III - Mouvement circulaire uniforme

UTBM - PSS 2 - Partiel final - 20/01/2017 Maxime Champion

PSS 2 - Partiel

Durée : 1 h 30 - 20 janvier 2017

I - Éléments cinématiques cartésiens :

On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant : x(t) =a₀t²+x₀,y(t) =−vt etz(t) =z₀ avec x₀ =−z₀ = 1 m, a₀= 2 m·s⁻² etv= 3 m·s⁻¹.

I.1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne.

I.2. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t= 2 s.

I.3. Calculer la norme de l’accélération de M à la datet= 1 s.

II - Curling

Une pierre de curling est lancée sur la piste. Sa vitesse initiale vaut 3 m/s. À cause des frottements, elle subit une décélération de a0 =−0.1 m/s².

II.1. Au bout de combien de temps la pierre s’arrête ? II.2. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

III - Mouvement circulaire uniforme

III.1. Sur un schéma, représenter précisément et distinctement les coordonnées cylindriques. Représentez en particulier les coordonnéesr etθ ainsi que les vecteurs unitaires correspondants.

III.2. Donner les valeurs de d#”er

dt et d#”eθ

dt .

III.3. En déduire l’expression du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques.

III.4. En déduire que le vecteur accélération est donné par

#”a(t) =¨r(t)−r(t) ˙θ(t)²#”e_r+2 ˙r(t) ˙θ(t) +r(t)¨θ(t)#”e_θ+ ¨z(t)#”e_z .

III.5. On considère un mouvement circulaire tel quer(t) =R. En déduire ˙r(t) et ¨r(t).

III.6. On considère une rotation uniforme soit ˙θ(t) =ω une constante. En déduire le vecteur accélération et le représenter sur un schéma.

IV - Comment bien bombarder une ville

On considère un bombardement par catapulte.

On étudie une pierre de masse m lancée à partir d’un point O pris comme origine du repère carté- sien. La pierre est lancée avec une vitesse initiale

faisant un angleα avec l’horizontale. O

x z

#”v₀ α

On admet que le vecteur accélération est constant et vaut #”a =−g#”ez

IV.1. Exprimer le vecteur #”v0 dans la bas #”ex et #”ez en fonction de α et dev0. IV.2. Donner les fonctions ¨z(t) et ¨x(t).

IV.3. À l’aide de la question II.1., en déduire les fonctions ˙z(t) et ˙x(t).

IV.4. En déduire x(t) et z(t).

IV.5. Quelle est l’altitude maximale atteinte par la masse en fonction de α? IV.6. Quelle est la distance xm pour laquelle la masse touche le sol.

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