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Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative

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(1)

Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

vendredi 24 avril 2020

(2)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

vendredi 24 avril 2020

(3)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Expression de la force Exemples

1. Forces centrales conservatives

2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(4)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Expression de la force Exemples

1. Forces centrales conservatives 1.1 Expression de la force 1.2 Exemples

2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(5)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Expression de la force Exemples

Expression de la force

Définition (Force centrale) La force#»

F à laquelle est soumis un point matériel situé au pointMd’un référentielRest ditecentrales’il existe un pointOfixe deRtel que#»

F reste toujours colinéaire à# »

OMau cours du mouvement deM.

Les caractères central et conservatif de la force restreignent les expressions possibles

Expression d’une force centrale conservative

Soit un point matériel de positionMsoumis à la forceFcentrale de centreO, repéré par le vecteurertel que# »

OM= r

|{z}

>0

er. La forceFest conservative ssi son intensité ne dépend

que de la distancer=OM. On a alors :

F =F(r)er etF(r) =dEpot(r) dr ,

avecEpot(r)une énergie potentielle associée qui ne dépend également que der. La force est dite :

répulsive pourF(r)>0ieEpot(r)décroissante, attractive pourF(r)<0ieEpot(r)croissante.

I La résultanteF=P

iFide forcesFicentrales demêmecentreOet conservatives (Epoti), est également centrale de centreOet conservative,Epot=P

iEpoti. I Asi les centres sont différents, elle ne seraqueconservative.

sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 11/54

(6)

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Expression de la force Exemples

Expression de la force

Expression d’une force centrale conservative

Soit un point matériel de positionMsoumis à la forceFcentrale de centreO, repéré par le vecteurertel que# »

OM= r

|{z}

>0

er. La forceFest conservative ssi son intensité ne dépend

que de la distancer=OM. On a alors :

F =F(r)er etF(r) =dEpot(r) dr ,

avecEpot(r)une énergie potentielle associée qui ne dépend également que der.

La force est dite :

répulsive pourF(r)>0ieEpot(r)décroissante, attractive pourF(r)<0ieEpot(r)croissante.

I La résultante

F=P

i

Fide forces

Ficentrales demêmecentreOet conservatives (Epoti), est également centrale de centreOet conservative,Epot=P

iEpoti. I Asi les centres sont différents, elle ne seraqueconservative.

(7)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Expression de la force Exemples

1. Forces centrales conservatives 1.1 Expression de la force 1.2 Exemples

2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(8)

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Expression de la force Exemples

Oscillateur spatial

Rappel harmonique vers le centre de force :

F =−k#»r ou :#»

F =−k(r−r0)er

Epot =kr2

2 Epot= k(r−r0)2 2

r0

r Epot(r)

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Expression de la force Exemples

Oscillateur spatial

Rappel harmonique vers le centre de force :

F =−k#»r ou :#»

F =−k(r−r0)er Epot =kr2

2 Epot= k(r−r0)2 2

r0

r Epot(r)

(10)

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Expression de la force Exemples

Oscillateur spatial

Rappel harmonique vers le centre de force :

F =−kr ou :#»

F =−k(rr0)er

Epot =kr2

2 Epot= k(r−r0)2 2

r0

r Epot(r)

I attractive pourk>0, on peut également envisagerk<0répulsive I modèle d’un jokari, modèle de Thomson de l’électron élastiquement

lié

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Expression de la force Exemples

Énergie potentielle de Yukawa (Nobel 1949)

modèle de l’interaction (forte) entre nucléons (protons et neutrons) à courte distance ('1 fm=1·10−15m)

Epot(r) =−ge−r/a r

F(r) =−g r

1 r+1

a

e−r/aer

r r)

(12)

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Expression de la force Exemples

Énergie potentielle de Yukawa (Nobel 1949)

modèle de l’interaction (forte) entre nucléons (protons et neutrons) à courte distance ('1 fm=1·10−15m)

Epot(r) =−ge−r/a r

F(r) =−g r

1 r+1

a

e−r/aer

r r)

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(14)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation 2.1 Constantes du mouvement 2.2 Énergie potentielle effective 2.3 Nature du mouvement

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(15)

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Conservation du moment cinétique et planéité : rappel

Planéité d’un mouvement à force centrale

Soit un point matériel soumis à une force centrale de centreOfixe dans un référentiel galiléenRg.

