Étude de l'efficacité des modes de Lamb dans la signature acoustique V(z) d'une couche mince par la théorie de la résonance

HAL Id: jpa-00249477

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00249477

Submitted on 1 Jan 1996

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Étude de l’efficacité des modes de Lamb dans la

signature acoustique V(z) d’une couche mince par la

théorie de la résonance

Abderrafi Ramdani, Franck Augereau, Gilles Despaux

To cite this version:

J. Phys. III France 6

(1996)

571-595 MAY 1996, PAGE 571

#tude

_de

_l'eflicacit4

_des

_modes

_de

_Lamb

_dans

_la

_signature

acoustique

V(z)

d'une

couche

mince

_par

la

th40rie

de la

r4sonance

Abderrafi

Ramdani,

Franck

Augereau

(*)

et Gilles

Despaux

Laboratoire

l'Analyse

des

Interphases

et de

Nanophysique

(**),

Case courrier 82,

Place

EugAne

Bataillon, 34095

Montpellier

cedex 5, France

(Re§u

le I acfit 1995, rdvisd le 30 janvier 1996, acceptd le 15 fdvrier

1996)

PACS.43.20.+g

General linear acoustics

PACS.43.35.+d Acoustics

properties

of thin films PACS.43.35.+d Surface _waves in

liquids

and solids

PACS.68.35.Gy

Mechanical and acoustical properties

R4sum4. Les relevds

exp6rimentaux

des

signatures

acoustiques sur des couches minces sont difliciles h

interpr6ter

_car tous les modes de Lamb

g6n6r6s

h di1f6rents

angles

d'incidence vont

interf6rer,

_ce

qui

rend

impossible

toute d4termination des

parambtres

acoustiques

de la couche. II est alors ndcessaire de mettre en ceuvre une mdthode

d'analyse

rapide

afin d'dtudier l'influence

de chacun des

parambtres

de la couche _{sur ces} modes afin de d6terminer les conditions

optimales

de mesure. La mdthode

d'analyse

basde sur la ddterniination de la

largeur

I mi-hauteur des

pics

de r6sonance du pouvoir r6flecteur est un moyen

original

de rdsolution du

problAme

direct, qui

permet de montrer que certains modes sont

plus

eflicaces _que

d'autres,

et donc

plus

faciles 1

d6tecter _sur les

signatures

exp6rimentales.

Grice _aux rAsultats

th60riques

obtenus, les

fr6quences

d'observation ont pu Atre

optimisdes

pour des

6paisseurs

des

plaques

d'acier et de

verre utilis6es

dans la

partie

exp6rimentale

de ce travail. De ces mesures et en utilisant notre modAle de

simulation de la

signature

acoustique, nous avons r6solu le problbme inverse et ainsi avons pu

d6terminer les parambtres acoustiques de _ces couches.

Abstract.

Experimental

acoustic

signatures

measured _on thin films _are

perturbated

by

an

interference _process between the different Lamb _waves

generated

at various incident

angular

values. This disables the correct determination of the layer's acoustic parameters and for this

reason, it is helpful to

develop

_a

powerful

method to study the influence of each layer parameter

on these modes. For this purpose, a

technique

based on the calculation of the

half-height

width on resonance

peaks

of the reflectance power has been elaborated. From these simulations, we

may determine which modes will be more

efficiently

extracted from acoustic

signatures

for steel

and

glass

films. This result has been confirmed

experimentally

using

ultrasonic

frequencies

optimized

versus the

sample

thicknesses for

glass

and steel

plates.

Indeed,

from

experimental

acoustic signatures, we have next been able to retrieve the acoustic parameters of these

samples.

1. Introduction

Depuis

une

vingtaine

d'ann4es,

la

microscopie

acoustique

a AtA

d4veIopp4e

en

prenant

en

compte

diff4rents

aspects,

dont les

principaux

sont la r4alisation

d'appareillages

de

plus

_en

plus

perfor-mants,

une familiarisation aux

images

acoustiques

qui

permet une meilleure

interpr4tation

des

(~) Auteur

auquel

doit Atre adress6e la

correspondance

(e-mail:

augereau@

lain.univ-montp2.fr)

("~)

URA CNRS D1881

structures

visualis4es,

et surtout une modAlisation de

plus

en

plus

sophistiqu4e

des

signatures

foumies _par Ie

microscope

acoustique.

Ces

appareils

peuvent

Agalement

fonctionner soit h _une

fr4quence

donn6e

lorsqu'on

d4focalise le

capteur

par

rapport

au

plan

focal,

soit h di1f4rentes

fr4quences

_{avec une}

profondeur

fix4e de d4focalisation du capteur. Ces

signatures

acoustiques

sont rel16es h la structure des mat4riaux

analys4s,

h leurs

propr14t4s 41astiques

et h leurs

mor-phologies.

Si _{pour un} mat4riau

massif,

le

problAme

inverse,

c'est-h-dire la d4termination des vitesses de

propagation

des ondes

longitudinale

et

transversale,

et _par suite les

propr14t4s

m4caniques,

est

relativement facile h

traiter,

it n'en est pas de mAme pour une couche

dApos4e

sur un substrat

massif ou pour une couche

immerg4e

dans un

liquide.

Dans _{ce cas,} le

problAme

inverse

qui

consiste h

d4terminer,

soit les

4paisseurs

des

couches,

soit leurs

densit4s,

_{ou encore} leurs

propri4tAs

mAcaniques,

ou les trois h la

fois,

devient trAs

complexe,

si _on veut le r4soudre _avec des relev4s de

signatures

acoustiques

exp4rimentales

V(z),

d'autant _que certains modes de

propagation

sont peu

efficaces,

c'est-h-dire

apparaissent

plus

difficilement _que d'autres.

Pour traiter le

problAme

inverse,

il est n4cessaire de bien

comprendre

le

problAme

direct et _par

suite,

d'4tudier l'influence de chacun des

parambtres

physiques

mis en

jeu

dans la modAlisation

de la

signature

acoustique

V(z).

L'analyse

du

problAme

direct

peut

Atre forte _par des modAles

habituellement utilis4s

(Sheppard

et Wilson

ill,

Atalar _[2]

).

Si _on veut les

appliquer

au

problAme

inverse,

les m4thodes de calcul basses sun les modAles

pr4-cit4s

sort difficiles h mettre en ceuvre.

Pour cette

raiser,

nous avons

adapt4

et

d4veloppA

une m4thode de calcul

plus rapide

bas4e

sur un formalisme de rAsonance utilis4 pour l'Atude de la diffusion en

physique

nuc14aire [3].

