CONTROLE N°5 TS3. Mercredi 28 janvier 2014. 2 heures. Prévoir 1

CONTROLE N°5 TS3.

Mercredi 28 janvier 2014.

2 heures.

Prévoir 1 h20 pour l exercice IV.

Le barème est indicatif et pourra être modifié.

I. 4,5 points

Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. e

^x

1 0

2. e

^4x

e

^2x

e

^{x 3}

e

^{x 2}

3. e

^2x

3e

^x

2 0. Aide : poser X e

^x

4. e

^2x

2e

^x

e

^{x 1}

2e 0

II. 4 points

Déterminer, en justifiant, les limites suivantes : 1. lim

x

e

^x

x 2. lim

x 0

2e

^x

3 x ² 3. lim

x

e

^x

x III. 4 points

Pour tout réel k, on définit la fonction f

k

par f

k

( x) 1

1 e

^kx

. Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier :

1. Quelle que soit le réel k, f

k

est définie sur .

2. Quel que soit le réel k, la représentation graphique de la fonction f

k

est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1.

3. Quel que soit le réel k, la fonction f

k

est strictement croissante.

TOURNER LA PAGE !!!

IV. Type bac. 12,5 points Partie 1 6 points

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= e

^x

−xe

^x

+1.

1. Déterminer la limite de g en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction g . 3.

a. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On note α cette solution.

b. Démontrer que e 1 1

4. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie 2 2,5 points

Soit A la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que A(x) = 4 x e

^x

1

1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A’ (x) a le même signe que g (x),où g est la fonction définie dans la partie 1.

2. En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[.

Partie 3 4 points

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) 4 e

^x

1

On note (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j )





La figure est donnée en annexe.

Pour tout réel x positif ou nul, on note :

M le point de ( C ) de coordonnées (x ; f (x)), P le point de coordonnées (x ; 0) et Q le point de coordonnées (0 ; f (x)).

On rappelle que le réel α a été défini dans la partie 1.

1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2. Le point M a pour abscisse α. La tangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite

(PQ) ?

CORRECTION DU CONTROLE N°5 TS3.

I.

1. e

^x

1 0 e

^x

1 x 0 S ]0 [.

2. e

^4x

e

^2x

e

^{x 3}

e

^{x 2}

e

^{4x 2x x 3}

e

^{x 2}

e

^{5x 3}

e

^{x 2}

5x 3 x 2 x 1

4 S







1



4 . 3. (E ) e

^2x

3e

^x

2 0





X² 3X 2 0 X e

^x

= 1 et le trinôme X ² 3X 2 a deux racines qui sont 2 et 1 ( E) e

^x

2 ou e

^x

1. Or, pour tout réel x, e

^x

0. Ainsi S Ø.

4. (E )e

^2x

2e

^x

e

^{x 1}

2e 0





X² 2X eX 2e 0

X e

^x 

X² (2 e) X 2 e 0

X e

^x

= (2 e )

²

8 e ( ^{4 4e e}

²

) ^{( e 2)}

²

( E)

 

X ^{2 e e 2}

2 e

X e

^x

ou   X ^{2 e− e−2}

2 −2

X e

^x

e

^x

e ou e

^x

−2 x 1 S={1}.

II.

1. lim

x

e

^x

0

⁺

et lim

x

x donc lim

x

e

^x

x =0.

2. lim

x 0

2e

^x

3 2e

⁰

3 5 et lim

x 0

x² 0 donc lim

x 0

2 e

^x

3 x ² = + 3. e

^x

x e

^x

 

 

1 ^x

e

^x

. x

e

^x

1 e

^x

x

lim

x

e

^x

x donc lim

x

1

e^x x

0 et donc lim

x

1 ^x

e

^x

1.

Or lim

x

e

^x

donc lim

x

e

^x

x

III.