I Lemoment cinétique enO,σ# »/O(M) =σOez, est conservé.

I La trajectoire estinscrite dans le plan orthogonal àσ# »/O(M)passant parO,iele plan défini par la position et la vitesse initiales. On a donc :

# »

σ/O(M) =mr0∧#»v0=mr2θ˙ez≡σcez.

I on pourra choisir l’orientation deezpour avoirσc>0

I cas particulier : le mouvement sera rectiligne selon une droite passant parOsi# »

OM∝ #»v,ieσ# »/O(M) = #»0

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Constante des aires : rappel

Théorème (Constante des aires)

Dans un mouvement à force centrale lavitesse aréolaireest une constante, nomméeconstante des aires.

I L’aire balayée pendant une durée∆tpar le rayon vecteur # »

OMest proportionnelle àt.

I En particulier, le mouvement deM autour deOs’effectue toujours dans le même sens.

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Constante des aires : rappel

Théorème (Constante des aires)

Dans un mouvement à force centrale lavitesse aréolaireest une constante, nomméeconstante des aires.

I L’aire balayée pendant une durée∆tpar le rayon vecteur # »

OMest proportionnelle àt.

I En particulier, le mouvement deM autour deOs’effectue toujours dans le même sens.

r

O M

A1

A2

Les airesA1etA2balayées pendant un même intervalle de temps sont égales.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer+rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer +rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée

force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer +rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer +rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer +rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer +rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Un seul degré de liberté

Les caractéristiques de la force vont nous ramener à l’étude d’un problème à un degré de liberté

force conservative l’énergie mécaniqueEm =Ec+Epot(r)estconservée force centrale σ# »/O(M)conservé :

I mouvementplan:z= 0,z˙ = 0et#»v = ˙rer +rθ˙eθ

I r2θ˙=cste:θ˙s’exprime en fonction der.

On n’a plus que duret dur˙dans l’intégrale première du mouvement.

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation 2.1 Constantes du mouvement 2.2 Énergie potentielle effective 2.3 Nature du mouvement

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(26)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Énergie potentielle effective

Énergie potentielle effective

Soit un point matériel de positionMdans un référentiel galiléenRg, soumis à une force centrale de centreO, conservative, d’énergie potentielle associéeEpot(r).

En notantr=OMetσ#»cson moment cinétique enO, constant, la conservation de l’énergie s’écrit :

mr˙2

2 +Ep,eff(r) =cste avec :Ep,eff(r) =Epot(r) + σ2c 2mr2,

nomméeénergie potentielle effective associée au mouvement.L’étude du mouvement radial est formellement identique à celle d’un point matériel de massem, animé d’un mouvement à un seul degré de liberté (la seule coordonnée étantr) dansRget soumis à une force conservative d’ énergie potentielleEp,eff.

I Aanalogie valable uniquement pour le mouvement radial :r2/2n’est pastoutel’Ec

du vrai P.M.

I Al’expression deEp,effdépend des conditions initiales carσc=m|r0v0|.

(27)

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Énergie potentielle effective

Énergie potentielle effective

Soit un point matériel de positionMdans un référentiel galiléenRg, soumis à une force centrale de centreO, conservative, d’énergie potentielle associéeEpot(r).

En notantr=OMetσ#»cson moment cinétique enO, constant, la conservation de l’énergie s’écrit :

mr˙2

2 +Ep,eff(r) =cste avec :Ep,eff(r) =Epot(r) + σ2c 2mr2,

nomméeénergie potentielle effective associée au mouvement.L’étude du mouvement radial est formellement identique à celle d’un point matériel de massem, animé d’un mouvement à un seul degré de liberté (la seule coordonnée étantr) dansRget soumis à une force conservative d’ énergie potentielleEp,eff.

I Aanalogie valable uniquement pour le mouvement radial :r2/2n’est pastoutel’Ec du vrai P.M.

I Al’expression deEp,effdépend des conditions initiales carσc=m|r0v0|.