I

partir

de ce nouveau

modAle,

nous essaierons de mettre en 4vidence les

paramAtres, qui

sont

lids h l'eflicacit4 des modes de Lamb dans la

signature

acoustique

V(z),

afin de d4terminer _pour

chaque

couche 4tud14e les conditions

optimales

de mesure. En utilisant ces

informations,

des

signatures

acoustiques

seront

pr41ev4es

sur des

plaques

de verre et sur des

plaques

d'acier doux

aria de d4terminer les vitesses des modes de Lamb

pr6sents.

Ces _mesures serviront h dormer un

exemple

de traitement du

problAme

inverse et h d4terminer ainsi les

paramAtres

acoustiques

de la couche.

2. Notion d'eflicacitA de la

signature

acoustique

Les di1f4rents modAles de calcul de la

signature

acoustique

nAcessitent la connaissance du

pouvoir

r4flecteur _ou coefficient de r4flexion des structures en fonction de

l'angle

d'incidence

R(9).

Le

plus

utilis4 est celui de

Sheppard

et Wilson

ill

:

9m~x

Viz)

=

P~

_{(9)R(9) exp(2jkoz}

_cos

₉₎

_sin 9 cos 9d9

(1)

oh

9rnax

est le

demi-angle

d'ouverture de la

lentille,

ko

est le vecteur d'onde darts le

liquide,

P2

lo)

=

exp(-3,

5 x

(50)2

IS

/9rnax)~)

est la

r4partition

de

l'4nergie

de la fonction

pupille

de la

lentille _{pour une} ouverture maximale de 50°.

Le traitement

num4rique

des

signatures

exp4rimentales

ou

th40riques

par Transform4e de

Fourier

Rapide

(TFR)

permet

d'extraire les vitesses des ondes de Lamb _{us,a avec} la relation

Us~a " ~~ ~ ~

(2)

2

f)z

oh _vi est la vitesse des ondes

acoustiques

de

compression

darts le milieu de

couplage

et

f

est

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 573

Lorsque

ces vitesses sort

rapides,

la TFR De

permet

pas la d6termination des valeurs us,a

avec une bonne

pr4cision

h cause d'un faible nombre de lobes darts la

signature.

La m4thode de traitement de la

signature

acoustique

par TFR montre que

l'4nergie

des raies

correspond

h l'efficacit4 des modes.

Cependant,

plusieurs

solutions permettent d'avoir des raies

ayant

la mAme

4nergie

alors _que l'amortissement et

l'amplitude

de la

signature

acoustique

sent

trAs di1f4rents.

Une deuxiAme mAthode de traitement

appelAe

"mAthode

d'analyse

directe" est basAe sur la

d4composition

de la

signature

acoustique

_par des fonctions

math4matiques

simples.

En

eifet,

Kushibiki _{[4] a} montr6 _que la

signature

acoustique

Viz)

peut

Atre

d6compos4e

en deux termes :

une fonction de transfert ou

r4ponse

de la lentille :

VL(z),

une fonction

caract4ristique

du mat6riau :

hlz)

dont la

p4riodicit4

spatiale

est fonction de

la vitesse du mode choisi.

Viz)

=

VLlz)

+

Viz)

13)

oh

VL(z)

=

A+Ai

exp(-aiz)

+A2

exp(-o2z~)

est la fonction de transfert

pouvant

Atre obtenue

exp4rimentalement

sur un mat6riau

parfaitement

r4fl4chissant

(or, TAflon...),

et

h(z)

= G

exp(-flz)

sin ~~ z +

c)(4)

zo

correspond

au terme de

propagation

de l'onde de Lamb le

plus

efficace dans la

signature

acoustique.

Dans le dernier terme de la fonction

Viz),

les

paramAtres

G et

fl

correspondent

respective-ment h

l'amplitude

du mode de

propagation

et h _son amortissement. Ces

paramAtres

sont

lids,

soit h la nature du

mat4riau,

soit h _son (tat de surface _{ou encore} h _sa structure

interne,

mais surtout ils

d4pendent

de la r44mission des ondes de

plaque

vers le capteur

(rayonnement).

3. ThAorie des modes de Lamb

Le cas

qui

nous intAresse est celui pour

lequel

l'4paisseur

d du matAriau est de l'ordre de

grandeur

ou inf4rieure h la

longueur

d'onde

~,

dans ce cas il y a

propagation

des modes

dispersifs

de Lamb

sym4triques

et

antisym4triques,

dont les vitesses sont

respectivement

les solutions des

Aquations

IS)

et

(6)

d4termin4es par Viktorov [5]

lorsque

la

plaque

est

immerg6e

darts un

liquide

:

lk)

+

s))~ coth(qsd)

4k)qsss coth(ssd)