1. Pour tout réel X, e

^X

0 donc pour tout réel x, 1 e

^kx

1 et donc 1 e

^kx

≠ 0. La fonction f

k

est donc définie sur : VRAI.

2. Pour tout x de , 1 e

^kx

0 donc f

k

(x ) 0 et 1 e

^kx

1 donc f

k

( x) 1 : VRAI 3. f

_k

est dérivable sur : pour tout x de , on a f

_k

(x ) ( ^ke

^kx

)

( ^{1 e}

^kx

)

²

ke

^kx

( ^{1 e}

^kx

)

²

du signe de k.

Si k 0, f

k

( x) 0 pour tout réel x donc la fonction f

k

est strictement décroissante : FAUX IV. Type bac.

Partie 1

1. Pour tout x 0, g( x) e

^x

(1 x) 1.

lim

x

e

^x

et lim

x

1 x donc lim

x

g( x) = . 2. g est dérivable sur +.

Pour tout réel x positif, on a g (x) e

^x

( ^1e

^x

^xe

^x

) ^{= xe}

^x

^.

On a le tableau de variations suivant :

x 0 + x

e

^x

+

g (x ) g (x ) 2

3.

a. La fonction g est continue et strictement décroissante sur [0 ; + [ avec g(0) 2 0 et lim

x

g( x) donc l équation g (x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution α.

b. g( ) 0 e e 1 0 e (1 ) 1 e 1 1

1 1

4. D après le tableau de variation de g, on peut construire le tableau de signes suivant : x 0 +

g (x )

Partie 2

1. A est dérivable sur + et, pour tout x de + : A ( x) 4 ( ^e

^x

¹ ) ^{4 xe}

^x

( ^e

^x

¹ )

²

⁼

4 g( x)

( ^e

^x

¹ )

²

du signe de g (x ).

2. On a donc le tableau de variations :

x 0 + A (x )

A(x) A(α)

0

Partie 3

1. L aire de OPMQ est x f( x) A ( x). D après la partie 2, A (x ) est maximal pour x= . Ainsi, l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.

2. T a pour coefficient directeur f ( ) = 4e

( ^{e 1} )

²

Or e 1

1 donc f ( )

4 1

 

  1

1 1

²

 

  4

1  

 

1

²

4( 1)

²

(PQ) a pour coefficient directeur f ( ) 0 0

f ( )  

  4

e 1   

 

 4

1

1

1

 

  4( 1)

4( 1)

²

(PQ) et T ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.

GRILLE D EVALUATION.

DS N°5 TS3

OUI EN PARTIE

NON NON EVALUE Rédaction

La rédaction est rigoureuse La copie est bien présentée Je suis capable de

Transformer une expression contenant des exponentielles (I-2 et 4)

Résoudre une inéquation simple avec des exponentielles (I-1) Résoudre une équation demandant des transformations (I-2 et 3)

Transformer une expression pour déterminer une limite (II) Faire le lien entre représentation graphique et calculs (III-2 et IV-P-3)

Dériver une fonction avec l exponentielle (II-3 ; IV-P1-2 et IV-P2-2)

Utiliser le corollaire du TVI (IV-P1-3a)

Faire le lien entre les différentes questions de l exercice (IV- P1-3b et 4 ; IV-P2-2 ; IV-P3-1)

Prendre des initiatives (IV-P1-3-b ; IV-P3-2) Je connais

La méthode pour résoudre une équation du second degré (I-3) Les limites de la fonction exponentielle (II et IV-P1-1)

lim

x

e

^x

x (II-1)

Le signe de e

^x

(III ; IV)

La dérivée de exp(u) où u est une fonction (III-3) La dérivée de u

v (IV -P2-1 )

Le corollaire du TVI (IV-P1-3-a) et sa rédaction

Le coefficient directeur de la tangente à C

f

au point d abscisse a est f (a ) (IV-P3-2)

Le coefficient directeur de (AB) est y

_B

Y

_A

x

B

x

A

(IV-P3-2)