CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE

HAL Id: jpa-00215286

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00215286

Submitted on 1 Jan 1973

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE

H. Flocard

To cite this version:

H. Flocard. CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE.

Journal de Physique Colloques, 1973, 34 (C4), pp.C4-87-C4-100. �10.1051/jphyscol:1973411�. �jpa- 00215286�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C4, supplément au no 11-12, Tome 34, Novembre-Décembre 1973, page 87

CALCULS HARTREE-POCK SPHÉRHQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE

H. FLOCARD

Institut de Physique Nucléaire, Division de Physique Théorique (*) 91406 Orsay, France

Résumé. - Dans cet exposé nous présentons deux exemples de calculs Hartree-Fock utilisant une interaction effective. Tout d'abord ceux réalisés par Campi et Sprung au moyen de l'approxi- mation de densité locale ; puis les calculs réalisés à Orsay avec l'interaction effective de Skyrme.

Dans cette deuxième partie nous faisons une discussion de la paramétrisation, mettant en parti- culier en évidence l'influence de la non-localité sur les résultats obtenus pour des noyaux non magiques. Un ensemble de paramètres a été obtenu, qui permet le calcul des énergies de liaison totales des noyaux de la table des éléments avec une erreur probable de 5 MeV une fois que les corrections de pairing et de déformation ont été prises en compte.

Abstract. - We present two examples of Hartree-Fock calculations with effective interactions.

First, those made by Campi and Sprung with the local density approximation ; second, calcula- tions made in Orsay with the Skyrme effective interaction. In this second part we discuss the parametrization with a special emphasis on the influence of the non locality for non magic nuclei.

We have derived a set of parameters which predicts the total nuclear binding energies for the whole mass table with a mean error of 5 MeV, when the pairing and deformation corrections are included.

1. Introduction. - Les nombreuses évidences expé- rimentales de l'existence en Physique Nucléaire du phénomène de structure en couches sont la justification d'une théorie Hartree-Fock (HF) des noyaux. Le choix de la méthode variationnelle H F implique la nécessité de définir une interaction effective nucléon- nucléon tenant compte des modifications apportées à l'interaction nucléon-nucléon libre par la matière nucléaire avoisinante. Les calculs de Brueckner et ses suivants montrent que, si dans la matière nucléaire les énergies individuelles des nucléons sont très différentes des énergies en l'absence d'interaction, par contre la fonction d'onde relative de deux nucléons ne diffère de la fonction d'onde relative de deux nucléons libres que sur une courte distance. Ces résultats (joints bien sûr aux évidences expérimentales mentionnées plus haut) montrent qu'il est possible d'obtenir une bonne approximation de la solution du problème à N corps dans les noyaux par un calcul en deux étapes : premièrement, construction d'une interaction effective de façon à tenir compte du maximum de l'effet des corrélations à courte portée quitte à faire intervenir une dépendance de la densité ou de l'énergie ; deuxièmement, résolution des équa- tions H F avec cette interaction. Depuis quelques années grâce à de nombreuses méthodes numériques et surtout grâce à la puissance des nouveaux ordi- nateurs la résolution du système non linéaire des équations H F est relativement aisée et rapide du moins quand on se limite à un formalisme sphérique. Toute

(*) Laboratoire associé au CNRS.

la difficulté est donc reportée sur le choix de l'inter- action effective. Deux lignes de travail sont alors possibles. La plus ambitieuse cherche, à partir d'une interaction nucléon-nucléon libre et via un calcul aussi exact que possible de la matière nucléaire, à définir une interaction valable pour les noyaux.

On peut aussi essayer de postuler directement une forme, la plus simple possible, de l'interaction effec- tive capable de rendre compte de phénomènes géné- raux dont la reproduction est indispensable (dépen- dance en densité, saturation par exemple). C'est à cha- cune de ces possibilités que sont consacrés les deux chapitres de l'exposé suivant. On peut aussi mention- ner l'existence de quelques calculs du type Brueckner- Hartree-Fock (BHF). Cependant bien qu'apparem- ment beaucoup plus « propres » théoriquement que ceux évoqués plus haut, ils ont toujours prédit des énergies de liaison trop grandes et des rayons nucléaires trop grands. Ceci provenant essentiellement de ce que ces calculs ne prennent pas en compte, ni explicitement ni implicitement, les amas à trois corps, alors que l'étude de la matière nucléaire a montré que ceux-ci fournissaient une contribution importante à l'énergie totale. Pour cette raison et aussi parce que sa complexité numérique dépasse de beaucoup le simple problème H F je ne parlerai pas plus de la méthode BHF d'évaluation des pro- priétés nucléaires.

2. L'approximation de densité locale (LDA). -

Bien que cette approximation soit relativement ancienne [l] c'est seulement depuis le travail de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1973411

C4-88 H. FLOCARD Negele [2] que sa formulation a été assez précise et détaillée pour pouvoir rendre compte d'un ensemble très large de propriétés nucléaires.

