an 09 p 48

an 09. p 48.

Partie A – Restitution organisée de connaissances.

Prérequis : on rappelle que lim

x→+∞ e^x x = +∞. 1. Démontrer que lim

x→+∞ ln x

x = 0 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim

x→+∞

ln x xⁿ = 0.

Partie B – Etude d’une fonction f.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) = x – ln x x² .

On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i^→ , j^→ ) (unité graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : u(x) = x³ – 1 + 2ln x.

a. Etudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x dans ]0 ; +∞[.

2. Etude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et +∞.

b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f.

3. Eléments graphique et tracé.

a. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe C_f. b. Déterminer la position de C_f par rapport à (∆).

c. Tracer la courbe C_f et la droite (∆).

Partie C – Calculs d’aires.

On note α un nombre réel strictement positif et on désigne par A(α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C_f , la droite (∆) et les droites d’équation x = 1 et x = α.

1. On suppose dans cette question que α > 1.

a. A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que A(α) = 1 − ln α α − 1

α . b. Déterminer la limite l de A(α) lorsque α tend vers +∞.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que l = A(1/e)

Partie A – Restitution organisée de connaissances.

Prérequis : on rappelle que lim

x→→→+∞→ e^x x = +∞∞∞∞. 1. Démontrer que lim

x→→→+∞→ ln x x = 0

On pose ln x = t, on a alors x = e^t et quand x → +∞, t → +∞

x→+∞lim ln x x = lim_t→+∞ t

e^t = 0 car d’après le prérequis, lim_t→+∞ e^t t = +∞

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim_{x→→→→+∞}ln x xⁿ = 0.

ln x xⁿ = ln x

x × 1

x^n-1 et on sait que lim_x→+∞ ln x

x = 0 et lim_x→+∞ 1

x^n-1 = 0 donc par produit, lim_x→+∞ln x xⁿ = 0.

Partie B – Etude d’une fonction f.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞∞∞∞[ par : f(x) = x – ln x x² .

On note CCCC_f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i^→→→→ , j^→→→→ ) (unité graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞∞∞∞[ par : u(x) = x³ – 1 + 2ln x.

a. Etudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞∞∞[. ∞ u est dérivable sur ]0 ; +∞[ et u’(x) = 3x² + 2

x

dans ]0 ; +∞[, 3x² > 0 et 2/x > 0 donc u’(x) > 0 ce qui prouve que u est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

b. Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x dans ]0 ; +∞∞∞∞[.

u(1) = 1 – 1 + 2ln1 = 0 on en déduit le signe de u(x) : x u(x)

||

||

0 - 1 0

+∞ + 2. Etude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et +∞∞∞. ∞ D’après la partie A : lim

x→+∞

ln x

x² = 0 et lim

x→+∞ x = +∞ donc par addition, lim

x→+∞ f(x) = +∞.

Quand x → 0, x² → 0 et ln x → −∞ donc ln x

x² → −∞ donc lim_x→0 f(x) = +∞.

b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f.

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f’(x) = 1 − (1/x)x² - ln x (2x)

x⁴ = 1 − x - 2x ln x x⁴

= 1 − 1 - 2 ln x x³ = u(x)

x³

dans ]0 ; +∞[, x³ > 0 donc f’(x) a le signe de u(x) (étudié précédemment) On en déduit le tableau de variation de f :

3. Eléments graphique et tracé.

a. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe CCCC_f. Pour cela cherchons lim_x→+∞ f(x) – x

f(x) – x = − ln x

x² et on a vu que lim_x→+∞ln x x² = 0 donc (∆) d’équation y = x est asymptote à C_f en +∞. b. Déterminer la position de CCCC_f par rapport à (∆).

Cette position est donnée par le signe de f(x) – x donc de − ln x

x² donc de – ln x car x² > 0.

quand 0 < x < 1, ln x < 0 donc – ln x > 0 : C_f est au dessus de (∆)

quand x = 1, ln x = 0 :

C_f et (∆) se coupent au point de coordonnées (1 ; 1) quand x > 1, ln x > 0 donc –ln x < 0 :

C_f est en dessous de (∆)

c. Tracer la courbe CCCC_f et la droite (∆).

Partie C – Calculs d’aires.

On note

αααα un nombre réel strictement positif et on

désigne par A(α

ααα) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe CCCC_f

, la droite (

∆

) et les droites d’équation x = 1 et x = α

ααα.

Le domaine apparaît sur le graphique avec une valeur de α entre 3 et 4 …

1. On suppose dans cette question que

αααα

> 1. Pour ces valeurs de

α

,

C_f

est en dessous de (

∆

).

a. A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que A(

α

) = 1 − ln α

α

− 1

α

.

A(α) =

=

_²

=

_²

on pose



  _{u'(x) =} ¹ x² v(x) = lnx

on a alors

 

 u(x) = -1 x v'(x) = 1 x

et A(α) =

1

−

_²

= − ln

α

α

+

_²

= − ln

α

α

+

1

= 1 − ln

α α

− 1

α

b. Déterminer la limite

llll

de A(α

ααα) lorsque αααα tend vers +∞∞∞∞.

quand

α→

+

∞

, ln

α

α

→

0 et − 1

α

→

0 donc A(

α

)

→

1

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que

l

= A( 1 e ) 1/e < 1

Sur [1/e ; 1]

C_f

est au dessus de (

∆

) donc A(1/e) =

_/

= −

_/

2 3 4

2 3 4

0 1

1

x y

or

= F(b) – F(a) = − [F(a) – F(b)] = −

(F étant une primitive quelconque de f sur [a ; b])

donc A(1/e) = − [−

^/

] =

^/

On retrouve A(

α

) avec

α

= 1/e D’où : A(1/e) = 1 − ln (1/e)

(1/e) − 1

(1/e) = 1 − - ln e (1/e) − 1

(1/e) = 1 − - 1 (1/e) − 1

(1/e) = 1=

l.