Théorie de Maxwell et optique d'une couche métallique mince

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Submitted on 1 Jan 1964

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Théorie de Maxwell et optique d’une couche métallique mince

A. Vasicek

To cite this version:

A. Vasicek. Théorie de Maxwell et optique d’une couche métallique mince. Journal de Physique, 1964,

25 (1-2), pp.183-187. �10.1051/jphys:01964002501-2018300�. �jpa-00205733�

THÉORIE ^{DE MAXWELL ET OPTIQUE D’UNE COUCHE} MÉTALLIQUE ^MINCE

Par A. VASICEK,

Institut de Physique de l’Université de Brno, ^{Kotlarska 2.}

Résumé.

On établit les formules donnant respectivement les intensités des lumières : réfléchie,

transmise et absorbée, par ^une couche mince métallique, ^à partir ^des conditions aux limites géné-

ralisées de Drude. On montre que seule la conception énergétique ^des amplitudes complexes, ^de Stokes, conduit à un résultat correct, ^car elle satisfait le bilan énergétique correspondant. ^{L’établis-}

sement de ces formules par la méthode ^de Murmann n’est pas ^correcte de ce point ^{de vue.}

Abstract.

The formulae for the intensities of reflected, refracted and absorbed light ^{in a thin}

metallic film are deduced separately according ^{to Drude’s} generalized boundary conditions. The author proves that only ^{the energy} concept ^{of the} complex amplitudes according ^to Stokes leads to the correct result because this energy concept ^{fulfils the} corresponding energy balance. ^The deduction of these formulae using Murmann’s method fails from the energy point ^{of view.}

Inhaltsangabe.

Aus den Drudeschen verallgemeinerten Grenzbedingungen werden die For- meln für die Intensitäten des reflektierten, ^des durchgelassenen und des absorbierten Lichtes in einer dünnen Metallschicht getrennt algeleitet. ^{Der Verfasser} beweist, ^{dass nur die} energetische Auffassung ^der komplexen Amplituden nach Stokes zum richtigen Ergebnis führt, weil sie die

Energiebilanz ^erfüllt. Die ältere Ableitung ^{von Murmann} versagt ^{in dieser} Energieprüfung.

PHYSIQUE 25, 1964,

1. Introduction. -- On peut 6tablir de deux

famous les formules relatives a la reflexion, ^{a la} transmission ^{et a} l’absorption ^{de la} lumiere par ^une couches m6tallique ^{mince :}

a) ^a partir des formules de sommation d’Airy ; b) ^a partir des conditions aux limites de Drude,

par la th6orie de Maxwell.

L’auteur a deja ^{6tudi6 a fond la} premiere ^m6-

thode dans un travail precedent [1]. ^Malheureu- sement, ^les amplitudes complexes des formules

d’Airy ^{ont une} signification ambigue. ^On peut,

d’une part les considérer comme les amplitudes complexes de Fresnel d6duites des conditions aux

limites, ^d’autre part ^{comme les} amplitudes ^com- plexes 6nerg6tiques, ^{calcul6es a} partir ^du principe

de reversibilite de Stokes [2].

Comme 1’auteur 1’a d6montr6, ^{seul est correct} 1’emploi ^des amplitudes complexes 6nerg6tiques

d6duites du principe de réversibilité de Stokes,

car il assure la conservation de 1’6nergie ^{sur les}

deux faces de la couche m6tallique. ^{La somme des}

trois intensit6s (réfléchie, ^{transmise et} absorbee)

calcul6es separement, ^{est alors} 6gale ^{a un} (c’est-à-

dire a l’intensit6 de la lumiere incidente). ^L’autre conception, celle des amplitudes complexes ^de Fresnel, qui ^{conduit aux} formules de Murmann,

n’assure pas ^cette verification : c’est pourquoi

l’auteur ne 1’admet pas.

2. Formules ddduites des conditions aux limites de Drude.

Elles ont ete calcul6es souvent, par

exemple par Forsterling [3] ^{et par nous mêmes}

dans le livre

Optics of thin films )) [4], pour ^une couche di6lectrique. Les conditions aux limites de Drude sont, pour la premiere ^{face :}

et pour la deuxi6me

On en d6duit les formules pour la ^{reflexion et la}

transmission par ^une couche di6lectrique transpa-

rente. Murmann [5] ^{a ensuite 6tendu ce calcul au}

cas d’une couche m6tallique, ^{sous la forme :}

Les formules de Murmann emploient ^les ampli-

tudes complexes ^de Fresnel, ^et par suite ne satis- font pas 4 la conservation de 1’6nergie, parce

qu’elles ^ne peuvent ^tenir compte ^des energies ^d’in-

terférences aux deux surfaces de contact m6tal-

dielectrique.