Depuis, Campi et Sprung [3] en améliorant la même ligne de travail, ont recommencé une série de calculs pour un ensemble de noyaux sphériques.

C'est dans ce travail récent que je puiserai les résultats présentés dans ce chapitre.

2.1 FONDEMENTS DE L'APPROXIMATION. - La théorie de la matière nucléaire permet de définir une inter- action effective G de deux nucléons dans un milieu infini homogène. Les nucléons étant des fermions, ce milieu infini est caractérisé par un nombre : le niveau de Fermi k, ou de façon équivalente la den-

sité p reliée à kF par :

2 ³ p = -- k,.

3 n2

L'équation fondamentale à résoudre est celle de Bethe et Goldstone

Dans cette équation intégrale v(r) est l'interaction nucléon-nucléon libre. Q l'opérateur de Pauli qui restreint les états intermédiaires à ceux situés au-des- sus du niveau de Fermi k,. e le dénominateur d'énergie s'écrit sous la forme :

E(kr) représente I'énergie individuelle d'un état intermédiaire. Dans un calcul de matière nucléaire étudiant deux nucléons k, et k2 (ki et k, < kF) on a W = E(kl)

+

En fait l'écriture (2) de l'équation de Bethe et Goldstone est purement formelle. Dans la pratique, on détermine à partir de la fonction d'onde de deux nucléons libres @(k,, r) la fonction d'onde de deux nucléons en interaction Y(k,, kF, W, r) I'interaction effective G

est alors définie par

En fait les calculs montrent que G ainsi défini dépend peu de k, le moment relatif des deux nucléons.

On peut donc réaliser une moyenne sur toutes les valeurs de k,. On aboutit alors à une interaction

niveau de Fermi donc de la densité. L'idée de base de la LDA est de remplacer l'interaction effective en tout endroit d'un noyau fini par I'interaction effective dans la matière nucléaire, interaction calculée pour la densité p(r) du noyau à l'endroit considéré. Cela revient donc à supposer que sur une distance de l'ordre de grandeur de la portée de la force, la fonction d'onde relative de 2 nucléons dans le noyau peut être approximée par la fonction d'onde relativè de 2 ondes planes. Si cette approximation est justifiée à l'intérieur du noyau où la densité nucléaire est presque constante, elle est sûrement moins bonne pour la surface des noyaux. En fait comme nous allons le voir malgré cet inconvénient, la LDA fournit une très bonne description des noyaux.

2.2 DÉPENDANCE ^{DE LA} DENSITÉ. - Dans la pra- tique l'interaction effective dans la matière nucléaire est obtenue numériquement. La première étape consiste donc à trouver une paramétrisation de la dépendance en densité. Une telle paramétrisation n'est pas unique car pour une utilisation dans les noyaux finis on a besoin de connaître la dépendance sur le moment de Fermi seulement pour des valeurs de k, comprises entre 0,5 et 1,5 fm-' approximati- vement. En effet les densités correspondant à Jc, > 1,5 fm-l sont improbables dans un noyau à cause du caractère répulsif de la dépendance en densité. D'autre part les densités associées à des k, < 0,5 fm-' fournissant une part très faible de I'énergie on peut penser que les erreurs introduites pour des densités si basses par un choix donné de la paramétrisation sont négligeables en comparaison de celle due à l'approximation de densité locale à la surface du noyau. Pour cette raison, Campi et Sprung ont essayé trois dépendances différentes de la densité

(7)

Bien que I'interaction O fournisse dans l'ensemble les meilleurs résultats les trois dépendances en densité sont sûrement aptes à réaliser une bonne description des propriétés nucléaires. La caractéristique qui semble la plus directement reliée au type de dépen- dance en densité adoptée est l'incompressibilité dans la matière nucléaire. Comme l'étude de l'interaction de Skyrme le confirmera, la dépendance linéaire de la densité semble associée à une forte valeur de I'in- compressibilité (K > 300 MeV). Un autre effet impor- tant de la dépendance en densité est l'apparition des termes dits de réarrangement. Dans un calcul HF avec une force ne dépendant pas de la densité on sait G ( ~ F , W, r)

-

z

dance en énergie W. On dispose donc d'une interaction

effective sous la forme d'un potentiel dépendant du E ⁼ $(T

+ z

CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE C4-89

Dans le cas d'une force dépendant de la densité, cette formule doit être corrigée par l'énergie de réarran- gement

On peut montrer l'apparition de ce terme de réar- rangement de la façon schématique suivante (l).

Soit un potentiel dépendant de la densité sous la forme

V(r) *

la contribution du potentiel

-

-

mais aussi un potentiel de réarrangement qui tient compte de ce que modifiant la densité, nous avons aussi modifié l'interaction

C1 ^N

- Tr, Tr, vpa-' p(1) p(2) .

2

La contribution des deux termes à ci est donc 1

+

2)

vpa

On obtient alors

2 3 4 5 6

AI^

FIG. 1. - Contribution à l'énergie totale (ET) de I'énergie de réarrangement (ER) calculée pour différents noyaux magiques.

Ce terme est en général important comme on peut le voir sur la figure 1. E étant l'énergie totale ; ER qui est l'énergie de réarrangement représente plus de la moitié de I'énergie totale.

(1) 11 ne s'agit pas d'une démonstration. On ne peut évi- demment pas traiter les problèmes d'antisymétrisation par un simple signe

2 . 3 DÉPENDANCE ^DE L'ÉNERGIE. - De même que pour construire G(kF, W, r) nous avions effectué une moyenne sur l'impulsion relative k, _{de deux} particules dans la mer de Fermi, on pourrait penser utiliser une interaction moyenne : G(kF, % r).

En fait une telle interaction ne peut pas prétendre à de bons résultats dans les noyaux finis. En effet, les énergies individuelles des nucléons dans les noyaux finis sont en moyenne plus hautes que dans la matière nucléaire. Comme la dépendance en énergie de l'interaction effective G est forte et correspond dans ce cas à une augmentation du caractère attractif de la force, on ne peut pas la négliger sous peine d'obtenir des énergies de liaison trop faibles. Pour des raisons de commodité Campi et Sprung séparent la dépendance en énergie sous la forme

-

W(kF) représente une moyenne des énergies indi- viduelles dans la matière nucléaire incluant les effets de réarrangement, pour la densité k,. W représente I'énergie des particules individuelles dans les noyaux finis. Cette dépendance en énergie permet d'obtenir (comme il est souhaitable) à la fois des niveaux pro- fonds (1s par exemple) d'énergie inférieure à - 50 MeV tout en permettant une bonne description du spectre au voisinage du niveau de Fermi. Un exemple de ce bon accord est reproduit sur la figure 2 où l'on voit, que l'interaction O de Campi et Sprung reproduit très correctement la densité de niveaux au voisinage du niveau de Fermi dans le 208Pb. Il faut cependant signaler que la dépendance en énergie pose un pro- blème d'ordre pratique. Comme l'hamiltonien de Hartree-Fock dépend explicitement de I'énergie du niveau individuel considéré, les fonctions d'ondes des états ne différant que par le nombre quantique radial n ne sont pas orthogonales. On tourne la difficulté en utilisant pour chacun d'eux une énergie moyenne. On peut alors résoudre le système des équations HF. On traite ensuite en perturbation la dépendance en énergie.

FIG. 2. - Spectres de particules individuelles du ZOSPb obtenus par Campi et Sprung pour différentes prescriptions d'utilisation

du terme dépendant de I'énergie (a et b).

C4-90 H. FLOCARD

2.4 RENORMALISATION DE L'INTERACTION EFFEC-

TIVE. - L'interaction effective G obtenue après réso- lution de l'équation de Bethe et Goldstone à partir d'un potentiel réaliste comme celui de Reid fournit une énergie de saturation trop faible en valeur absolue.

Différentes estimations [4], [5] ont montré que les amas à 3 corps et plus pouvaient être considérés comme responsables de ce désaccord. Il est donc évident que l'utilisation dans des calculs de noyaux finis d'une interaction effective obtenue directement à partir de l'équation de Bethe et Goldstone donnera des énergies de liaison trop faibles en valeur absolue. Pour obtenir des résultats convenables il convient donc de renormaliser l'interaction G de façon à tenir compte de manière implicite de l'influence des amas à 3 corps.

TABLEAU 1

Energies et rayons de charge calculés pour dzflérents noyaux magiques avec l'interaction O de Campi et Sprung non renormalisée (a) et renormalisée (b).

4 ^MeV - 3,62 - ^7,68 - ^7,98 - 4,02 - 8,33 - 8,55 E

4 ^{MeV - 4,16} - 8,63 - 8,71 - 3,50 - 7,87 - 7,87 E

Campi et Sprung réalisent cette renormalisation en introduisant deux facteurs multiplicatifs destinés à rendre plus attractif le potentiel dans les états relatifs pairs. Ces facteurs multiplicatifs qui permettent d'ajuster la valeur de l'énergie de saturation dans la matière nucléaire à E/A = - 16,5 MeV et le moment de Fermi de saturation à kF = 1,35 fm-l constituent les deux seuls paramètres de la méthode LDA. Leur présence est pourtant absolument nécessaire comme le montre le tableau 1 où sont comparés les résultats HF pour différents noyaux magiques sans (a) et avec (b) ces facteurs multiplicatifs.

Pour clore ce chapitre consacré à la LDA on peut présenter deux exemples montrant la qualité des prévisions réalisées avec cette méthode. Sur la figure 3 la courbe en trait plein représente une extrapolation linéaire entre les masses expérimentales par nucléon pour quelques noyaux magiques. La courbe en tiretés correspond à l'interaction O de Campi et Sprung.

Comme on le voit sur la figure l'erreur ne dépasse pas 0'2 MeV par nucléon. L'accord est même étonnam-

FIG. 3. - Courbes d'énergies par particule en fonction de A FIG. 4. - Sections efficaces de diffusion d'électrons pour expérimentale (trait plein) et calculée par Campi et Sprung divers noyaux magiques obtenues à partir des densités de

par la méthode LDA (tiret long). charge calculées par Campi et Sprung.

CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE C4-91 ment bon pour un noyau comme Y4He pour lequel

on pourrait penser que l'approximation de densité locale n'est pas très adaptée. Sur la figure 4 sont présentées des sections efficaces de diffusion d'élec- trons pour différents noyaux magiques. Les points correspondent aux résultats expérimentaux, les courbes en traits pleins à un calcul réalisé par un programme de déphasage à partir des densités de charge calculées par Campi et Sprung à partir de l'interaction 0. Là encore le très bon accord montre que la LDA permet non seulement de prévoir très correctement les énergies de liaisons mais aussi les distributions nucléaires.

3. L'interaction effective de Skyrme. - La forme analytique de cette interaction a été proposée par Skyrme dès 1956 [6] mais a été utilisée extensivement en Physique Nucléaire seulement depuis les travaux de Brink et Vautherin [7]-[a]. Il existe par ailleurs de nombreuses forces effectives ; une des plus célèbres porte le nom de Moskowsky [9] ; elle ne diffère essentiellement de la force de Skyrme que par la puis- sance de la densité qu'elle utilise. Cependant nous nous restreindrons à cette dernière car c'est avec elle qu'a été conduit l'ensemble le plus complet de calculs H F tant pour les noyaux sphériques [7], [10], [ I l ] que pour les déformés [8], [12]. L'essentiel de ce chapitre sera consacré à un travail fait à Orsay en collaboration avec M. Beiner et P. Quentin pour déterminer les possibilités de la paramétrisation de Skyrme quant à la prédiction de propriétés des noyaux sphériques.

3.1 CHOIX ^D'UNE PARAMÉTRISATION DE L'INTER- ACTION EFFECTIVE. - Les justifications très générales de la recherche d'une interaction effective apportent peu de contraintes au choix d'une paramétrisation de celle-ci. Tout au plus sait-on qu'il est nécessaire de bien reproduire les propriétés de saturation. On sait aussi que la bonne prédiction simultanée des énergies de liaison et des niveaux de particules indi- viduelles implique l'existence de termes de réarran- gement donc d'une certaine dépendance en densité.

En dehors de cela, toute liberté est a priori laissée et finalement la qualité d'une interaction effective se mesure à la fois à sa simplicité d'utilisation et à son efficacité dans la prédiction des propriétés nucléaires.

Une telle démarche même si elle paraît un peu trop pragmatique est théoriquement justifiée car il est évident qu'un modèle simple et capable de fournir un bon accord avec l'expérience pour un ensemble large de données comporte nécessairement une part de physique et est bien sûr susceptible d'avoir une valeur prédictive pour des propriétés nucléaires non mesurées. Il ne faut pas perdre de vue non plus que des méthodes théoriquement plus justifiées souffrent encore de bien des imperfections. L'approximation LDA par exemple a besoin de deux paramètres de normalisation dont la présence est peut-être explicable qualitativement mais dont la valeur numérique est en fin de compte ajustée en vue d'obtenir de

bons résultats. On peut aussi mentionner le fait que le point de départ du problème à N corps à savoir l'interaction nucléon-nucléon libre à basse énergie est loin d'être parfaitement connu comme le prouve l'apparition au fil des années de nouveaux potentiels aux caractéristiques très différentes [13], [14], 11151.

L'interaction effective de Skyrme se compose d'un potentiel à 2 corps v2 et d'un potentiel à 3 corps de portée nulle v,. Dans des calculs H F ce potentiel à 3 corps agit exactement comme une force à 2 corps de portée nulle dépendant linéairement de la densité.

Nos calculs seront donc directement comparables à ceux réalisés avec l'interaction 3 de Campi et Sprung.

La forme analytique du potentiel à deux corps repose essentiellement sur la remarque suivante. Dans un système de nucléons caractérisé par son niveau de Fermi kF l'impulsion relative de deux particules ne peut évidemment pas dépasser 2 kF. On n'a donc besoin des éléments de matrice de l'interaction que pour un intervalle réduit de valeurs de k de part et d'autre de la valeur de saturation. Dans ces conditions il est raisonnable d'approximer la forme de l'inter- action dans l'espace des impulsions par un dévelop- pement quadratique du type

< k 1 v, ( k' > ⁼ to(l

+

+

+

+

Cette écriture fait apparaître tous les paramètres dont dépend l'interaction à 2 corps à savoir to, t,, t,, xo et W. A ces paramètres il faut ajouter celui qui détermine l'amplitude de l'interaction à 3 corps t,.

C'est donc avec ces 6 paramètres que nous allons essayer de décrire l'ensemble le plus large possible de propriétés nucléaires. Sur le tableau II sont pré- sentés différents ensembles de paramètres dont nous allons discuter les propriétés. L'ensemble S II a déjà été utilisé par Vautherin et nous servira de point de comparaison. Les autres ensembles S III, S IV, S V et S VI ont été déterminés après un choix a priori de la valeur du paramètre t, de façon à présenter un exemple d'interaction de Skyrme pour des valeurs très différentes de la dépendance en densité. On peut remarquer par exemple que l'interaction S V corres- pondant à t , = O représente une force sans aucune dépendance en densité. Nous allons maintenant comparer ces divers jeux de paramètres quant à leurs résultats concernant la matière nucléaire et les noyaux magiques.

3 . 2 MATIÈRE NUCLÉAIRE ET NOYAUX MAGIQUES. -

Sur le tableau III se trouvent les résultats fournis par les divers ensembles pour la matière nucléaire. L'éner- gie par particule reste toujours voisine de - 16 MeV.

Le moment de Fermi est toujours un peu plus faible que celui généralement admis k, ⁼ 1,36 fm-l.

L'incompressibilité est systématiquement supérieure à 300 MeV ce qui est relativement élevé, comparé aux valeurs fournies par les autres interactions [2], [3].

D'après les travaux de Campi et Sprung ceci devrait

H. FLOCARD

TABLEAU II

Ensembles de paramètres de l'interaction de Skyrme

t 0 t 1

MeV.fm-3 MeV.fm-5

- -

S II - 1 169,9 586,6

S III - 1 128,75 395

S IV - 1205,6 765

S V - 1 428,29 970,56 S VI - 1 101,81 271,667

t2 t3

MeV. fm-5 MeV .fmU6 X O

- - -

- 27,l 9 331,l 0,34

- 95 14 000,O 0,45

35 5 000,O 0,05

107,22 0 8 - 0,17

- 138,33 17 000,O 0,583

TABLEAU III

Prédictions pour la matière des dzfférents ensembles de paramètres, les termes ^E~ et c2 sont déjînis par

K MeV m *

ZM~V

- - - - -

S II - 16,OO 1,30 342 0,58 34,2

S III - 15,87 1,29 356 0,76 28,15

S IV ^- 15,98 1,31 325 0,47 3 1,22

S V - 16,06 1,32 306 0,38 32,72

S VI - 15,77 1,29 364 0,95 26,89

w

MeV. fm-5

-

105 120 150 150 115

gz MeV

b---

.O6 -

.O4 -

03-

m

.O1

O

-

'\

'$

-

,,\.

1 2 3 4 5 6 7 8 I Ç I ~ I I 9

FIG. 5. - Densités de charge du 2osPb, calculées dans l'approximation LDA comparées h une courbe phénoménologique du type Fermi parabolique.

CALCULS HARTREE FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE C4-93 être relié à la dépendance linéaire en densité à laquelle mentales les erreurs absolues pour chaque interaction, equivaut l'interaction à 3 corps de portée nulle. Dans _0. peut voir que les masses des noyaux magiques les colonnes E l et 8 2 Sont reportés les termes d'as~mé- sont prévues par les divers ensembles de paramètres trie définis par la formule avec une précision remarquable La paramétrisation

E(A/2, A/2) ⁺ El (AT-2)'

(AT-2)'

de Skyrme se révèle donc capable de reproduire EIA =

A N + Z - + E Z - N + Z les valeurs absolues des masses expérimentales des Les valeurs de z1 comprises entre 28 et 33 MeV.

(Nous excluons l'interaction S I I pour des raisons qui seront indiquées plus bas) sont aussi en accord avec l'ensemble des estimations; Myers et Swiatecki [16] par exemple extraient de leur analyse de goutte liquide une valeur : ^{E ,} = 28 MeV. En fait le seul résultat qui dépende sensiblement de la dépendance en densité est la masse effective qui pour t , variant de O à 17 000 MeV.fm-'j passe de 0,38 à 0,95. Nous avons aussi construit un ensemble de paramètres correspondant à t , = 20 000 MeV.fm-'j qui donne une masse effective supérieure à 1. Avant de passer à l'étude des noyaux magiques, il convient de dire que bien que présentés en premier les résultats dans la matière nucléaire n'ont absolument pas influencé notre choix des ensembles de paramètres.

De même que les informations dites « expérimentales » sur la matière nucléaire ne sont que des sous-produits de l'étude des noyaux finis nous avons déterminé tout d'abord les ensembles de paramètres à partir des résultats pour

calculé les valeurs tableau IV où sont

noyaux magiques avec une précision de l'ordre du MeV. Les résultats concernant l'interaction S II montrent l'existence d'une erreur dans la dépendance du paramètre d'asymétrie. On perd en effet 8 MeV en passant du 40Ca au 48Ca. Le rétablissement d'une dépendance correcte en asymétrie permet d'ailleurs d'obtenir une interaction présentant la même qualité prédictive que les ensembles S III à S VI.

Sur le tableau V sont reportés à côté des rayons expérimentaux de charge déduits d'expériences de diffusion d'électrons et d'atomes p-mésiques, les rayons calculés avec les divers jeux de paramètres, l'excellent accord avec l'expérience montre que la paramétrisation de Skyrme est tout à fait apte à reproduire les propriétés de saturation nucléaire. Les expériences de diffusion d'électrons fournissent en fait beaucoup plus d'informations sur les distributions nucléaires que la valeur des rayons des charges.

C'est pourquoi nous avons calculé à partir des den- sités HF, au moyen d'un programme de déphasage ('), les magiques et ensuite _{( 2 )} Nous remercions le groupe de Physique Théorique de

pour la matière nucléaire. Sur le Saclay de nous avoir transmis son programme de déphasage- . portées à côté des masses expéri- ALS 617, Saclay.

Dz~érences d'énergie de liaison des noyaux magiques calculées par H F avec les valeurs expéri- mentales. AE = EHF - Eexp. Dans la première colonne sont reportées les énergies de liaison expéri- mentales [25].

Eex ,, AE (S II) AE (S III) AB (S IV) AE (S V) AE (S VI)

MeV MeV MeV MeV MeV MeV

- - - - -

160 - 127,62 1,44 - 0,59 - 0,90 - 0,45 - 0,30

''Ca - 342,06 5,60 0,18 0,29 - 0,93 1,04

- 416,Ol 13,45 - 2,20 - 3,13 - 2,25 - 2,76

56Ni - 484,Ol - 0,37 4,54 11,3 - 1,75

''Zr - 783,92 25,2 1,26 1,83 3,22 1,33

140Ce - 1 172,70 - 0,30 - 0,80 - 1,57 -

'OsPb - 1 636,49 68,6 - 0,12 - 0,08 - 0,55 - 0,62

Rayons de charge de noyaux magiques r, S II r, S III r, S IV

fm fm fm

- - -

2,75 2,76 2,74

3,49 3,50 3,48

3,54 3,55 3,52

- 3,80 3,78

4,31 4,33 4,29

5,55 5,58 5,52

H. FLOCARD

FIG. 6. - Section efficace de diffusion d'électrons sur le 4OCa à 250 MeV ; les valeurs expérimentales correspondent aux points.

FIG. 7. - Section efficace de diffusion d'électrons sur le ZOSPb à 250 MeV ; les valeurs expérimentales correspondent aux

points.

les sections efficaces de diffusion d'électrons. Sur la figure 6 sont reportés les résultats pour le 40Ca à 250 MeV correspondant aux interactions S III ( t , = 14 000 MeV. fm-6), S IV ( t , = 5 000 MeV. fm-6) et S V ( t , = O MeV.fm-6). Bien que les trois résul-

tats soient en bon accord avec l'expérience (les points correspondent aux mesures expérimentales [17]).

L'interaction S V fournit de loin le meilleur résultat avec un x2 par point inférieur à 5 au lieu de 50 pour la force S III. Les résultats de diffusion d'électrons sur le 208Pb à 250 MeV [18] (Fig. 7) conduisent aux mêmes conclusions.

Sur la figure 8 sont dessinées les densités de charge calculées pour les interactions S III et S V ainsi qu'une densité phénoménologique du type Fermi parabolique ajustée de façon à reproduire le mieux possible les données expérimentales. On constate que I'inter- action S III prédit une épaisseur de surface notable- ment plus petite que S V. 11 est certain que le meilleur accord obtenu avec l'interaction S V est essentiellement

1

charge density of 208Ph - S III

--- SP I

- - Fcrmi parahlic 1

FIG. 8. - Distribution de charge calculée avec les interactions S II et S III. La courbe en trait-point correspond à l'optimisation

d'une densité de type Fermi parabolique.

dû à ce qu'elle reproduit mieux le comportement superficiel de la densité de charge. Les densités cal- culées avec S III et S V prksentent toutes deux une bosse au centre du noyau contrairement à la courbe du type Fermi parabolique. Le récent travail de Friar et Negele [19] a montré qu'un tel accroissement de la densité au centre du noyau n'était pas du tout incompatible avec les résultats actuels de la diffusion d'électrons et que seule la restriction que constitue le choix d'une forme de type Fermi parabolique empêchait de la trouver. Par contre Friar et Negele trouvent une densité de charge qui commence par décroître vers le centre à partir du premier épaulement à la surface. Or si la densité calculée avec S III vérifie bien cette condition il n'en est pas de même pour celle fournie par S V qui croit constamment de I'ex- térieur vers l'intérieur du noyau. Néanmoins le fait que cette dernière interaction reproduise bien le comportement à la surface du noyau explique I'excel- lent accord avec l'expérience qu'elle permet de trouver.

A ce point de notre étude, nous avons trouvé à l'intérieur de la paramétrisation de Skyrme des ensembles de paramètres avec des dépendances en

CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE

2 0 8 ~ b

protons

S I I SP sx SI^ SYI exp.

C3 MeV fm-ô 9331.1 0.0 5000.0 14000.0 170000

2 0 8 ~ b

neutrons

sn s n S E sin s n exp.

9331.1 0.0 5 W û . O WOOQO 170000 t 3 MeVfm-6

FIG. 9. - Spectre de particules individuelles au voisinage de la surface de Fermi dans le 208Pb.

La figure 9a correspond au spectre de protons, 96 au spectre de neutrons.

densités très différentes et tous capables de fournir un bon accord avec l'expérience tant au point de vue de la prédiction des masses des noyaux magiques que des densités de charge. Paradoxalement c'est même la force sans dépendance en densité qui fournit le meilleur accord pour la diffusion d'électrons. Nous allons voir maintenant que ce n'est plus du tout le cas si on s'intéresse aux niveaux d'énergies indivi- duelles et ceci nous conduira à un compromis en vue de déterminer le meilleur ensemble de paramètres.

Sur la figure 9a sont reportés les niveaux de protons au voisinage du niveau de Fermi dans le 208Pb. A gauche se trouvent les valeurs expérimentales [20]

extraites de réactions de transfert à une particule. On a aussi dessiné les résultats obtenus pour les divers jeux de paramètres. Ici à l'exception de S II qui n'est utilisée qu'à titre de comparaison les interactions ont été classées par ordre croissant de la valeur du paramètre t,. On constate nettement que la densité du spectre s'accroît avec la valeur de t , et que l'en- semble S VI fournit un spectre qui possède presque la même densité de niveaux que le spectre expérimental.

Pour une valeur de t, = 20000 MeV.fm-6 on peut même obtenir un spectre beaucoup plus comprimé que le spectre expérimental. L'étude du spectre de neutrons (Fig. 9b) conduit à la même conclusion.

En fait l'expérience ne permet pas seulement de connaître les énergies individuelles au voisinage de la mer de Fermi mais aussi d'évaluer au moyen des réactions de knock-out [21] la position des niveaux

profonds. Bien qu'entachées d'une grande incertitude (de l'ordre de 10 MeV) ces expériences estiment l'énergie des niveaux 1s protons à - 40 MeV dans l'oxygène et - 50 MeV dans le calcium.

Sur le tableau VI ont été reportées les valeurs des énergies des niveaux 1s de protons et de neutrons pour les diverses interactions et pour différents noyaux magiques. On voit que les deux interactions extrêmes S V et S VI prédisent des niveaux Is respectivement trop et trop peu liés. La paramétrisation de Skyrme ne permet donc pas d'obtenir une compression sélec- tive du spectre ; l'interaction S VI qui prédit une bonne densité de niveaux au voisinage du niveau de Fermi prédit aussi des niveaux 1s trop peu profonds.

On peut relier cette propriété du spectre de niveaux individuels à la masse effective. Dans le cas de l'inter- action de Skyrme, on a

On a vu que cette masse effective était une fonction croissante de t,. En fait c'est essentiellement par la variation de la masse effective que l'on arrive à comprimer plus ou moins le spectre car le potentiel de H F moyen varie très peu en fonction de t,. Comme la masse effective dépend seulement de la densité nucléaire elle aura autant et peut-être même plus d'effet sur les niveaux profonds qui correspondent à des fonctions d'onde en moyenne plus internes sur

H. FLOCARD

Energies des niveaux 1 s protons et neutrons (MeV) pour difîérents noyaux magiques et dljërents ensembles de paramètres

les niveaux les plus hauts. Les différents calculs faits dans la matière nucléaire conduisent à des valeurs de la masse effective proche de 4 ^; I'interaction S III prédit une masse effective assezproche : 3 ; d'autre part les résultats concernant tant la matière nucléaire, les masses des noyaux magiques, les rayons de charge, la diffusion d'électrons, le spectre au voisinage du niveau de Fermi, la position des niveaux profonds sont bons ; pour ces raisons c'est avec cet ensemble de paramètres que nous avons continué les calculs plus détaillés qui vont être présentés maintenant.

3 . 3 NOYAUX NON MAGIQUES. - Plusieurs phéno- mènes sont susceptibles de modifier les prévisions 'fournies par un calcul H F sphérique, pour des noyaux ne correspondant pas à des fermetures de couches.

Tout d'abord les noyaux peuvent se déformer ; la déformation correspondant à un accroissement de stabilité. Nous avons effectué des calculs HF déformés dans différentes régions de la table de masse. Ces calculs seront présentés dans un autre exposé [22].

Dans le présent rapport, nous nous limiterons à des noyaux contraints à la sphéricité. Dans les régions de forte déformation (actinides, terres rares) nos résultats devront donc être corrigés ; mais pour beaucoup de noyaux au-dessous des terres rares ou dans le voisinage du plomb l'approximation sphérique est très correcte et nous pourrons donc comparer raisonnablement nos résultats avec l'expérience.

Quand la densité de niveaux occupés et inoccupés au voisinage de la surface de Fermi devient grande les phénomènes d'appariement deviennent importants.

Aussi après avoir effectué une première série de calculs HF, nous avons essayé d'estimer les corrections

d'appariement au moyen d'un calcul H F

+

Il reste enfin les phénomènes dits de corrélations qui sont responsables entre autres des effets collectifs.

L'évaluation de leur amplitude est un problème encore mal résolu pour lequel les solutions proposées dépendent beaucoup de la région de la table de masse étudiée. De toute façon, un calcul H F est susceptible de fournir la base de particules-trous nécessaire à la description de ces effets et il est raisonnable de penser que ceux-ci constitueront une petite correction à une tendance générale fournie par un calcul HF.

Nous allons donc dans ce chapitre étudier systéma- tiquement les énergies de liaison et le spectre de niveaux individuels en fonction des nombres N et Z de neutrons et de protons.

a) Energies de liaison. - Nous nous sommes d'abord intéressés aux prévisions des divers jeux de paramètres pour une vingtaine de noyaux situés le long d'un chemin suivant approximativement la vallée de stabilité. Sur la figure 10 sont présentés les écarts par rapport à l'expérience sur les masses par particule pour les interactions S II, S III et S V. Dans le cas de S II l'erreur sur le coefficient d'asymétrie explique que la courbe ne repasse pas à zéro aux fermetures de couches. Néanmoins l'effet le plus remarquable reste quand même apparent. L'amplitude des oscil- lations de la courbe d'erreur va croissant pour des valeurs décroissantes de t,. Ceci est, comme nous le verrons plus tard, relié à la compression du spectre au voisinage du niveau de Fermi. En particulier I'interaction S III qui prédit une densité du spectre très proche des valeurs expérimentales conduit à des erreurs sur l'énergie par particule inférieures à

CALCULS HARTREE-FOCK SPHÉRIQUES AVEC INTERACTION EFFECTIVE C4-97

: _ . _ _ _ _ _ , rare earh--' ;ci in:&,

FIG. 10. - Ecarts sur les énergies de liaison par particules calculés pour les ensembles de paramètres S II, S III et S V.

100 keV pour les noyaux situés en dehors des zones de déformation.

Nous avons ensuite recommencé les calculs HF pour plus de cent noyaux situés cette fois le long d'une ligne oscillant autour de la vallée de stabilité.

Nous avons ainsi réalisé un contrôle très sévère du bon comportement de l'énergie de symétrie. Pour la même raison, nous avons aussi de place en place, fait .des calculs pour des séries d'isobares. Les résultats sont présentés sur la figure 11 pour les interactions S III et S IV. Nous avons porté cette fois l'erreur sur l'énergie totale en fonction du nombre de masse A.

Les amplitudes de la courbe correspondant à S IV sont là aussi bien sur plus grandes que celles corres- pondant à S III. Comme nous avons ajusté l'énergie des noyaux magiques I'erreur en dehors des ferme- tures de couche correspond toujours, comme on doit s'y attendre, à un défaut de masse. On peut enfin remarquer que si l'on exclut les régions de déformation un calcul H F sphérique peut fournir une table de masse avec une erreur probable inférieure à 10 MeV. Un calcul de type HF

+

d'appariement. La forme analytique de l'interaction de Skyrme n'est pas adaptée au calcul d'éléments de matrice trous-particules loin de la mer de Fermi comme il en apparaît dans un calcul de I'apparie- ment [23]. Aussi avons-nous choisi des éléments de matrice de « pairing ⁾⁾ ajustés de manière à bien repro- duire les énergies de quasi-particules tout au long de la table [24]. A chaque itération de notre calcul nous avons utilisé les énergies de particules individuelles fournies par HF pour résoudre les équations de BCS et les probabilités d'occupation de niveaux don- nés par BCS pour calculer les potentiels H F de l'ité- ration suivante. En haut (resp. en bas) de la figure 12 on peut voir les énergies de quasi-particules de pro- tons (resp. de neutrons) calculées par cette méthode en fonction du nombre Z (resp. N), comparées aux distances des feuillets de la table de masse aux emplacements correspondants. Le bon accord général est une preuve du bon ajustement de l'intensité des élé- ments de matrice de pairing. Le calcul des énergies de liaison avec l'interaction S III conduit alors aux résultats présentés sur la figure 13. L'introduction du pairing a bien sûr amélioré la qualité des résultats.

En moyenne le gain d'énergie de liaison en milieu de couche vaut 5 à 6 MeV et l'erreur probable sur les énergies de liaison des noyaux non déformés est de l'ordre de 5 MeV. Des calculs effectués dans la région des terres rares au moyen d'un programme de HF déformé [22] ont montré qu'une fois l'énergie de déformation correctement évaluée la qualité de l'accord restait la même dans ces régions.

/3) Spectre de niveaux d'énergies individuelles. -

Le calcul des noyaux situés le long de la vallée de stabilité permet d'étudier le comportement des niveaux d'énergies individuelles en fonction des nombres de protons et de neutrons. C'est ce compor- tement qui a été dessiné dans la partie centrale de la figure 12. En haut sont portés les niveaux de protons en fonction de Z (en bas neutrons) calculés avec l'interaction S III. Nous avons restreint le dessin au voisinage de la surface de Fermi. Les couches succes-

deformation regions

\

FIG. 11. - Différence des masses théoriques obtenues par un calcul HF et expérimentales en fonction de A (dans cet exposé S X est dénommé S III et S Y S IV).