#»er +rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙r#»er +rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Un seul degré de liberté
Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté
force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :
I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙r#»er +rθ˙e#»θ
I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.
On n’a plus que duret dur˙dans l’intégrale première du mouvement.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation 2.1 Constantes du mouvement 2.2 Énergie potentielle effective 2.3 Nature du mouvement
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Énergie potentielle effective
Énergie potentielle effective
Soit un point matériel de positionMdans un référentiel galiléenRg, soumis à une force centrale de centreO, conservative, d’énergie potentielle associéeEpot(r).
En notantr=OMetσ#»cson moment cinétique enO, constant, la conservation de l’énergie s’écrit :
mr˙2
2 +Ep,eff(r) =cste avec :Ep,eff(r) =Epot(r) + σ2c 2mr2,
nomméeénergie potentielle effective associée au mouvement.L’étude du mouvement radial est formellement identique à celle d’un point matériel de massem, animé d’un mouvement à un seul degré de liberté (la seule coordonnée étantr) dansRget soumis à une force conservative d’ énergie potentielleEp,eff.
I Aanalogie valable uniquement pour le mouvement radial :m˙r2/2n’est pastoutel’Ec
du vrai P.M.
I Al’expression deEp,effdépend des conditions initiales carσc=m|#»r0∧#»v0|.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Énergie potentielle effective
Énergie potentielle effective
Soit un point matériel de positionMdans un référentiel galiléenRg, soumis à une force centrale de centreO, conservative, d’énergie potentielle associéeEpot(r).
En notantr=OMetσ#»cson moment cinétique enO, constant, la conservation de l’énergie s’écrit :
mr˙2
2 +Ep,eff(r) =cste avec :Ep,eff(r) =Epot(r) + σ2c 2mr2,
nomméeénergie potentielle effective associée au mouvement.L’étude du mouvement radial est formellement identique à celle d’un point matériel de massem, animé d’un mouvement à un seul degré de liberté (la seule coordonnée étantr) dansRget soumis à une force conservative d’ énergie potentielleEp,eff.
I Aanalogie valable uniquement pour le mouvement radial :m˙r2/2n’est pastoutel’Ec du vrai P.M.
I Al’expression deEp,effdépend des conditions initiales carσc=m|#»r0∧#»v0|.
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation 2.1 Constantes du mouvement 2.2 Énergie potentielle effective 2.3 Nature du mouvement
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Nature du mouvement
Intégrale première mr˙2
2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em
Em1
Em2
Em3 r1
accessible
rmin
accessible rmax
r3
r Eeff(r)
I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1
I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax
I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme
(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Nature du mouvement
Intégrale première mr˙2
2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em
Em1
Em2
Em3 r1
accessible
rmin
accessible rmax
r3
r Eeff(r)
I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1
I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax
I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme
(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Nature du mouvement
Intégrale première mr˙2
2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em
Em1
Em2
Em3 r1
accessible
rmin
accessible rmax
r3
r Eeff(r)
I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1
I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax
I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme
(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Nature du mouvement
Intégrale première mr˙2
2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em
Em1
Em2
Em3 r1
accessible
rmin
accessible rmax
r3
r Eeff(r)
I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1
I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax
I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme
(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Interprétation graphique
I σ2c/(2mr2)représente unebarrière de potentiel répulsive(centrifuge) qui domine enr= 0sur l’exemple précédent. Elle sera en revanche absente siσc= 0(mouvement rectiligne).
I dans l’exemple précédent, on n’atteint jamais le centre bien que la force soit attractive
l’étude deEp,effne renseigne pas immédiatement surθ; la trajectoire n’est en particulierpas
nécessairement fermée(cas d’un oscillateur harmonique de longueur au repos non nulle).
−4 −2 0 2 4
−4
−2 0 2 4
x/l0
y/l0
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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement
Interprétation graphique
I σ2c/(2mr2)représente unebarrière de potentiel répulsive(centrifuge) qui domine enr= 0sur l’exemple précédent. Elle sera en revanche absente siσc= 0(mouvement rectiligne).
I dans l’exemple précédent, on n’atteint jamais le centre bien que la force soit attractive
l’étude deEp,effne renseigne pas immédiatement surθ; la trajectoire n’est en particulierpas
nécessairement fermée(cas d’un oscillateur harmonique de longueur au repos non nulle).
