Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E5. 2007 2008
E5 Savoir déterminer un extremum d'une fonction.
N ° 9.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 6x + 10.
1. Déterminer le réel a tel que f ( x ) = ( x + a )² + 1.
2. a ) En déduire le signe de f ( x ) − 1.
b ) En déduire le minimum de f sur ainsi que la valeur pour laquelle il est atteint.
c ) Donner quatre minorants de f sur .
1. Je cherche a tel que x² + 2ax + a² + 1 = x² + 6x + 10 ⇔ 2a = 6 et a² + 1 = 10 ⇔ a = 3.
Le réel a est donc égal à 3.
2. a ) f ( x ) − 1 = ( x + 3 )² + 1 − 1 = ( x + 3 )².
Or ( x + 3 )² ≥ 0 donc f ( x ) − 1 ≥ 0.
Le signe de f ( x ) − 1 est donc +.
b ) Pour tout réel x, on a f ( x) − 1 ≥ 0 ⇔ f ( x ) ≥ 1. Donc 1 est le minimum de f sur . f ( x ) = 1 ⇔ ( x + 3 )² + 1 = 1 ⇔ (x + 3 )² = 1 ⇔ x = -3. Donc f ( - 3 ) = 1.
La valeur pour laquelle le minimum est atteint est la valeur -3.
c ) Un minorant de f sur est un nombre m tel que m ≤ f ( x ) pour tout réel x.
Ici, f ( x ) ≥ 1 pour tout réel x donc f ( x ) ≥ 0 et f ( x ) ≥ - 1 et f ( x ) ≥ - 2 et f ( x ) ≥ -3.
Quatre minorants de f sur I sont donc par exemple - 3 ; - 2 ; - 1 ; et 0.
N ° 9 bis.
1 ) Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² − 6x + 13.
a ) Démontrer que pour tout réel x, f ( x ) = ( x − 3 ) ² + 4.
b ) Démontrer que f admet un extremum sur que l'on déterminera.
2 ) Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = -x² − 2x + 1. Démontrer que 2 est le maximum de f sur . 1 ) a ) ( x − 3 )² + 4 = x² − 6x + 9 + 4 = x² − 6x + 13 = f ( x ).
1 ) b ) Pour tout réel x, ( x − 3 )² ≥ 0 donc ( x − 3 )² + 4 ≥ 4. Donc f ( x ) ≥ 4 .4 est un minorant de f sur . Je cherche x tel que f ( x ) = 4 ⇔ ( x − 3 )² + 4 = 4 ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3. Donc pour tout x réel, f ( x ) ≥ f ( 3 ).
Donc f ( 3 ) = 4 est un minimum de f sur et il est atteint pour la valeur de x = 3.
2 ) f ( x ) − 2 = -x² − 2x + 1 − 2 = - x² − 2x − 1 = - 1 ( x² + 2x + 1 ) = - ( x + 1 )² . Ainsi pour tout x réel, f ( x) − 2 ≤ 0 donc f ( x ) ≤ 2. D'où 2 est un majorant de f sur . Je cherche x tel que f ( x ) = 2 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1.
Donc pour tout réel x, f ( x ) ≤ f ( - 1 ).
Donc f ( -1 ) = 2 est un maximum de f sur et il est atteint pour la valeur de x = -1.
