6 : Ondes de spin dans un ferromagn´ etique – magnons

M2 – Parcours de Physique Quantique 29 novembre 2011

TD n

6 : Ondes de spin dans un ferromagn´ etique – magnons

On ´ etudie un mod` ele (quantique) ph´ enom´ enologique de ferromagn´ etique. Soit S(~ ˆ ~ r) l’op´ erateur densit´ e de spins (l’aimantation locale) correspondant ` a des spins localis´ es ou aux spins des

´

electrons de conduction. Nous ´ ecrivons l’´ energie d’interaction entre spins sous la forme : H ˆ

= 1

2

d~ r d~ r

v(~ r − ~ r

) S(~ ˆ ~ r) · S(~ ˆ ~ r

) (1) o` u v(~ r − ~ r

) est un potentiel d’interaction. Cette interaction est une interaction effective qui trouve son origine dans l’interaction de Coulomb entre ´ electrons et le principe de Pauli (m´ ecanisme d’´ echange dans le cas d’une interaction ferromagn´ etique ou de super´ echange dans le cas d’une interaction antiferromagn´ etique). L’objet du probl` eme est d’´ etudier la susceptibilit´ e magn´ etique dans la phase ferromagn´ etique.

Afin d’´ eviter des ambigu¨ıt´ es, ou simplement pour aider la discussion, les op´ erateurs sont parfois “chapeaut´ es”.

1/ Justifier que

[ ˆ S

(~ r), S ˆ

(~ r

)] = i

δ(~ r − ~ r

) ˆ S

(~ r) (on choisit

= 1) (2) (avec sommation implicite sur les indices r´ ep´ et´ es) o` u

est le tenseur de Levi-Civita

. Suggestion : on peut consid´ erer la densit´ e de spin pour une particule : S(~ ˆ ~ r) = S δ(~ ˆ ~ r − ~ ˆ r) o` u ˆ ~ r est l’op´ erateur position et S ~ l’op´ erateur de spin.

2/ ´ Equation du mouvement.– Calculer la d´ eriv´ ee par rapport au temps de l’op´ erateur en repr´ esentation d’interaction

S ˆ

(~ r, t) = i[ ˆ H

, S ˆ

(~ r, t)]. Montrer que

d dt

ˆ ~

S(~ r, t) =

d~ r

v(~ r − ~ r

) S(~ ˆ ~ r

, t) × S(~ ˆ ~ r, t) − i v(0) S(~ ˆ ~ r, t) (3) V´ erifier l’hermiticit´ e du r´ esultat.

Indications : On rappelle que ( A ~ × B) ~

=

A

B

et

= 2δ

.

3/ Susceptibilit´ e magn´ etique ( La question Importante <sup>).– Le syst`</sup> eme est soumis ` a un champ magn´ etique ext´ erieur B(~ ~ r, t), ce qui apporte la contribution ` a l’´ energie :

H ˆ

(t) = −

d~ r S(~ ˆ ~ r) · B(~ ~ r, t) (4) La susceptibilit´ e magn´ etique est d´ efinie selon

hS

(~ r, t)i

= hS

(~ r)i +

dt

d~ r

χ

(~ r − ~ r

, t − t

) B

(~ r

, t

) + O(B

) (5) o` u h· · ·i et h· · ·i

sont respectivement les moyennes quantiques/statistiques ` a l’´ equilibre et en pr´ esence de la perturbation. Exprimer la susceptibilit´ e comme une fonction de corr´ elation du syst` eme ` a l’´ equilibre.

1. ijk est le tenseur antisym´etrique par rapport `a l’´echange de couples d’indices : ijk = −jik, etc, avec 123= +1.

1

4/ Utiliser l’´ equation du mouvement pour calculer

χ

(~ r − ~ r

, t).

5/ On suppose que l’interaction est telle que le syst` eme est dans une phase ferromagn´ etique ` a suffisamment basse temp´ erature. On note M ~ l’aimantation moyenne M ~

= h S(~ ˆ ~ r)i et on introduit l’op´ erateur m(~ ~ r) d´ ecrivant les fluctuations d’aimantation (|| m|| || ~ M||) : ~

ˆ ~

S(~ r) = M ~ + ˆ m(~ ~ r) (6)

En n´ egligeant les termes d’ordre || m|| ~

dans l’´ equation obtenue au 4, montrer qu’on obtient une

´

equation diff´ erentielle pour la susceptibilit´ e.

6/ Susceptibilit´ e dans l’espace de Fourier.– On d´ efinit χ

(~ q, ω) =

Z

dtd~ r χ

(~ r, t) e

(7) On suppose l’aimantation selon Oz : M ~ = ~ u

M

. On s’int´ eresse aux composantes χ

= χ

et χ

= −χ

(pour un syst` eme isotrope). Montrer que celles-ci ob´ eissent au syst` eme d’´ equations : i[ω − v(0)] χ

(~ q, ω) = M

[˜ v(~ q) − v(0)] ˜ χ

(~ q, ω) (8) i[ω − v(0)] χ

(~ q, ω) = −M

[˜ v(~ q) − v(0)] ˜ χ

(~ q, ω) + M

(9) o` u ˜ v(~ q)

=

d~ r v(~ r) e

Figure

1 – R. N. Sinclair & B. N. Brockhouse, Phys. Rev. 120(5), 1638 (1960). Exp´ erience de diffusion de neutrons par un alliage de cobalt avec 8% de fer (fcc).

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7/ Magnons.–

a/ R´ esoudre le syst` eme. Montrer que les susceptibilit´ es divergent sur une ligne ω = ω

. Donner l’expression de ω

(la relation de dispersion). Interpr´ eter physiquement cette divergence.

b/ La divergence de χ

(~ q, ω) se produit-elle vraiment pour ω ∈

? ` A quel principe ce probl` eme est-il reli´ e ?

c/ ` A quelle(s) condition(s) le d´ eveloppement de la transform´ ee de Fourier du potentiel pour

~

q → 0 est-il de la forme : ˜ v(~ q) ' v(0) ˜ −

~ q

. Relier A ` a une propri´ et´ e du potentiel. D´ eduire que la relation de dispersion des magnons est quadratique, ω

'

~q→0

cste +

, et exprimer la masse effective m

en terme du potentiel et de l’aimantation.

d/ Ferromagn´ etique isotrope - th´ eor` eme de Goldstone.– A quoi correspondent les magnons de ` vecteur ~ q → 0 ? D´ eduire la valeur de v(0) dans un ferromagn´ etique isotrope.

Rq :

ce r´ esultat est li´ e au th´ eor` eme de Goldstone. Dans un ferromagn´ etique isotrope, alors que l’hamiltonien est invariant par rotation, sous la temp´ erature de Curie le syst` eme fixe son ai- mantation dans une certaine direction. L’´ etat fondamental (la phase ferro) poss` ede une sym´ etrie, SO(2), plus basse que celle de l’hamiltonien, SO(3). On parle de brisure spontan´ ee d’une sym´ etrie continue. Ce ph´ enom` ene s’accompagne de l’apparition de modes de Goldstone, des modes col- lectifs non massifs (sans gap)

. L’origine de ce(s) mode(s) vient de la possibilit´ e de tourner l’aimantation globale du ferromagn´ etique sans coˆ ut ´ energ´ etique.

e/ Commenter la figure 1. L’exp´ erience pour un alliage de cobalt avec 8% de fer trouve

ω

' C +

J Sa

~ q

o` u J S ' 14.7 meV et C ' 1.3 meV. En supposant un param` etre de maille a ∼ 1˚ A, donner la valeur de la masse effective en unit´ e de masse de l’´ electron.

8/ Loi de Bloch.– On admet que les fluctuations de l’aimantation δM (T ) sont proportionnelles au nombre de modes de magnons excit´ es thermiquement. Donner la densit´ e de modes ρ

(ω) et d´ eduire le comportement de δM avec T et M (on ne s’int´ eresse pas aux pr´ efacteurs num´ eriques).

2. ne pas confondre la notion de modemassifavec la masse effectivem^∗introduite ci-dessus. Dans la termino- logie standard, un mode massif correspond `a des excitations avec un gap fini. L’origine de cette terminologie vient de la structure de la fonction de Greenhr|<sub>−∆+m</sub><sup>1</sup> <sub>2</sub>|0iassoci´ee `a une relation de dispersionk²+m². La quantit´e mjoue le rˆole de gap dans le spectre de l’op´erateur (ou de masse dans une th´eorie relativiste∂²_tφ= (−∆ +m²)φ).

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