−4 −2 0 2 4
−4
−2 0 2 4
x/l y/l0
sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 24/54
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 3.1 Définition
3.2 Énergie potentielle effective et nature des mouvements 3.3 Exemples fondamentaux
3.4 Nature des trajectoires 3.5 Énergie d’un état lié 3.6 Lois de Kepler
4. Cas du mouvement circulaire
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Définition
Pour la gravitation et l’électrostatique :Epoten1/r, attractive ou répulsive, quels types de mouvements peut-on observer ?
Définition (Champ de force newtonien)
Un champ de force est ditnewtoniensi la force à laquelle est soumis un point matériel est de la forme :#»
F =−r2K,#»er, oùrest la distance du P.M. à un point fixeOdu référentiel d’étudeR.Oest lecentredu champ de force. Le mouvement dans un tel champ de force est ditkepleriens’il s’effectue dans un référentiel galiléen. Il est alors conservatif et on lui associe l’énergie potentielle :
Epot(r) =−K r +cste.
On choisira toujoursEpot(r) =−Kr,ieEpotnulle à l’infini du centre.
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Définition
Pour la gravitation et l’électrostatique :Epoten1/r, attractive ou répulsive, quels types de mouvements peut-on observer ?
Définition (Champ de force newtonien)
Un champ de force est ditnewtoniensi la force à laquelle est soumis un point matériel est de la forme :#»
F =−Kr2 ,#»er, oùrest la distance du P.M. à un point fixeOdu référentiel d’étudeR.Oest lecentredu champ de force.
Le mouvement dans un tel champ de force est ditkepleriens’il s’effectue dans un référentiel galiléen. Il est alors conservatif et on lui associe l’énergie potentielle :
Epot(r) =−K r +cste.
On choisira toujoursEpot(r) =−Kr,ieEpotnulle à l’infini du centre.
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Définition
Définition (Champ de force newtonien)
Un champ de force est ditnewtoniensi la force à laquelle est soumis un point matériel est de la forme :#»
F =−Kr2 ,#»er, oùrest la distance du P.M. à un point fixeOdu référentiel d’étudeR.Oest lecentredu champ de force.
Le mouvement dans un tel champ de force est ditkepleriens’il s’effectue dans un référentiel galiléen. Il est alors conservatif et on lui associe l’énergie potentielle :
Epot(r) =−K r +cste.
On choisira toujoursEpot(r) =−Kr,ieEpotnulle à l’infini du centre.
I force centrale et conservative I attractive ssiK>0
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 3.1 Définition
3.2 Énergie potentielle effective et nature des mouvements 3.3 Exemples fondamentaux
3.4 Nature des trajectoires 3.5 Énergie d’un état lié 3.6 Lois de Kepler
4. Cas du mouvement circulaire
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Allure de E
p,effÉnergie potentielle effective
Ep,eff= −K r
gouverne en|{z} ∞
+ σc2 2mr2
| {z }
gouverne en0
accessible
rmin Em
r Eeff(r)
+1/r2
+1/r
I force et barrière centrifuge répulsives : états de diffusion quelle que soitEm(toujours positive)
I distance minimale d’approche rmin
accessible
rmin rmax
Em1 Em2
r2
accessible r Eeff(r)
+1/r2
−1/r
I état de diffusion pourEm>0 I état lié entre deux cercles de
rebroussement pourEm<0
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Allure de E
p,effaccessible
rmin Em
r Eeff(r)
+1/r2
+1/r
I force et barrière centrifuge répulsives : états de diffusion quelle que soitEm(toujours positive)
I distance minimale d’approche rmin
accessible
rmin rmax
Em1 Em2
r2
accessible r Eeff(r)
+1/r2
−1/r
I état de diffusion pourEm>0 I état lié entre deux cercles de
rebroussement pourEm<0
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Nature du mouvement
Nature du mouvement et signe de l’énergie mécanique
La nature du mouvement dans un champ de force newtonien dépend du signe de l’énergie mécanique :
I PourEm >0, l’état estde diffusion, I PourEm <0, l’état estlié.
I pour déterminer la nature du mouvement, on calculera le plus souventEmavecEm= 12mv20+Epot(r0), sans utiliserEp,eff.
I les valeurs des rayons de rebroussement (rmin,rmax,r2) sont solutions de l’équation :
Em=Eeff(r).
I A:Emest toujours définie à une constante près : c’est le choix
«Epot = 0quandr→ ∞» qui donne une importance particulière à Em = 0
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Nature du mouvement
Nature du mouvement et signe de l’énergie mécanique
La nature du mouvement dans un champ de force newtonien dépend du signe de l’énergie mécanique :
I PourEm >0, l’état estde diffusion, I PourEm <0, l’état estlié.