Le raisonnement a partir ^des conditions aux

limites de Drude n’est exact que pour ^une couche

dielectrique parce qu’il ^determine compl6tement

les intensit6s lumineuses r6fl6chie et transmise. Ces conditions ne permettent ^le calcul que des ampli-

tudes complexes des lumi6res reflechie

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01964002501-2018300

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et transmise

c’est-à-dire des intensit6s des lumi6res réfléchie,

r2 ^et transmise, ^{n cos cp t2. Ces deux formules}

no ^cos To

suffisent. On peut ^aussi 6prouver leur exactitude

en voyant ^{si leur somme est ou non} 6gale ^{a 1.}

La situation est toute diff6rente pour ^une lanle

m6tallique mince ou intervient une troisi6me inten-

sit6, celle de la lumiere absorbee. Les conditions de Drude ne donnent aucun moyen d’6valuer direc- tement cette intensité : elle est habituellement cal- cul6e ^{comme ce} qu’il ^faut ajouter ^{aux intensit6s}

r6fl6chie et transmise pour obtenir 1. C’est pourquoi

l’auteur préfère la m6thode d’Airy, qui permet ^le

calcul direct des trois intensités. Nous d6montrons dans le present article, que les conditions ^aux limites de Drude généralisées, pour lesquelles ^on

consid6re separement ^les amplitudes complexes

pour le passage de la lumiere dans les directions droite (indice R) ^et gauche (indice L), permettent

un calcul direct des trois intensit6s mentionn6es.

On peut, ^{dans ces} conditions, consièérer les deux m6thodes

celle d’Airy ^{et celle de Drude -}

comme 6quivalentes.

3. Calcul a partir des conditions aux limites de Drude g6n6ralis6es.

^Cette generalisation ^{de la}

th6orie de Maxwell dans laquelle ^on distingue ^les amplitudes complexes ^{droite et} gauche ^{a ete d6ve-} loppee par 1’auteur ([4], p. 89). ^{Dans cette} g6n6ra- lisation, ^{on d6finit les} amplitudes complexes R’ 0

et Ai ^{comme les sommes des} amplitudes ^com- plexes Ro ^et R I, Aí ^et AiI, de la forme (fig. ¹⁾

où

et

1) ^{Si on 61imine} F amplitude complexe AI1 ^entre

les equations (5) ^et (6), ^{on obtient} 1’expression ^de l’amplitude complexe de la lumiere r6fl6chie sur une couche m6tallique ^mince

2) L’amplitude complexe de la lumi6re trans- mise se calcule comme suit ; ^on d6finit d’abord

(fig. 2)

FIG. 2.

puis ^{on tire de} (6)

on obtient alors 1’amplitude complexe de la lumiere transmise _par une couche m6tallique ^{mince sous la}

forme :

3) L’intensité de la lumi6re absorb6e se calcule ensuite en faisant la somme des amplitudes ^com- plexes ^aux points 1, 1’, 1 ",

2, 2’, 2", ... 3, 3’, 3",

4, 41, 4,,, ... (fig. 3). Definissons d’abord les

rapports

a) ^{La somme des} amplitudes complexes ^en 1, 1’, 1",

^r6sulte immédiatement de (6) :

b) Celle des amplitudes complexes ^en 2, 2’, ^2"

est :

185

c) ^En 3, 3’, 3" elle est :

D’apr6s ^notre publication pr6c6dente [1], ^ces amplitudes complexes s’écrivent sous la forme ’

La différence de phase complexe des rayons lumi-

neux dans la couche m6tallique ^{est x = x}

^ix’.

Les formules (7), (9), (10), (11), (12), (13) prennent

alors les formes :

On peut concevoir les amplitudes complexes ^de

ces derni6res formules de deux fagons : a) ^comme amplitudes énergétiques ; b) ^comme amplitudes de Fresnel.

Puisque ^{une seule de ces deux} conceptions peut

Atre exacte, ^nous considererons comme telle celle

qui ^{satisfait aux relations} energetiques, ^c’est-a-

dire donne une somme des intensit6s des lumi6res

r6fl6chie, ^{transmise et absorb6e} 6gale ^a 1. Traitons

separement ^{les deux} conceptions possibles.

a) Conception énergétique.

D’apr6s ^lord Rayleigh, ^nous consid6rons les amplitudes ^com- plexes r-’R, t-’R, rL, tz, rR, tR ^{comme des} grandeurs independantes [6], qui peuvent ^etre d6termin6es

d’après ^le principe ^de reversibilite de Stokes [7].

186

On a :

Les amplitudes complexes

se calculent separement [8].

Quant ^{on tient} compte ^{des relations} (14) ^et

(15)

dans les equations (7’) ^a (13’), ^elles prennent ^la

forme

En multipliant la formule (16) par 1’expression complexe conjugu6e, ^on obtient l’intensit6 de la lumière reflechie :

et, ^de façon analogue, celle de la lumiere transmise

et l’intensit6 de la lumi6re absorb6e est donn6e par

en tenant compte des relations 6nerg6tiques ^sur les deux faces de 1 a couche métallique

nous obtenons, pour la ^somme des trois intensit6s calculées séparément :

Comme on voit, ^la conception 6nerg6tique ^se

trouve vérifiée, ^{et nous} devons la considerer comme

correcte.

Si l’on calcule les valeurs moyennes donn6es par les formules pr6c6dentes pour les intensités, ^avec

on a

A

On obtient ainsi les formules qui ^{donnent la} reflexion, ]a transmission et l’absorption ^des

couches absorbantes dites « epaisses », ^{La somme}

de ces moyennes satisfait aussi ^{d la} conservation de

l’énergie..

b) Conception de Murmann. - Dans ce cas, ^ou 1’on emploie ^les amplitudes complexes ^de Fresnel,

il faut poser

Les formules (7’) ^a (13’) prennent alors la forme :

etc (1)

(1) ^{II est en} principe ^{possible aussi de} déterminer les

amplitudes complexes aM eiaii, dm eio,;,, bM ei(3Áf, bM eio§r ^a

partir des conditions aux limites de Drude.

TABLEAU I

les formules (28) ^et (29), ^{sans indice R, se con-}

fondent avec les formules (3) ^et (4) de Murmann.

Le calcul, d’après les formules pr6c6dentes, ^des

intensit6s r6fl6chie, ^{transmise et} absorbee, ^{donne :}

La somme de ces trois intensit6s ne satisfait pas a la v6rification 6nerg6tique, ^{car 1-} p2 0 TR, ^et

les arguments des cosinus sont diff6rents au num6- rateur et au d6nominateur. On peut ^{écrjre la con-} servation de 1’energie pour les formules Murmann sous la forme

où .ð. repr6sente ^le complement ^a 1, donne dans le tableau I, pour ^une couche d’argent ^{de constantes} optiques nl

0,18, k1

3,67 ^{et un} support ^de

verre d’indice n

1,5163 pour la lumi6re jaune

du sodium.

Ce complement ^A comprend ^{les termes relatifs}

aux intensit6s d’interférences, dont les formules de Murmann ne tiennent pas compte, ^ce qui oblige ^à

considerer cette conception ^{comme fausse.}

4. Conclusion.

Ce qui precede ^{montre que la}

th6orie de Maxwell donne une solution complete ^et

exacte du probl6me ^des intensit6s lumineuses

r6fl6chie, ^{transmise et} absorb6e dans une lame

m6tallique mince, ^{si on} applique ^la conception 6nerg6tique ^des amplitudes complexes, ^{selon Stokes.}

C’est la seule façon d’obtenir des intensit6s qui

satisfassent compl6tement ^{a la} conservation de

1’energie. ^{L’auteur est} persuade que ^ces recherches conduisent a une meilleure connaissance de la th6orie de Maxwell appliqu6e ^a l’optique ^{des lames} m6talliques ^minces et, par suite ^a d’autres progr6s

dans 1’etude de differentes questions ^de Physique th6orique.

BIBLIOGRAPHIE

[1] VASICEK (A.), Optik, 1963, 20, ^225.

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[5] ^MURMANN (H.), ^Z. Physik, 1933, 80,161.

[6] ^Lord RAYLEIGH, Scient. Papers III, ^{1902, 67} (Ency- clopaedia Britannica XXIV, 1888).

[7] ^STOKES (G. G.), Cambridge

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[8] VASICEK _(A.), Optik, 1963, 20, ^607.