=

i~~

~~~~

IS)

P2

@@

(k~

+

s~)~

tarn(qad)

4k~qasa tarn(sad)

= I

~~

~~~~

~~~ ~ ~ ~ P2

fij

kL

=

~

j~ g~,a ~~,a

~~

dans

lesquelles

kT

" et

(7)

~T ~2

-~2

_~2

uJ s,a~ s,a T

ks,a

" Us~a

pi et p2 sont

respectivement

les densit6s du milieu externe et de la

plaque.

Les nombres d'ondes

axe Z

milieu

liquide Sup6rieur:

V3,

p

3

onde onde incidente rdfldchie f > f 'I

~

f ~

i@

~' T .) VL, VT,

p

2 ' "

0

~

_{aXe X} ~ ~'

_~

ondes transmises

milieu

liquide

infdrieur: Vi,

p

Fig. 1. R6flexion et transmissimi _par

une

plaque immerg6e

entre deux fluides.

[Reflected

and transmitted _waves in

plate

immersed between two

liquids.]

On utilise les indices

(s,a)

_pour les

paramAtres k,

_{s, q et} u aria

A'indiquer qu'ils

correspondent

aux modes

symAtriques

is)

et/ou

antisym4triques

la).

Cette notatioisera consent<4e darts la

suite de cet article.

On _{remarque que} darts le _cas d'une

plaque

libre,

les seconds membres des

4quations IS)

et

(6)

sort nuls.

Une deuxiAme m4thode de d4termination des vitesses de

dispersion

_u~,a consiste h calculer le

pouvoir

r4flecteur R et h trouver [es solutions

qui

annulent son d4norninateur. Le modAle de

Brekhovskikh _[6] est le mieux

adapt4

_pour d4terminer R en fonction de

l'angle

d'incidence et

de la

fr4quence

des ondes 4mises vets un

empiiement

de couches sun un substrat ma,qsif.

Pour _une

plaque

in1mergAe

dans un fluide

(Fig. I),

le coefficient de r4flexion

peut

se mettre

sous la forme suivante

(fluiAe

I = fluide

3)

:

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 575

On

peut

v4rifier ais4ment _que le coefficient de r4flexion _{pour une}

plaque

peut

s'4crire

)(N

_M)j

)(N

₊

_M)j

))

~ ~

(lo)

ii

_~

_~)

_{~ j}

jj

j _{~ ~}

_~)

_j

ij

ZL ZL ZL ZL

Puis,

en posant

ea=

~~(N-M)

(L

ill)

Cs

=

I(N+

M)

ZL

et le

rapport

des

imp4dances

r =

~~

(12)

ZL

on obtient : ~

(Ca

~~(C~~

iT)

~~ ~

~~)Cs

~

Ca

iT ~

Cs

iT ~~~~

I

_{l'aide des}

_4quations

_{(9), ill)}

_et

₍₁₂₎

_et

en

posant

: d =

2d',

s =

[et

q =

fi~,

les

quantit4s

Ca

et C~ deviennent

En alfectant h

k,

_q et s les indices "a"

(#q.

(14))

et "s"

((q.

(15)),

on remarque que les

4quations

_:

Cs

ir = o

(16)

et

Ca

+ ir

= o

(17)

sont strictement

4quivalentes

_aux

4quations

(5)

et

(6)

donnant les modes

sym4triques

et

anti-sym4triques

d'une

plaque immerg4e.

De

mAme,

h

partir

de

l'4quation

(13),

on voit que la condition d'annulation du

pouvoir

r4flecteur est

Cacs

=

r~

₍₁₈₎

Pour _une

plaque

_peu

charg4e,

oh r est trAs

petit

devant

I,

c'est-h-dire

quand

l'imp4dance

acoustique

du

liquide

est trAs

petite

devant celle du

solide,

la condition d'annulation du

pouvoir

r4flecteur

(18)

et les

4quations

donnant les modes propres de la

plaque

libre coincident. Sur

les

figures

2 et 3 nous donnons un

exemple

de courbe de

dispersion

des vitesses en fonction

Vitessedephase~knds) al Si ,~ as " s4 si al 8 S1~ v~ _v~ ao D 2 4 0 8 lo 12 14 lo F-e (l4Hcmm)

Fig.

2. R6seau de

dispersion

des vitesses des modes de Lamb _pour l'acier. Traits _{gras :} modes

sym6triques. Traits fins : modes antisym6triques.

[Velocities

of Lamb modes _as

a function of the

product

of

frequency

f

and

plate

thickness e in a steel

sample.]

Vitesse de phase ~kws) al ~~ ~~ as ~~ 53

~~

ai a6 VL-+ So vT ~'~~ v ao D 2 4 0 8 lo 12 14 id F-e (l4hz.mm)

Fig.

3. RAseau de dispersion des vitesses des modes de Lamb pour le verre. Traits gras : modes

sym4triques.

Traits fins _: modes

antisymAtriques.

[Velocities

of Lamb modes _as

a function of the

product

of

frequency

f

and plate thickness e in a

glass

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 577

4. Formalisme de la rAsonance

angulaire

La th40rie de la diffusion rAsonnante R-S-T-

(Resonance

Scattering

Theory)

dAvelopp4e

en

acoustique

par Uberall et ses collaborateurs pour des

cylindres,

puis

pour des

plaques

[3, 7],

s'appuie

_sun les r4sultats de l'6tude de la diffusion _en

physique

nuc14aire. Le coefficient de

rAflexion 4crit _sous la forme d'une somme de deux termes

((qs.

(13)) pr4sente

un caractAre

rAsonnant

quand

les

parties

r4elles de _son d4nominateur

s'annulent,

c'est-h-dire

quand

la

fr6-quence de l'onde incidente coincide avec une

frAquence

propre donn4e par

Ca

= o ou

Cs

=

o,

r 4tant

suppos4

petit

devant I. On dit que la

plaque

entre en r4sonance

lorsqu'une

onde de

Lamb est

g4n4r4e.

Pour une

fr4quence

donn6e,

Ca

et

Cs

peuvent

s'exprimer

en fonction de la variable

angulaire

9 _{ou x}

= sin 9

(9

(taut

l'angle d'incidence).

On note

respectivement

_xm~ et _xm~ les r6sonances

angulaires

du m-iAme mode

sym4trique

et

antisym4trique.

Afin de mettre en 6vidence le caractAre r4sonnant de

R(9),

on

4crit,

au

voisinage

de la

r4sonance

angulaire

des modes

sym4triques

_ou

antisym6triques,

les

d4veloppements

de

Ca

et

Cs

en sArie de

Taylor,

soit

Cs(x)

=

Cs(xm~

+

lx

xma)

Ii

+

l19)

~~ ~=~_~

I

_{la r4sonance}

_angulaire

xm~ on a :

c~(x~~)

= o.

(20)

De mAme

Ca(x)

=

Ca(xm~

+

(x

xm~)

1)

+

(21)

~=~~~ avec

Ca(xm~)

" o.

(22)

En posant

rm

=

~°'~

dAfinie _comme

largeur

h mi-hauteur du mode

(23)

~'~

8Cs_a

' 8~ ~~~ avec r~,~ = PI ~l ~°S 9 ~ Pi

(Vi

/uL)~

xj~

~ P2 UL COS$1 p2 g2

(~~)

ms,a et

~

~'~~ "~ ~'~ ~°~ ~'~ ~°~

~/

1~~

)

~~

~

~~~1~~)

~'~

+2r~

_(9~

cos 29 sin 2~t + ~ty sin 29 cos 2~t) cot

~

(25)

2

~

~'~~ "~

~'~~°~~'~~~~

~

~/

~)

~ ~~

~

_~~~~)~'~

+2r~(9~

cos 29 sin 2~t + ~ty sin 29 cos

2~t)

tan

~

°~ 9~ =

(lift/uL)~

xS~~)-~/~

~t~ =

llui/vT)~

xS~

~)-~/~

P~

=

kdxm,

~

((vi

/uL)~

xL~

~

)-~/~

_j27)

Q~

=

-kdxm~

~jjui/uL)~

xL~,~)-~/~

uL r = uT

le

pouvoir

rAflecteur donn4 _par

l'4quation

(13)

peut s'4crire

R

-j~

_II

+iir~~

ilii~

+

j~

/£~+iir~~

ilii~

(28)

En

d4veloppant

les

expressions

de

Ca

et

Cs

donn4es _par les

4quations

(19)

et

(21)

_on obtient

~

ii /

ii

_[(x

xm~)i

ij

i

i~

_~m~

"~m,

I

+

k)

~-~~,

Ii /

I)*)

_(lx

xm~)([*

it

₁ ~

(x

xm~)

)irm~

ji

+ c~ ~~~~ c~ ~m~»~~

En

n4gligeant

les

quantit4s

~

)et

~~

devant I _pour chacun des modes et en

Ca

~=s~~

Cs

~=s,~~

posant

_:

ir~

_r~

ri

~~~

~

laiX[,)

~

CaiXm~)

_(£')~=s,,1,

j30)

1r

r~

rj

~~

~~~

"

fisii[~)

~csixm~)

(%)~=~,,,~

II est

possible,

en sommant sur tous les

modes,

de dAduire R sous la forme suivante

= m~

~~

~

l~

~-X),

1(~

~ +

~j

~ ~ma + flm~ ~ ~~ ~a ~ ~ma

)ir~~

(31)

Les

quantitAs

flm~ et

flm~

deviennent

nAgligeables

lorsque

_r~,a est

petit

devant I. Les z4ros

annulant le

pouvoir

rAflecteur R et les

poles

annulant son d4nominateur sort donnAs par

Xz4ro ~ Xm~ a +

fm~

a

132)

xpoie = xm~ +

)irm~

a

133)

Le formalisme de la rAsonance

appliquAe

sur

R(9)

((q.