I pour déterminer la nature du mouvement, on calculera le plus souventEmavecEm= 12mv20+Epot(r0), sans utiliserEp,eff.
I les valeurs des rayons de rebroussement (rmin,rmax,r2) sont solutions de l’équation :
Em=Eeff(r).
I A:Emest toujours définie à une constante près : c’est le choix
«Epot = 0quandr→ ∞» qui donne une importance particulière à Em = 0
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation
3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 3.1 Définition
3.2 Énergie potentielle effective et nature des mouvements 3.3 Exemples fondamentaux
3.4 Nature des trajectoires 3.5 Énergie d’un état lié 3.6 Lois de Kepler
4. Cas du mouvement circulaire
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Interaction électrostatique
Interaction électrostatique
La force exercée par un point matérielimmobilede positionPet dechargeqPsur un point matérielimmobilede positionMet dechargeqMest :
#»FP→M= qMqP
4πε0
# » PM
PM3 = qMqP
4πε0
#»ePM# »
PM2 avec : 1 4πε0
'9·109S·I· Lechampde force dePest doncnewtonien, avecK=−4πεqPqM
0. L’énergie potentielle deMdans ce champ de force sera :
Epot= qPqM
4πε0r.
Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire
Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Interaction électrostatique
Interaction électrostatique
La force exercée par un point matérielimmobilede positionPet dechargeqPsur un point matérielimmobilede positionMet dechargeqMest :
#»FP→M= qMqP
4πε0
# » PM
PM3 = qMqP
4πε0
#»ePM# »
PM2 avec : 1 4πε0
'9·109S·I· Lechampde force dePest doncnewtonien, avecK=−4πεqPqM
0. L’énergie potentielle deMdans ce champ de force sera :
Epot= qPqM
4πε0r.
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Interaction électrostatique
Interaction électrostatique
La force exercée par un point matérielimmobilede positionPet dechargeqPsur un point matérielimmobilede positionMet dechargeqMest :
#»FP→M= qMqP
4πε0
# » PM
PM3 = qMqP
4πε0
#»ePM# »
PM2 avec : 1 4πε0
'9·109S·I· Lechampde force dePest doncnewtonien, avecK=−4πεqPqM
0. L’énergie potentielle deMdans ce champ de force sera :
Epot= qPqM
4πε0r.
I Cette expression est également valable pour la force exercée parPimmobilesurM mobile.
I pour une distance proton-électron5 m, cette force domine le poids
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Interaction gravitationnelle
Interaction gravitationnelle
La force exercée par un point matériel de positionPet demasse pesante mPsur un point matériel de positionMet demasse pesantemMest :
#»FP→M=−GmPmM
PM3
# »
PM=−GmPmM
PM2
#»ePM# »
avec :G= 6,672(10) 10−11N.m2kg−2.
Il s’agit de nouveau d’un champ de forcenewtonien, avec maintenant K=GmPmM. Dans ce champ de force, l’énergie potentielle deMsera :
Epot =−GmPmM r .
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Interaction gravitationnelle
Interaction gravitationnelle
La force exercée par un point matériel de positionPet demasse pesante mPsur un point matériel de positionMet demasse pesantemMest :
#»FP→M=−GmPmM
PM3
# »
PM=−GmPmM
PM2
#»ePM# »
avec :G= 6,672(10) 10−11N.m2kg−2.
Il s’agit de nouveau d’un champ de forcenewtonien, avec maintenant K=GmPmM. Dans ce champ de force, l’énergie potentielle deMsera :
Epot =−GmPmM r .
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Cadre du modèle
I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg
I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg
fgrav
felec =Gmemp4πε0
e2 = 4,4 10−401
I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà
symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !
I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Cadre du modèle
I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg
I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg
fgrav
felec =Gmemp4πε0
e2 = 4,4 10−401
I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà
symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !
I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique
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Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Cadre du modèle
I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg
I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg
fgrav
felec =Gmemp4πε0
e2 = 4,4 10−401
I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà
symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !
I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Cadre du modèle
I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg
I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg
fgrav
felec =Gmemp4πε0
e2 = 4,4 10−401
I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà
symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !
I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique
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Définition
Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux
Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler
Cadre du modèle
I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg
I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg
fgrav
felec =Gmemp4πε0
e2 = 4,4 10−401
I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà
symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !
I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique