La théorie des équations de Maxwell et le calcul des opérateurs matriciels

HAL Id: jpa-00233258

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233258

Submitted on 1 Jan 1934

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

La théorie des équations de Maxwell et le calcul des

opérateurs matriciels

Bernard Kwal

To cite this version:

LA

THÉORIE

DES

ÉQUATIONS

DE

MAXWELL

ET

LE CALCUL

DES

OPÉRATEURS

MATRICIELS.

Par BERNARD KWAL.

Sommaire. 2014 Après avoir _rappelé brièvement les _applications du calcul des quaternions à la théorie de Maxwell, l’auteur montre que les deux représentations des quaternions, à l’aide des matrices réelles à 4 lignes et à 4 colonnes, fournissent une méthode _{opérationnelle -} analogue à celle employée dans la théorie de Dirac 2014

pour traiter les équations de Maxwell, la relation entre le champ et le _potentiel, l’ex-pression qui donne la force de _{Lorentz, ainsi que} celle qui donne le tenseur _{d’énergie électromagnétique.}

Depuis

l’avènement de la théorie du

_spin

de Pauli

et surtout

_depuis

le

_{développement prodigieux}

de la théorie de

_Dirac,

on

_emploie

de

_plus

en

_plus

dans la

physique

théorique

la notation des

_opérateurs

ma-triciels

_{qui opèrent}

sur l’indice de la fonction d’onde.

Ces

_opérateurs

s’introduisent dans la formation des

équations

aux dérivées

_{partielles auxquelles}

satisfont les

_composantes

de la fonction

_{ondulatoire If}

(équa-tions de

_{Dirac) ;}

d’autre

_part

_{ils interviennent pour}

engendrer

les formes bilinéaires entre les

_composantes

des

_i~,

formes

_ayant

une variance tensorielle ordinaire.

La théorie des

_équations

de Maxwell

_peut

être traitée d’une manière très

_{analogue, quoique}

cette

_analogie

ne _{soit pas} une

_{identité, principalement}

à cause de la variance relativiste différente des fonctions d’onde

électro-magnétique.

L’étude des

_équations

de Maxwell

du

_point

de vue des

_opérateurs

matriciels a été

ef-fectuée _par G. Rumer

₍₁₎

en

_{1930, déjà.}

Nous nous proposons ici de serrer le

problème

de

plus près,

et de

montrer

_qu’il

se rattache très intimement à la

repré-sentation matricielle des

_quaternions.

1.

_Equations

de Maxwell et _{calcul des}

qua-ternions. - Soient : H le

champ magnétique, E

le

champ électrique

et i unité

_{imaginaire ;}

nous allons

former la

_{grandeur complexe (2) :}

(1)

(Nous

nous

_plaçons

dans un _espace

_{vide ;}

dans le

milieu matériel il faut poser F =

_vli.

H

_{+ i}

_{B/A- E.)}

P’

_peut

être considéré comme un

_biquaternion

dont la

partie

dite « scalaire _», dans le

_langage

de

_Hamilton,

est

_{identiquement}

nulle. Les

_équations

de Maxwell dans le vide :

() G. RuMER. %. f. l’liysik,1 19a0, 65, p. 2 i i-2u2.

WEBER. Die _{partiel/en Differenlialgleichungen} der ’math. Edition de 190t; vol. 2, p. 348; L. SlLBERTEIN. Ann. der 1-lhysik, 1901, vol. _22, p. 579 et vol. 24, p. î83.

prennent

alors la forme suivante :

Soient mainteiiant el, e2, e3 et eo les unités de base du

_système

des

_quaternions.

Tout

_quaternion

_A,

de

composantes Ai, A2, A~

et

Ao,

s’écrit :

et l’on définit en outre une

_grandeur

_{>4 telle que}

Posons donc

Avec ces notations les

_équations

de

_Maxwell,

dans le

vide,

s’écrivent :

L’opérateur

D

_jouit

de la

_propriété

suivante :

il résulte donc de la linéarisation de

l’opérateur

dniem-bertien.

Introduisons maintenant le

potentiel quadrivecteur

446

A

_(At,

_{2, 3, Ao}

=

₊

i

_V).

_I,a relation

quaternio-nienne entre F el A est la suivante :

et

_{l’équation}

_(2")

entraîne :

Les considérations

_{précédentes}

se

_{généralisent}

sans

peine

aux

_équations

de la théorie des électrons de

Lorentz. On a, dans ce cas :

où I est le

_{quadrivecteur}

courant :

En admettant que la relation

(8)

est valable encore,

on en déduit : 1

Enfin,

la force de Lorentz s’obtient en

_prenant

la

partie

réelle de

_{l’expression F J}

°?, La

_{représentation}

matricielle des

qua-ternions. - Passons maintenant àl’étude de la

repré-sentation matricielle. Le

_systèmes

des

_quaternions

admet deux

_{représentations}

àl’aide des matrices réelles à fi

_lignes

et à 4 colonnes

_(1),

_qu’on

obtient de la manière suivante. Considérons la

_{multiplication a}

gauche

et éi droite cl’un

_{quaternion q}

_par un

qua-ternion _p.

Ces formes bilinéaires définissent deux

_systèmes

de matrices

_{quaternaires :}

Et les relations

_{( i0)}

_peuvent

s’écrire alors :

nü p

et q

sont considérés comme matrices à une

colonne : -.

Remarquons

que les deux

systèmes

de matrices

qua-ternioniennes du tableau

_(11~

_{définissent par}

multipli-cation un

_système

d’ordre 4 de ifs

matrices,

qui

semblent

_jouer

un rôle

_important

dans les diverses

applications

des

_quaternions.

Parmi ces 16

matrices,

les 6 matrices

_{quaternioniennes}

sont

_{antisymétriques}

_par

_rapport

à la

_diagonale

prin-cipale,

les 10 autres sont

_{symétriques.}

Les 16 matrices

hermitiques

de la théorie de l’électron

_magnétique

de Dirac

_(1),

sont obtenues en

_adjoignant

aux 10 matrices du tableau

_(13),

les six matrices

_{quaternioniennes}

multipliées

par l’unité

imaginaire i.

11 existe

_également

un

_système

de matrices

_{anti-hermitiques qui}

contient

les 6 matrices

_{quaternioniennes}

réelles et les 10 ma-trices

_{symétriques multipliées}

_par i.

3. La théorie de Maxwell et les

_opérateurs

matriciels. - Nous allons montrer maintenant

com-ment les matrices

_(lt)

ou

_{(l3), envisagées}

comme des

opérateurs

matriciels

_agissant

sur l’indice de la

fonc-tion d’onde

_complexe

F,

interviennent dans la théorie des

_équations

de Maxwell.

Remarquons

au

_{préalable qu’étant}

donnée une fonc-tion

_Q,

_susceptible

de

_quatre

déterminations

_{QI’ Q’2’}

Q3

et

_Qo,

le résultat de

_{l’application}

de

_{l’opérateur}

différentiel :

est l’ensemble de

_quatre

formes

_{différentielles,}

_que nous _{pouvons écrire de la manière suivante :}

(1) L. DE _BROGLIE, L’électron

_{niagnétique,}

_{p. 227.}

tandis que le résultat de

l’application

de

est :

On

voit,

que les formes

(1~’)

et

(15’)

deviennent

iden-tiques,

au

_signe

de la

_quatrième

forme

_près,

si l’on

change

le

_signe

de la

_{composante Qo}

dans l’un des ensembles

_{(4 4’)}

ou

_{(J 5’).}

Cela

étant,

nous _{pouvons écrire les}

_équations

de

Maxwell de la manière suivante :

On vérifie immédiatement _que

_{l’application}

de

l’opé-rateur

conduit à 0.

Comme

Fo

=

_{0, l’équation}

₍₁₆₎

est

_équivalente

à la

suivante :

com-448

plexe

F et le

_{potentiel quadrivecteur}

A, s’écrit de même :

ou

diffère de A par le

signe

de la

_quatrième

compo-sante

_(Ao

= i V = -

A’o).

D’autre

part

la condition

F = 0 entraîne la relation de Lorentz

Passons maintenant à

_1"expression

dont la

_partie

réelle est

_égale

à la force de Lorentz. Cette

_expression

s’écrit :

Enfin le tenseur

_{d’énergie électromagnétique}

s’ob-tient à l’aide des matrices du tableau

₍₁₃₎

de la ma-nière suivante :

On a _par

_{exemple :}

Ainsi,

les 1G

_opérateurs

du tableau

_(13),

_qui

dérivent

de deux

_{représentations}

réelles du

_système

_des

qua-ternions,

fournissent pour la théorie de Maxwell une

méthode

_{opérationelle, analogue}

à celle

_qui

est

em-ployée

dans la théorie de Dirac.

Nous tenons à

_exprimer

à M. Louis de

_Broglie

toute notre reconnaissance _pour l’intérêt

_qu’il

a

pris

à ce

travail. A