(28)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation 2.1 Constantes du mouvement 2.2 Énergie potentielle effective 2.3 Nature du mouvement

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(29)

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Nature du mouvement

Intégrale première mr˙2

2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em

Em1

Em2

Em3 r1

accessible

rmin

accessible rmax

r3

r Eeff(r)

I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1

I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax

I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme

(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Nature du mouvement

Intégrale première mr˙2

2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em

Em1

Em2

Em3 r1

accessible

rmin

accessible rmax

r3

r Eeff(r)

I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1

I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax

I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme

(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3

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Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Nature du mouvement

Intégrale première mr˙2

2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em

Em1

Em2

Em3 r1

accessible

rmin

accessible rmax

r3

r Eeff(r)

I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1

I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax

I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme

(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3

(32)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Nature du mouvement

Intégrale première mr˙2

2 +Ep,eff(r) =Em → Ep,eff(r)6Em

Em1

Em2

Em3 r1

accessible

rmin

accessible rmax

r3

r Eeff(r)

I Em1: état de diffusion, cercle de rebroussement de rayonr1

I Em2: état lié entre deux cercles de rebroussement de rayons rminetrmax

I Em3: état lié, mouvement circulaire uniforme

(r=cste→θ˙=cste) de rayon r3

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Interprétation graphique

I σ2c/(2mr2)représente unebarrière de potentiel répulsive(centrifuge) qui domine enr= 0sur l’exemple précédent. Elle sera en revanche absente siσc= 0(mouvement rectiligne).

I dans l’exemple précédent, on n’atteint jamais le centre bien que la force soit attractive

l’étude deEp,effne renseigne pas immédiatement surθ; la trajectoire n’est en particulierpas

nécessairement fermée(cas d’un oscillateur harmonique de longueur au repos non nulle).

−4 −2 0 2 4

−4

−2 0 2 4

x/l0

y/l0

(34)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Constantes du mouvement Énergie potentielle effective Nature du mouvement

Interprétation graphique

I σ2c/(2mr2)représente unebarrière de potentiel répulsive(centrifuge) qui domine enr= 0sur l’exemple précédent. Elle sera en revanche absente siσc= 0(mouvement rectiligne).

I dans l’exemple précédent, on n’atteint jamais le centre bien que la force soit attractive

l’étude deEp,effne renseigne pas immédiatement surθ; la trajectoire n’est en particulierpas

nécessairement fermée(cas d’un oscillateur harmonique de longueur au repos non nulle).

−4 −2 0 2 4

−4

−2 0 2 4

x/l y/l0

sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 24/54

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 4. Cas du mouvement circulaire

(36)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 3.1 Définition

3.2 Énergie potentielle effective et nature des mouvements 3.3 Exemples fondamentaux

3.4 Nature des trajectoires 3.5 Énergie d’un état lié 3.6 Lois de Kepler

4. Cas du mouvement circulaire

(37)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Définition

Pour la gravitation et l’électrostatique :Epoten1/r, attractive ou répulsive, quels types de mouvements peut-on observer ?

Définition (Champ de force newtonien)

Un champ de force est ditnewtoniensi la force à laquelle est soumis un point matériel est de la forme :#»

F =r2K,#»er, oùrest la distance du P.M. à un point fixeOdu référentiel d’étudeR.Oest lecentredu champ de force. Le mouvement dans un tel champ de force est ditkepleriens’il s’effectue dans un référentiel galiléen. Il est alors conservatif et on lui associe l’énergie potentielle :

Epot(r) =−K r +cste.

On choisira toujoursEpot(r) =−Kr,ieEpotnulle à l’infini du centre.

(38)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Définition

Pour la gravitation et l’électrostatique :Epoten1/r, attractive ou répulsive, quels types de mouvements peut-on observer ?

Définition (Champ de force newtonien)

Un champ de force est ditnewtoniensi la force à laquelle est soumis un point matériel est de la forme :#»

F =−Kr2 ,#»er, oùrest la distance du P.M. à un point fixeOdu référentiel d’étudeR.Oest lecentredu champ de force.

Le mouvement dans un tel champ de force est ditkepleriens’il s’effectue dans un référentiel galiléen. Il est alors conservatif et on lui associe l’énergie potentielle :

Epot(r) =−K r +cste.

On choisira toujoursEpot(r) =−Kr,ieEpotnulle à l’infini du centre.

(39)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Définition

Définition (Champ de force newtonien)

Un champ de force est ditnewtoniensi la force à laquelle est soumis un point matériel est de la forme :#»

F =−Kr2 ,#»er, oùrest la distance du P.M. à un point fixeOdu référentiel d’étudeR.Oest lecentredu champ de force.

Le mouvement dans un tel champ de force est ditkepleriens’il s’effectue dans un référentiel galiléen. Il est alors conservatif et on lui associe l’énergie potentielle :

Epot(r) =−K r +cste.

On choisira toujoursEpot(r) =−Kr,ieEpotnulle à l’infini du centre.

I force centrale et conservative I attractive ssiK>0

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 3.1 Définition

3.2 Énergie potentielle effective et nature des mouvements 3.3 Exemples fondamentaux

3.4 Nature des trajectoires 3.5 Énergie d’un état lié 3.6 Lois de Kepler

4. Cas du mouvement circulaire

(41)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Allure de E

p,eff

Énergie potentielle effective

Ep,eff= −K r

gouverne en|{z}

+ σc2 2mr2

| {z }

gouverne en0

accessible

rmin Em

r Eeff(r)

+1/r2

+1/r

I force et barrière centrifuge répulsives : états de diffusion quelle que soitEm(toujours positive)

I distance minimale d’approche rmin

accessible

rmin rmax

Em1 Em2

r2

accessible r Eeff(r)

+1/r2

1/r

I état de diffusion pourEm>0 I état lié entre deux cercles de

rebroussement pourEm<0

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Allure de E

p,eff

accessible

rmin Em

r Eeff(r)

+1/r2

+1/r

I force et barrière centrifuge répulsives : états de diffusion quelle que soitEm(toujours positive)

I distance minimale d’approche rmin

accessible

rmin rmax

Em1 Em2

r2

accessible r Eeff(r)

+1/r2

1/r

I état de diffusion pourEm>0 I état lié entre deux cercles de

rebroussement pourEm<0

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Nature du mouvement

Nature du mouvement et signe de l’énergie mécanique

La nature du mouvement dans un champ de force newtonien dépend du signe de l’énergie mécanique :

I PourEm >0, l’état estde diffusion, I PourEm <0, l’état estlié.

I pour déterminer la nature du mouvement, on calculera le plus souventEmavecEm= 12mv20+Epot(r0), sans utiliserEp,eff.

I les valeurs des rayons de rebroussement (rmin,rmax,r2) sont solutions de l’équation :

Em=Eeff(r).

I A:Emest toujours définie à une constante près : c’est le choix

«Epot = 0quandr→ ∞» qui donne une importance particulière à Em = 0

(44)

Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Nature du mouvement

Nature du mouvement et signe de l’énergie mécanique

La nature du mouvement dans un champ de force newtonien dépend du signe de l’énergie mécanique :

I PourEm >0, l’état estde diffusion, I PourEm <0, l’état estlié.

I pour déterminer la nature du mouvement, on calculera le plus souventEmavecEm= 12mv20+Epot(r0), sans utiliserEp,eff.

I les valeurs des rayons de rebroussement (rmin,rmax,r2) sont solutions de l’équation :

Em=Eeff(r).

I A:Emest toujours définie à une constante près : c’est le choix

«Epot = 0quandr→ ∞» qui donne une importance particulière à Em = 0

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

1. Forces centrales conservatives 2. Lois générales de conservation

3. Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités 3.1 Définition

3.2 Énergie potentielle effective et nature des mouvements 3.3 Exemples fondamentaux

3.4 Nature des trajectoires 3.5 Énergie d’un état lié 3.6 Lois de Kepler

4. Cas du mouvement circulaire

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

Définition

Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Interaction électrostatique

Interaction électrostatique

La force exercée par un point matérielimmobilede positionPet dechargeqPsur un point matérielimmobilede positionMet dechargeqMest :

FPM= qMqP

4πε0

# » PM

PM3 = qMqP

4πε0

ePM# »

PM2 avec : 1 4πε0

'9·109S·I· Lechampde force dePest doncnewtonien, avecK=−4πεqPqM

0. L’énergie potentielle deMdans ce champ de force sera :

Epot= qPqM

4πε0r.

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Forces centrales conservatives Lois générales de conservation Mouvement dans un champ de force newtonien : généralités Cas du mouvement circulaire

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Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Interaction électrostatique

Interaction électrostatique

La force exercée par un point matérielimmobilede positionPet dechargeqPsur un point matérielimmobilede positionMet dechargeqMest :

FPM= qMqP

4πε0

# » PM

PM3 = qMqP

4πε0

ePM# »

PM2 avec : 1 4πε0

'9·109S·I· Lechampde force dePest doncnewtonien, avecK=−4πεqPqM

0. L’énergie potentielle deMdans ce champ de force sera :

Epot= qPqM

4πε0r.

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Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Interaction électrostatique

Interaction électrostatique

La force exercée par un point matérielimmobilede positionPet dechargeqPsur un point matérielimmobilede positionMet dechargeqMest :

FPM= qMqP

4πε0

# » PM

PM3 = qMqP

4πε0

ePM# »

PM2 avec : 1 4πε0

'9·109S·I· Lechampde force dePest doncnewtonien, avecK=−4πεqPqM

0. L’énergie potentielle deMdans ce champ de force sera :

Epot= qPqM

4πε0r.

I Cette expression est également valable pour la force exercée parPimmobilesurM mobile.

I pour une distance proton-électron5 m, cette force domine le poids

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Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Interaction gravitationnelle

Interaction gravitationnelle

La force exercée par un point matériel de positionPet demasse pesante mPsur un point matériel de positionMet demasse pesantemMest :

FPM=−GmPmM

PM3

# »

PM=−GmPmM

PM2

ePM# »

avec :G= 6,672(10) 10−11N.m2kg−2.

Il s’agit de nouveau d’un champ de forcenewtonien, avec maintenant K=GmPmM. Dans ce champ de force, l’énergie potentielle deMsera :

Epot =−GmPmM r .

(50)

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Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Interaction gravitationnelle

Interaction gravitationnelle

La force exercée par un point matériel de positionPet demasse pesante mPsur un point matériel de positionMet demasse pesantemMest :

FPM=−GmPmM

PM3

# »

PM=−GmPmM

PM2

ePM# »

avec :G= 6,672(10) 10−11N.m2kg−2.

Il s’agit de nouveau d’un champ de forcenewtonien, avec maintenant K=GmPmM. Dans ce champ de force, l’énergie potentielle deMsera :

Epot =−GmPmM r .

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Énergie potentielle effective et nature des mouvements Exemples fondamentaux

Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Cadre du modèle

I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg

I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg

fgrav

felec =Gmemp4πε0

e2 = 4,4 10−401

I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà

symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !

I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique

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Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Cadre du modèle

I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg

I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg

fgrav

felec =Gmemp4πε0

e2 = 4,4 10−401

I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà

symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !

I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique

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Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Cadre du modèle

I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg

I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg

fgrav

felec =Gmemp4πε0

e2 = 4,4 10−401

I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà

symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !

I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique

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Nature des trajectoires Énergie d’un état lié Lois de Kepler

Cadre du modèle

I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg

I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg

fgrav

felec =Gmemp4πε0

e2 = 4,4 10−401

I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà

symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !

I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique

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Cadre du modèle

I électron :q=−e=−1,602 176 53(14)·10−19C et me=9,109 382 6(16)·10−31kg

I protonq= +e,mp=1,672 621 71(29)·10−27kg

fgrav

felec =Gmemp4πε0

e2 = 4,4 10−401

I la gravité sera négligeable pour des particules élémentaires chargées, I pour la gravitation l’expression est valable pour des corps non ponctuelsà

symétrie sphériquequelle que soit la distance qui les sépare !

I la gravité ne sera importante que pour des corpsneutres et *très massifs I la mécanique quantique est nécessaire pour l’étude de l’atome mais, par exemple, les caractéristiques du mouvement de l’électron dans un atome d’hydrogène (énergie, rayon caractéristique, moment cinétique) sont les mêmes que celles déterminées en mécanique classique

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