() () () CONTROLE N°2 TS3.

CONTROLE N°2 TS3.

Mercredi 5 novembre 2014.

2 heures.

I. On pose z 1 (1 2i ) et z 2 (3 i).

Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants (détailler les calculs) : z 3 z 1 z 2 ; z 4 z 1 z 2 ; z 5

1

z ₁ ; z 6

z 1

z ₂ ; z 7 z 1

II. Résoudre dans l équation i z − 1 = 2z +2i

III. Donner sans calcul l a nat ure du nombre compl exe 1 2i (3 i )(2 i)

1 2 i

(3 i )(2 i) . Justifier.

IV. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z ) z ³ 2(1 i )z ² 4(1 i )z 8i .

1. Déterminer les réels b et c tels que pour tout complexe z, P (z) ( z 2 i)( z² bz c).

2. Résoudre l équation P( z) 0.

V. On appelle f la fonction qui à tout point M d affixe z différente de 1 associe le point M f( M) d affixe z (1 i) z

z 1

1. Déterminer le(s) complexes z tel(s) que z 2 i.

2. Déterminer le(s) point(s) invariant(s) par f, c'est-à-dire le(s) points M tel(s) que f( M) M . VI. Soit ( ) ^{u n} la suite définie par u 0 2 et, pour tout n de , u n 1 u n 2 n 1.

1. Montrer par récurrence que, pour tout n de , u _n n².

2. En déduire la limite de la suite ( ) ^u n . VII. Déterminer lim

x

x ² 1 x.

VIII. f est la fonction définie par f( x) x 4 2 x

1. En utilisant votre calculatrice, donner l allure de la courbe de f sur votre copie.

2. Donner sans justification en utilisant le graphique les limites de f en et en 2 . 3. Déterminer les limites de f en + et en 2 ⁺ (4 limites).

4. Donner les asymptotes à la courbe de f.

IX. Bonus.

La suite ( ) ^{u n} est définie pour tout entier n par u 0 = 3 et u n 1 = 2u n  1. La suite (v_n )est définie pour tout entier naturel n par v 0 = 1 et v n 1 = 2v n + 3.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Montrer par récurrence que pour tout n de , 2u _n  v _n = 5.

2. Montrer par récurrence que pour tout n de , u _n = 2 ^{n 1} + 1.

3. Déduire des deux questions précédentes v _n en fonction de n.

CORRECTION DU CONTROLE N°2 TS3.

I. z 3 z 1 z 2 = 2 3 i ; z 4 z 1 z 2 = (1 2i )(3 i ) 3 6i i 2 5 5i ; z 7 z 1 = 1 2i . z 5

1 z 1

= 1(1 2 i)

(1 2 i)(1 2 i) = 1 2i 5 = 1

5 2

5 i ; z 6

z 1

z 2

= (1 2i )(3 i )

(3 i )(3 i ) = 3 6 i i 2

10 = 1

10 7

10 i ; II. Voir le cours.

III. 1 2 i

(3 i )(2 i) est l e conj ugué de 1 2i

(3 i )(2 i) . Or, pour t out nom bre com plexe z,

z z est un imaginaire pur. Ainsi 1 2i (3 i )(2 i )

1 2 i

(3 i )(2 i ) es t un i maginaire pu r . IV.

1. Pour tout complexe z, (z 2i )(z ² bz c ) z ³ (2 i b) z² (2 i b c) z 2 i c.

z ³ 2(1 i) z² 4(1 i )z 8 i (z 2i )(z ² bz c),z ϵ



  2 i b 2(1 i) 2ib c 4(1 i ) 2ic 8i

 

 ^{c 4}

b ^{4(1 i) 4}

2i 2

2i 2 2(1 i ) Pour tout complexe z, P (z) ( z 2i )(z ² 2z 4)

2. P( z) 0 z 2i 0 ou z ² 2 z 4 0

Résolution de z² 2z 4 0 : = 12 donc l équation a deux solutions qui sont 1 i 3 et 1 i 3 . Alors P( z) 0 a pour solutions 2i ; 1 i 3 et 1 i 3 .

V.

1. La valeur interdite est 1.

z 2i (1 i) z

z 1 = 2 i (1 i) z 2i (z 1) et z ≠ 1 (1 i )z 2i z 2i et z ≠ 1

(1 i )z 2 i et z ≠ 1

z 2i

1 i = 1 i et z ≠ 1

L unique nombre complexe z tel que z 2i est 1 i.

2. f( M) M (1 i) z

z 1 z. La valeur interdite est 1.

f (M ) M (1 i )z z (z 1) et z ≠ 1 (1 i) z z( z 1) 0 et z ≠ 1 z (1 i z 1 ) 0 et z ≠ 1 z (i z ) 0 et z ≠ 1

z 0 ou z i) et (z ≠ 1)

Les points invariants par f sont les points d affixes 0 et i.

VI. Soit ( ) ^{u n} la suite définie par u 0 2 et, pour tout n de , u n 1 u n 2 n 1.

1. Initialisation : pour n 0 0, u 0 2 et 0² 0 donc la propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u p p². Mont rons que u p 1 (p 1)².

u p p ² donc u p 2 p 1 p² 2 p 1, c'est-à-dire u p 1 ( p 1)².

Conclusion : pour tout n de , u n n ².

2. Pour tout n de , u n n ² et lim

n

n ² donc, d après le th de comparaison : lim

n

u n .

VII. lim

x

x² 1 et lim

X

X donc lim

x

x² 1 . On a donc une forme indéterminée en .

x ² 1 x ( x² 1 x ) ( x ² 1 x )

x² 1 x

1 x² 1 x . lim

x

x ² 1 et lim

x

x donc lim

x

x² 1 x . Alors lim

x

1 x ² 1 x

0, c est à dire lim

x

x² 1 x 0.

VIII. f est la fonction définie par f( x) x 4 2 x 1.

2. Il semble que lim

x

f (x ) 1 et lim

x 2

f(x ) . 3. lim

x

f (x ) lim x

x

x lim

x

1 1.

lim

x 2

x 4 2 et lim

x 2

2 x 0 (car 2 x 0 si x 2). Alors lim

x 2

f( x) = .

4. La courbe de f admet une asymptote horizontale, d équation y 1 et une asymptote verticale, d équation x 2.

IX. Bonus.

Voir devoir à la maison n°6.