(29)

et

(31))

a donnA des rAsultats en

parfaite

concordance avec les relations exactes de

R(9)

donnAe _par Brekhovskikh [6].

Ceci reste valable dans la mesure oh les modes sont relativement

AloignAs

(Figs.

4a et

b).

Dans le _cas

contraire,

un

phAnombne

d'interfArences entre les modes voisins se

produit

niais le

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LANIB 579 ~ i,o 0,8 D,8 © ©~ 0,6 ~ 0~6 - ~ $

£

E _~ < _0,4 < 0,4 s~ 0~2 a~ ao D,0 D,0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

a)

6

(degr6s)

_b)

6

(degrAs)

Fig.

4.

Comparaison

du pouvoir rdflecteur exact

(ModAle

de

Brekhovskikh) a)

et de la

superposition

des pouvoirs r6flecteurs autour des rAsonances _ao et _so

b),

_{pour une}

plaque

d'acier

d'6paisseur

15 _~tm

h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Comparison

bet,veen the reflectance power calculated from the Brekhovskikh's model

(Curve a)

and

the superposition of reflectance _powers around the _resonance points ao and so

(Curve b)

in the case

of _a 15 _~tm thick

plate

of steel at 100

MHz-j

On vient de voir _{que pour} tous les modes contenus dans le

pouvoir

r6flecteur,

et _par suite dans la

signature

acoustique,

on a une

expression

du coefficient de rdflexion

qui

est fonction de

leur

largeur

h mi-hauteur

rm,

~.

Dans les relations

(23)

et

(24)

on a pu

sAparer

deux

parambtres

qui

influencent l'efficacitA de la

signature

acoustique,

it

s'agit

_:

1)

du rapport

d'imp4dance

rs,a

qui

est fonction des rapports des densit4s

liquide/mat4riau.

Ainsi dans une

plaque

libre on retrouve le mAme

ph4nomAne

que celui observ4 sun un matAriau massif [9],

jj(~ /~~)2

~2

/ji

~2

)j)

2)

du facteur ~'~ ~~ ~

qui

dApend

de la

position

du mode

sur le

(ac,,~

8~

~~~

rAseau de

dispersion.

Cette

positiIn

est fonction de la i<itesse de

propagation

des

modes,

du

produit

fe

et de la nature du mat4riau.

1

Si

Ai

angle (degrds)

0

a)

10 IS 20 1

Ai

~l

angle

(degr4s)

b)

~ 10 20

Fig.

5.

Comparaison

du

pouvoir

rAflecteur exact

(ModAle

de

Brekhovskikh) a)

et de la

superposition

des

pouvoirs

rdflecteurs autour des rdsonances _al et si

b),

pour une

plaque

de verre

d'dpaisseur

35 ~tm h _uue

frdquence

de 100 MHz.

[Comparison

between the reflectance _power calculated from the Brekhovskikh's model

(Curve a)

and

the

superposition

of reflectance _powers around the _resonance

points

al and si

(Curve b)

in the case

of _a 35 _~tm thick

plate

of

glass

at 100

MHz-j

5. Relation entre

l'amplitude

et la

phase

Nous _{avons vu au}

paragraphe

prAcAdent

que les modes de Lamb se manifestent dans le

pouvoir

r4flecteur _{par un} minimum du module et un

changement

de

phase.

Le minimum du module

est alors caract4risA par sa

largeur

h mi-hauteur

rm~

~,

et le

changement

de

phase

_{par sa}

pente

tan(q7~,a).

En

elfet,

si nous 4crivons le

pouvoir

rAflecteur au

voisinage

d'une r4sonance xm~

~

de la

fagon

suivante

Ri,a

"

~ ~~~'~

i~~~'~

"

A~,a

+

iBs,a,

(34j

X Xms

a

§lXms

a

nous pouvons ainsi d4duire la

pente

de la

phase

du

pouvoir

r4flecteur par :

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 581

Tableau I.

Infl~ence

de la variation de la densitd d~

iiq~ide

_s~r la

iarge~r

d

mi-ha~te~r,

ies

coefficients

G,

fl

et s~r

i'ampiit~de

d~

pic

de la TFR.

[Influence

of the

coupling

fluid

density

_on the

half-height

width r parameter, the G and

fl

parameters

and also _on the

spectral

amplitude

of the mode detected by

FFT.]

densitA du indice

Largeur

h G fl coefficient

Amplitude

du

liquide

_pi

correspondant

_au mi-hauteur

Amplitude

d'amortissement

pic

dAtectA

(kg/m~)

rapport pi

/p2

(degrAs)

du mode du mode par TFR

1000 1 0,25 1,18 x 10~~ -2,14 x 10~~ 12,7 2500 2 0,68 2,52 x

10~~

-5, 82 x

10~~

15,6 4000 3 1,03 3,75 x

10~~

-8, 77 x

10~~

15,3 5000 4 1,36 4,9 x

10~~

-1, 41 x

10~~

14 8000 5 2,05 7,1 x

10~~

-1, 63 x

10~~

ii,1 12 000 6 3,36 1,22

x10~~

-2, ii x

10~~

7,2 13 600 7 3,5 1,31 x 10~~ -2, 97 x

10~~

6,8

Nous _remarquons

ainsi,

h

partir

de

l'4quation

(35),

_que la pente de la

phase

est directement

proportionnelle

h la

largeur

h mi-hauteur et que, pour x = xm~

~,

tan _q7~,a tend vets l'infini.

Ce rAsultat est d'une

grande

utilit6 _car il _nous

permet

par la suite d'utiliser un seul

paramAtre

pour caract4riser un

mode,

h savoir sa

largeur

h mi-hauteur.

6. Influence de la densit4 du

liquide

Si nous reprenons

l'Aquation

(23)

nous dAduisons immAdiatement que la

largeur

h mi-hauteur

rm~_~ est

proportionnelle

au rapport des densit6s du

liquide

sur le solide

~~

(cf.

Tab.

I).

Cette

P2

propr14t4

est mise _en 6vidence _sur la

figure

6 oh nous avons

augment4

la densitA du

liquide

de loco

kg/m3

(eau)

h 13 600

kg

/m3 (mercure).

Nous _remarquons alors une

augmentation

syst4matique

de la

largeur

h mi-hauteur

(Fig.

6a)

ainsi _que de la pente de la

phase

(Fig. 6b)

(les

indices I h 7 de cette

Fig.

correspondent

h ceux du Tab.

I).

On constate que cette

augmentation

de la

largeur

h mi-hauteur _se traduit _sun la

signature

acoustique

(Fig. 6c)

_par une

augmentation

de

l'amplitude

des

premiers

lobes

qui

diminue trAs

rapidement

pour les lobes suivants.

L'analyse

directe de ces

signatures,

auxquelles

nous avons

retranchA la

rAponse

de la

lentille,

montre que le facteur G ainsi que le coefficient

d'amortisse-ment

fl

varient dans le mAme sens que la

largeur

h mi-hauteur

(voir

Fig.

7).

7. Influence des

paramAtres

acoustiques

_uL et _UT

1)

Dans

l'6quation

(23)

on d6duit que la

largeur

h mi-hauteur

rm~

~ s'annule _{pour xm~} ~ = sin

_9m~~

= "~ =

"~,

c'est-h-dire _u~,a = uL. La

largeur

h mi-hauteur est donc minimale

u~,a uL

lorsque

la vitesse de

phase

est

Agale

h la vitesse

longitudinale

uL de la couche.

2)

Nous _{pouvons remarquer} h travers les courbes de

dispersion

des modes de Lamb de l'acier

et du verre donn6es sur les

figures

2 et

3,

que les modes

symAtriques

ne se coupent pas entre eux, il en est de mAme pour les modes

antisym6triques.

Cependant,

un mode

sym6trique

peut

, 3 1,O O,8

#

°,6 S

E

~ O,4

0,2

o,o

o lo 20 30 40 50 ~~

8

(degr6s)

2,0 1,5 1,o o,5 Q3 o,o

,li

7J -o,5

~

© -i,o

c--i,5

-2,0 lo 20 30 40 50

Fig.

6. Pouvoir rdflecteur

(a)

amplitude

et

b)

phase)

et

signature

acoustique

c)

du mode _{si pour}

une plaque d'acier

d'6paisseur

65 ~tm h une fr6quence de 100 MHz h di1f6rentes valeurs de densit6 du

liquide.

[Reflectance

_power

(a)

amplitude,

b)

phase)

and

corresponding

acoustic

signature c)

for _si mode for _a

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 583

AJnplitude

relative (indice Ii

0,06 0,04 0,02 o,oo '°,°2 D6focalisation Z (~m) -0,04 0 256 512 768 1024

AJnplitude

relative

(indice 3)

0,06

0,04

0,02

o,oo

~°,°2 D£focalisation Z

(~m)

-0,04

0 256 512 768 1024

AJnplilude

relative

(indice 6)

0,06

0,04

0,02 o,oo

~°,°2

Ddfocalisation Z

(~m)

-0,04

~)

0 256 512 768 1024

Fig.

6.

(Suite.)

Par

ailleurs,

_nous constatons aussi _que le nombre de croisement des modes n'est _pas le mAme

pour tous les matAriaux.

Ainsi,

les deux modes d'ordre

I,

al et si, se croisent en deux

points

pour le verre, alors

qu'ils

ne se croisent pas pour l'acier. Le seul

paramAtre

qui

a variA entre ces deux matAriaux est le rapport de la vitesse

longitudinale

uL sur la vitesse transversale UT

Pour

simplifier

l'Acriture,

on pose :

"~

=

(.

Nous avons Atud16 alors le lien

probable

entre le UT

croisement des modes _al et _si et les valeurs de la

largeur

it mi-hauteur _en fonction de

(. Ainsi,

nous avons montrA que pour les matAriaux dont le

rapport

(

est de

1,76,

les modes al et si se

croisent _{en un} seul

point,

tandis que pour

( supArieur

h

1,76

(acier),

on n'a pas de

points

de

croisement et

qu'il

en existe deux pour

(

infArieur h

1,76

(verre).

Ce rdsultat

permet

d'Atablir

facteurG

fi(*m0rthsement)

14 12 lo 8 6 G 5 O O,66 t03 1,36 2,05 3,36

Lar%eurkmi-hauteur(dogr&)

Fig.

7. Variation des paramAtres G et

fl

_en fonction de la

largeur

I mi-hauteur.

[Variation

of fl and G parameters as a function of the

half-height

width parameter

r-j

symAtrique

et d'un mode anti-

symAtrique

de mAme

ordre,

ce

qui

est d'une

grande

utilitA pour

l'identification des modes dans la

signature

acoustique

expArimentale.

Lors de cette Atude

thAorique,

_{nous avons}

remarquA

aussi _{que pour} tous les modes

AtudiAs,

la

largeur

h mi-hauteur

_augmente

de

fagon

quasi-linAaire lorsque

ce

rapport

(

augmente.

Ainsi,

pour le mode si,

r~,

augmente

linAairement,

tandis que cette

caractAristique

prAsente

un

acci-dent _pour le mode _al h la valeur de

(

(gale

h

1,76

prAcAdemment

calculAe

(Fig.

8).

La

largeur

h mi-hauteur est donc elle aussi sensible au croisement des modes.

8. Influence de la

position

du mode de Lamb dans le rAseau de

dispersion

sur la

largeur

h mi-hauteur

Cette influence _se traduit

mathAmatiquement

((q.

(23)

_par l'intermAdiaire du facteur

(vi

/uL)~

X$

~

~'~

0Cs,a

fi ~=~~~ ~

Sur la

figure

9 _nous avons tracA pour

l'acier,

dans le cas de la rAsonance

angulaire,

la

largeur

h mi-hauteur

_rm~,~

_pour les

premiers

modes ao et _{so en} fonction du

produit

fe.

Pour le mode _ao,

ra~

diminue constamment et passe par un minimum pour se stabiliser

ensuite h _une valeur constante.

Pour le mode _so,

_r~~

_{passe par un} maximum et tend _vers la valeur

d'asymptote

de

ra~.

Nous avons

auspi

suivi l'Avolution de la

largeur

h mi-hauteur pour les modes

supArieurs

(al,

si, Pour l'acier celle-ci passe par un maximum

puis

tend vers zAro

lorsque

fe

augmente

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 585 Largeur A mi-hauteur (°) O,2 a~ O, I 1,33 2 2,33 2,66

V~VT

~f=1,76

T

Fig.

8.

Largeur

h mi-hauteur _pour les modes _al et si en fonction du rapport

~~

du mat4riau. UT

[Half-height

width for _al and _si modes _{as a} function of the ~~ ratio of the

sample.]

UT

Vitesse de phase @ads) L°rM k m~hawmr

(deK*)

So a ra~ 1,5 c lln i rs~ O 1 2 8 4 5 7 8 F.e tMHz.mm)

Fig.

9.

Largeur

h mi-hauteur _pour les modes _ao et _{so sur} le r6seau de

dispersion

en fonction du

produit

fe.

Vitesse de

phase (kmh)

Largeur

h mi-hauteur

(degrd~)

12 0,4 r~~ 0,3 8 ~ al 4 o,1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16

a)

F-e

(MHz.mm)

Vitesse de

phase (knvs)

Largeur

I mi-hauteur

(degrds)

12 03 10 ~

0,25

ml

8

_0,2

6 b d _j~ 4 _oj 2

0,05

0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 ~~ F-e

(MHz.mml

Fig.

10.

Largeurs

h mi-hauteurs et courbes de

dispersion

_pour les modes

a)

_al et

b)

_{si en} fonction du

produit

fe.

[Half-height

,vidth for _al

(Curve

a)

and _si

(Curve b)

modes

superposed

_on the

corresponding

_curves

of the velocity versus the

product

of

frequency

f

and thickness e-j

9.

lltude

de l'ellicacitd des modes de Lamb darts la

signature

acoustique

_en fraction de Ieurs

positions

sur Ie rdseau de

dispersion

Nous _irenons de i<oir _que la

Iargeur

I mi-hauteur du

pouvoir

rAflecteur

Rio)

des modes 41<olue

en fonction du

produit

fe.

II est intAressant de suivre [es

consAquences

de cette 4volution sur

la

signature

acoustique.

Pour

cela,

_{nous airons} Atud14 [es modes _so et si en diffArentes

rAgions

du r@seau de

dispersion

correspondant

I diffArentes

largeurs

h mi-hauteur des

pics

du module de

Rio),

ou h des

pentes

plus

ou moins

importantes

de son

changement

de

phase.

9. I.

#TUDE

Du MODE so Nous avons

partagA

la courbe de

dispersion

du mode so en trois

zones et avons

calcu14

[es

pouvoirs

r4flecteurs et [es

largeurs

h mi-hauteur autour des

points

a.

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 587 1,o 0,8 © 0,6 m 4 E < _0,4 0,2 a c 0,0 0 10 20 30 40 50

8

(degr6s)

Fig.

il.

Amplitude

du pouvoir rdflecteur _pour le mode _so

aux

dpaisseurs

de

a)

15 ~m,

b)

25 ~m et

c)

35 _~m h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Amplitude

of the reflectance _power for the _so mode for various

plate

thicknesses at 100 IVIHz: 15 _~m

(Curve

a),

25 _~m

(Curve b)

and 35 _pm

(Curve c).]

On peut

distinguer

1)

Une

premiAre

r@gion

(point a)

oh la vitesse du mode est presque constante. Ceci

cor-respond

h _une foible

largeur

h mi-hauteur

(Fig.

ii-point

a).

2)

Une deuxiAme

rAgion

(point b)

correspondant

au maximum de la

largeur

I mi-hauteur et oh la vitesse de

dispersion

diminue _avec une forte pente

(Fig.

11-point

b).

3)

Une troisiAme

r4gion (point

c)

oh la vitesse du mode tend _vers celle de

Rayleigh

et oh la

valeur de la

largeur

h mi-hauteur est

comprise

entre celles des deux autres

rAgions.

Les

signatures

acoustiques

calculAes h

partir

des

pouvoirs

r@flecteurs simul@s darts chacune

des _zones,

auxquelles

nous avons retranchA la

rAponse

de la

lentille,

sont donnAes surla

figure

12.

Comme _nous l'avions

prAvu,

l'eificacitA des modes croft avec la

largeur

h mi-hauteur ou avec

la pente de la

phase

(Tab. II).

Ainsi,

_pour le

point

b,

_nous obtenons une

signature plus

ellicace

que pour [es deux autres

points.

9.2.

#TUDE

Du MODE si Sur la

figure

10b dormant la variation de la

largeur

I mi-hauteur

de

l'amplitude

du mode _{si, nous}

distinguons

quatre

rAgions

I)

une

premiAre rAgion

(point

a) correspondant

h la crAation du

mode,

oh sa vitesse diminue

fortement en fonction de

fe.

La relation

(23)

montre _que la

largeur

I mi-hauteur _T~~

prAsente

Agalement

une forte d6croissance

2)

une deuxiAme

r@gion

(point b)

oh la

largeur

h mi-hauteur est minimale. Nous sommes au

Amplitude

relative

(indice a)

0,04 0,02 o,oo

-0,02

~~ ~ D6focalisation Z

(~m)

-0,06

0 256 512 768 1024

Amplitude

relative

(indice b)

0,04

0,02 o,oo -0,02

-0,04

D6focalisation Z

(~m)

-0,06 0 256 512 768 1024

Amplitude

relative

(indice

c) 0,04 0,02 o,oo -0,02

-0,04

D6focalisation Z

(~m)

-0,06

0 256 512 768 1024

Fig.

12.

Signatures

acoustiques

calcu16es,

du mode _{so aux}

6paisseurs

de

a)

15 _pm,

b)

25 _pm et

c)

35 pm h une

fr6quence

de 100 MHz.

[Acoustic

signatures

calculated for the so mode for various

plate

thicknesses at 100 MHz: 15 _pm

(Curve

a),

25 _pm

(Curve b)

and 35 _pm

(Curve

c).]

3)

une troisiAme

r4gion

(point

c)

oh la

largeur

I mi-hauteur est maximale. La vitesse du

mode _si est trAs voisine de la vitesse

vTv5

4)

une

quatriAme rAgion

(point

d)

oh la

largeur

h mi-hauteur diminue et la vitesse du mode

tend

asymptotiquement

vers UT.

Nous avons calculA le

pouvoir

rAflecteur autour des

points b,

c et d du mode si du rAseau de

dispersion.

Les

amplitudes

des diffArents coefficients de r4flexion sort donn6es sur la

figure

13.

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 589

Tableau II. Variation des

coejJicients

G et

fl

dir mode so en

fonction

de sa

position

sitr le

rdseait de

dispersion.

[Variation

of G and

fl

parameters

for mode _{so versits} the

position

on the

corresponding

curve

of

velocity

uersits the

product

of

frequency

and

thickness.]

fe

6mm

£~

r~

p

G

(MHz

mm)

(degr4s)

(m/s)

(degr4s)

point a 1500 17,19 5076 0,13 -1, 5 X

10~~

5, 96 X 10~~

point

b 2500 23,61 3749 1,04 -1, 85 _X 10~~ 7 X 10~~

point

c 3500 29,39 3061 0,71 -1, 28 X

10~~

3 X

10~~

1,o 0,8 0J ~

e

0,6 4 E ~ 0,4 0,2 d c b 0,0 0 lo 20 30 40 50

8

(degr6s)

Fig.

13.

Amplitude

du pouvoir r6flecteur _pour le mode si aux

6paisseurs

de

b)

45 pm,

c)

65 pm et

d)

90 _pm h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Amplitude

of the reflectance _power for the _si mode for various

plate

thicknesses at 100 MHz: 45 _~m

(Curve a),

65 _pm

(Curve b)

and 90 _pm

(Curve

c).]

Comme _pour le _cas

prAcAdent,

l'ellicacitA des modes

augmente

avec la

largeur

h mi-hauteur.

C'est ainsi

qu'au

point

c, nous avons le maximum d'ellicacitA alors

qu'au point b,

elle devient

minimale.

Ce rAsultat est

Agalement

confirmA par la dAtermination de l'attAnuation

fl

et de

l'amplitude

G calculAes I

partir

de

l'analyse

directe de la

signature

acoustique

(Tab. III).

9.3. CHOIX DE LA

FR#QUENCE

ET DE L'#PAISSEUR DES

#CHANTILLONS

EN FONCTION DE

L'APPAREILLAGE.

D'aprls

Cette 6tUde _SUr l'eliicacit# des dirt(rents modes _SUr le r6SeaU

frAquence-Amplitude

relative

(indice b)

o,oi o,oo

-o,oi

-0,02 0,03 _{D6focalisation Z (~m)}

-0,04

0 256 512 768 1024

Amplitude

relative (indice c)

o,oi o,oo -o,oi -0,02 ~°'°~ Ddfocalisation Z (~m) -0,04 0 256 512 768 1024

Amplitude

relative

(indice

d) o,oi o,oo

o,oi

-0,02 -0,03 _{Ddfocalisation Z (~m)} -0,04 0 256 5 12 768 1024

Fig.

14.

Signatures

acoustiques calcu16es, du mode _{si aux}

6paisseurs

de

b)

45 _pm,

c)

65 _pm et

d)

90 _pm k _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Acoustic

signatures

calculated for the _si mode for various plate thicknesses at 100 MHz: 45 ~m

(Curve a),

65 _pm

(Curve

b)

and 90 _pm

(Curve

c).]

Apaisseur

en quatre

r4gions

distinctes

dans la zone oh : 1000 <

fe

< 2000 Hz m, le mode ao est le

plus

ellicace de mAme pour 2000 Hz _m <

fe

< 4000 Hz m : le mode so est le

plus ellicace,

40U0 Hz m <

fe

< 6000 Hz m le mode al est le

plus eificace,

6000 Hz

m <

fe

< 8000 Hz m : le mode si est le

plus

ellicace.

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 591

acoustique

h notre

disposition

_:

I)

Nous _{avons une} seule valeur

d'Apaisseur,

c'est-I-dire,

un seul

Achantillon,

mais nous

pouvons utiliser le

microscope

acoustique

h

plusieurs

frAquences.

Si notre

plaque

d'acier fait

par

exemple

50 ~m, le maximum d'ellicacitA est obtenu pour le mode _ao I _une

frAquence

de 20 MHz

le mode _so h _une

frAquence

de 50 MHz

le mode _al I _une

frAquence

de 90 MHz

le mode _si h _une

frAquence

de 130 MHz.

Nous _pouvons

ainsi,

en choisissant la

frAquence

de

travail,

dAtecter le mode

qui

nous intAresse avec le maximum d'ellicacitA.

2)

Le deuxiAme _cas

correspond

aux conditions suivantes : le

microscope

fonctionne I une

seule

frAquence

(capteur

_{avec une} faible bande

passante),

et notre matAriau h

analyser

est

disponible

_en

plusieurs Apaisseurs.

Par

exemple,

pour une

frAquence

de 50

MHz,

l'eificacitA des modes ao, so, al et si est

maximale

respectivement

_pour [es

Apaisseurs

20 _~m, 50 _~m, 90 _~m et 130 _~m.

II est

possible

de choisir

I'@paisseur

convenable _pour d4tecter _avec le maximum

d'eificacitA,

le mode

qui

nous int@resse.

10. Rdsultats

expdrimentaux

L'Atude

prAcAdente

sur l'acier a montrA sur Ie rAseau de

dispersion

que le mode so est le

plus

eificace entre [es valeurs 2000 Hz _m et 4000 Hz _m du

produit

fe,

alors _que le mode _a-i l'est

entre 4000 et 6000 Hz _m.

Ainsi,

dans [es relevAs des

signatures

acoustiques

avec un

microscope

fonctionnant h 50

MHz,

le mode _so est le

plus

ellicace pour des

@paisseurs comprises

entre 50

et 70 _{~m, par} contre le mode _al l'est _pour une

4paisseur

voisine de 75 pm.

Cependant,

ces

deux modes conservent une ellicacitA sullisante pour toutes [es

4paisseurs

comprises

entre 50

et 80 _~m, ce

qui

permet de [es dAtecter darts toutes [es

signatures

acoustiques

expArimentales.

Par

ailleurs,

le mode _si n'est dAtectA dans _aucune de _ces

signatures,

car it n'est eificace

qu'h

partir

d'une

Apaisseur

de l10 _pm. En _ce

qui

concerne le mode ao,

qui

th@oriquement

n'est

ellicace

qu'entre

1000 et 2000 Hz _m, it n'est dAtectA _{que pour} des

Apaisseurs

de l'ordre de

50 _~m.

Ainsi,

l'Atude

thAorique

de la

largeur

h mi-hauteur

T,

nous

permet

de

prAiroir

et de dAterminer

dans un

premier

temps,

pour chacun des

modes,

ceux

qui peuvent

Atre dAtectAs dans la

signature

acoustique

thAorique

afin

d'optimiser

[es conditions de _mesures et faciliter la dAtection des modes sur [es relev4s

exp4rimentaux

des

signatures

acoustiques.

Tableau III. Variation des

coejJicients

G et

fl

dir mode si en

fonction

de sa

position

sitr le

rdseait de

dispersion.

[Variation

of G and

fl

parameters for mode si versits the

position

on the

corresponding

curve

of the

velocity

_versits the

product

of

frequency

and

thickness.]

fe emin

vsi

rsi

P G

(MHz mm)

(degrAs)

(m/s)

(degrAs)

point b 4500 15,47 5625 0,04 -1 X 10~~ 3 X 10~~

point c 6500 19,76 4438 0,25 -2,1 X 10~~ 1,2 X 10~~

Vitesse de phase ~knds) 12 ai Sz io al si sv

'

~°h

+ poin~ expddmentaux O 2 3 4 5 6 F-e (MHz.mm)

Fig.

15. Confrontation des r6sultats

th60riques

et

exp6rimentaux

(+)

sur le r4seau de

disper-sion de Lamb _pour l'acier h la

frdquence

de 54 MHz.

[Superposition

of

experimental

points

(+)

and theoretical _curves of Lamb modes

velocity

versus

the

product

of

frequency

and thickness calculated with the fitted simulation parameters for a

plate

of

steel at 54

MHz-j

Tableau IV. Valeitrs des uitesses des modes calcitldes _par TFR d

partir

des relends de

signa-titres

ezpdrimentales

et les ualeitrs

correspondantes

d

parttr

dir rdseait de

dispersion

(Vmode)

aprds

ajitstement.

[Comparison

for different Lamb modes between the

velocity

extracted

by

FFT from

experi-mental

signatures

and those calculated

(Vmode)

from the fitted parameters VL and

VT-j

Vitessedu mode _al Vitessedu mode _so Vitessedu mode _ao

(Pm)

(m/S)

(m/S)

(m/S)

TFR Vmaae TFR Vmade TFR Vmade

50 6351 6314 3474 3472 2727 2749

60 5504 5537 2939 3114

70 4877 5011 2942 3006

75 4690 4686 2945 2971

80 4500 4472 2956 2954

#tart

_placA

_{darts [es conditions}

_optimales

_de

mesure des modes de Lamb pour une

plaque

d'acier de 50 _~m

d'Apaisseur,

nous avons identifiA [es modes de

propagation

prAsents

darts [es

V(z)

expArimentaux.

Ensuite,

nous avons cherchA h rAsoudre le

problAme

inverse c'est h dire la

recherche des vitesses des ondes

longitudinale

et transversale se

propageant

darts cette

plaque.

Cette dAtermination s'effectue darts un

premier

temps h

partir

de la simulation de la

signa-ture

acoustique

de la

plaque

_par le modAle de

Sheppard

et Wilson

iii

et en

prenant

pour [es

paramAtres

_{vL, UT} et p des valeurs

approximatives

issues de la littArature. Par

TFR,

on

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 593 1 V(Z) o,s

a)

0 320 640 960 1280 1600 Iltfocafisadon Z

man)

A1nplitudenonnMisteduV(Z)

o,s

b)

° ~~° 64° 960 1280 l6tW l~*f0calisation Z~Am)

Fig.

16.

Signatures

acoustiques

exp4rimentales

d'une

plaque

de _verre

d'4paisseur

60 _pm

a)

et d'une

plaque

d'acier

d'6paisseur

70 _pm

b)

h la

fr4quence

de 54 MHz.

[Experimental

acoustic signatures at 54 MHz for _a 60 _pm thick

plate

of

glass

(Curve a)

and for a

70 _pm thick

plate

of steel

(Curve

b).]

[es vitesses des modes extraits des mesures

expArimentales.

De Ii un programme

informatique

ajuste

par

approximations

successives [es

paramAtres

de simulation de la couche

jusqu'l

ce que [es vitesses

thAoriques

et

expArimentales

des modes coincident

(Fig. IS).

Ce travail _a AtA

r6pAtA

pour 5 lames

d'acier,

dont [es

6paisseurs

sont

comprises

entre 50 et

80 _~m. De l'ensemble des _mesures

expArimentales,

on a d6terminA [es

paramAtres

recherchAs

Vitcsse al sz j al lo 8 So ' 4 ~

~°h

+ points exp4dmentaux o O 2 3 4 5 6 F-e (MHz.mm)

Fig.

17. Confrontation des r6sultats

t1i60riques

et

expdrimentaux

(+)

sur le rdseau de

disper-sion de Lamb _pour le _verre k la

frdquence

de 54 MHz.

[Superposition

of

experimental

points

(+)

_on the

curves of Lamb modes

velocity

versus the

product

of frequency and thickness calculated with the fitted simulation parameters for _a

plate

of steel at

54

)[Hz.]

soit 2881

m/s.

I

partir

de _vL et _UT

ajustAes prAcAdemment

h 54

l~Hz,

la valeur calculAe est de

2873m/s.

Le tableau IV permet de _comparer [es i<itesses

expArimentales

des modes de Lamb

avec celles obtenues

thAoriquement

en

injectant

dans le modAle [es

paramAtres

ajust4s

de la

couche.

Des r4sultats semblables ont 4t4 obtenus sur des

plaques

de i;erre pour

lesquelles

la

pr4ci-sion des mesures est

plus

satisfaisante,

car le mat4riau 4tant

plus

homogAne,

[es relev@s des

signatures

sont

plus

contrast@s

(Figs.

16a,b

et

Fig. 17).

Conclusion

Avec ces

r4sultats,

on a d4montr4 que l'on peut

d4terminer,

de

fapon

non destructive et trAs

locale, [es

propri@t4s

m4caniques

d'une couche _ou d'une

plaque

trAs mince dont

I'@paisseur

peut

alter de la fraction d'un millimAtre

jusqu'h quelques

micromAtres,

lorsque

[es mesures sont

faites _aux

frAquences adaptAes.

La

principale

dillicultA Atant irks souvent liAe h l'identification

des modes de Lamb dons la

signature

acoustique,

il Atait nAcessaire de trouver une mAthode de

reconnaissance liAe h leur ellicacit@. Le formalisme de rAsonance

angulaire

utilisA darts _ce travail

apporte une aide

importante

pour r4soudre ce

problAme

ainsi que le

problAme

inverse,

h savoir,

caract4riser [es

propr14t@s m4caniques

de

plaques

et couches minces _par

signature

acoustique.

Bibliographie

iii

Sheppard

C. J. R. et Wilson

T.,

Effects of

high angles

convergence on

V(z)

in the

scanning

acoustique

microscope,

Appl. Phys.

Lett. 38

(1981)

858-859.

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 595

[3] Fiorito

R., ~/Iadigosky

W. et

flberall

H.,

Resonance

theory

of acoustic _war<es

interacting

with _an elastic

plate,

J. Acoitst. Soc. Am. 66

(1979)

1857-1866.

[4] 1(ushibiki

J.,

Dkhubo A. et Chubachi

N.,

Theorical

analysis

for

V(z)

_curl<es obtained

by

acoustic

microscope

with line focus

beam,

Electron. Lett. 18

(1982)

663.

[5] Viktorov I.

A.,

Rayleigh

and Lamb waves

(Plenum

Press,

New

York,

1967).

[6] Brekhovskikh L.

M.,

~vaves in

layered

media

(Academic

Press,

1980).

[7] Fiorito

R.,

Madigosky

W. et

flberall

H.,

Theory

of ultrasonic resonance in a viscoelastic

layer,

J. Acoitst. Soc. Am. 77

(1985)

489-498.

[8]

Nladigosky

W. et Fiorito

R.,

~/Iodal _resonance

analysis

of acoustic transmission and

i-e-flection losses in viscoelastic

plates,

J. Acoitst. Soc. Am. 65

(1979)

1105-ills.

[9]

Doghmane

A.,

Hadjoub

Z.,

Alami

K.,

Saurel J. M. et Attal

J.;

Effects of

couplant

mass