Acoustique statistique : étude de l'hypothèse de couplage faible et de l'influence des modes non-résonants pour la SEA.

(1)

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Acoustique statistique : étude de l’hypothèse de

couplage faible et de l’influence des modes non-résonants

pour la SEA.

Thibault Lafont, Nicolas Totaro, Alain Le Bot

To cite this version:

(2)

Acoustique statistique : ´etude de l’hypoth`ese de couplage faible et de

l’influence des modes non-r´esonants pour la SEA

T. Lafont

∗

, N. Totaro

†

, A. Le Bot

‡

La méthode Statistical Energy Analysis (SEA), développée dans le cadre théorique de deux oscillateurs couplés, est basée sur de nombreuses hypothèses (couplage faible, excitation de type rain-on-the-roof, couplage non-dissipatif, etc). Lorsque ces hypothèses sont respectées, les énergies des oscillateurs peuvent être reliées à la puissance transmise entre eux par la relation dite de ”coupling power proportionality” (CPP). Étendue aux couplages entre sous-systèmes multi-modaux, la SEA peut être appliquée à des structures complexes. Il est toutefois nécessaire de souligner que la SEA est théoriquement juste tant que toutes ses hypothèses sont respectées. Avant d’envisager d’appliquer la SEA à un système industriel, il est donc impératif de s’assurer qu’il est bien dans le domaine de validité de la SEA.

Cet article est une discussion sur l’hypothèse de couplage faible et l’influence des modes non-résonants dans l’utilisation de la SEA. Dans le cas de deux oscillateurs couplés, il est montré que la relation de CPP reste valable quelque soit la force de couplage. L’hypothèse de couplage faible n’est théoriquement nécessaire qu’à partir de trois oscillateurs couplés. Une simulation numérique est présentée et confirme cette observation. Dans ce cas la relation de CPP n’est plus vérifiée et on constate l’apparition de facteurs de couplage indirects.

Par ailleurs, il est montré que si la fréquence de résonance du troisième oscillateur est en dehors de la bande de fréquence d’excitation (c’est à dire si le mode est non-résonant) alors la relation de réciprocité établie en SEA n’est plus valable.

1 Introduction

La SEA (Statistical Energy Analysis) [1], est une théorie bien connue en vibro-acoustique statistique pour prédire les trans-ferts d’énergie entre sous-systèmes excités par des forces aléatoires. Développée dans les années 60 et très utilisée en acoustique des salles, cette méthode s’est longtemps heurtée à son application difficile aux systèmes industriels complexes [2].

La SEA est basée sur la relation de ”coupling power proportionality” (CPP) qui stipule que la puissance transmise entre deux sous-systèmes est proportionnelle à la différence de leurs énergies modales. L’établissement de la relation de CPP est basée sur le modèle de deux oscillateurs couplés soumis à des forces aléatoires, stationnaires, décorrélées de type bruit blanc (densité spectrale de puissance constante sur la bande de fréquence) [3]. Les relations de la SEA sont ensuite étendues aux systèmes continus en assimilant les modes à des oscillateurs mécaniques. Toutefois, dans ce cas, plusieurs hypothèses supplémentaires sont nécessaires (champ diffus, excitation Rain-on-the-roof, équipartition des énergies modales, etc). Lafont et al. [4] ont réalisé une étude de ces hypothèses liée à la nécessité d’avoir un champ diffus dans les sous-systèmes.

Les hypothèses liées au couplage entre sous-systèmes ont suscité beaucoup d’intérêt dans la littérature. En SEA, le couplage entre sous-systèmes doit être conservatif et faible. L’hypothèse du couplage conservatif intervient dès le début de la démonstration de la CPP, au moment de l’écriture des équations du mouvement entre deux oscillateurs. Elle permet d’écrire des équations sans terme traduisant une dissipation d’énergie. Des extensions à un couplage non-conservatif sont traitées dans les références [5, 6, 7]. L’hypothèse du couplage faible, quant à elle, n’intervient que dans le cas de trois sous-systèmes couplés ou plus [8]. Cependant, la définition d’un couplage faible est délicate et de nombreuses versions existent dans la littérature. Une étude qui propose un critère de couplage faible pour la validation de la CPP est donnée par Finnveden [9].

Théoriquement, la SEA ne peut rendre compte de l’influence des modes non-résonants. En effet, du point de vue de l’approche modale de la méthode, la présence de modes en dehors de la bande de fréquence de l’excitation est négligée. On fait ainsi l’approximation que seuls les modes compris dans la bande de fréquence d’excitation interviennent dans le calcul des énergies vibratoires des sous-systèmes. Plusieurs études ont évaluées les contributions des modes non-résonants, en particulier Crocker et Price [10] pour la SEA en introduisant des facteurs de perte par couplage indirect et Maxit et al. [11] pour SmEdA (Statistical modal Energy distribution Analysis). Renji et al. [12] mettent en évidence que l’hypothèse de troncature modale peut être difficile à respecter dans le cas d’une plaque fine séparant deux cavités. L’étude de Cheng et al. [13] confirme ces dernières observations. La présente étude s’inscrit dans la continuité des travaux précédents concernant les hypothèses de champ diffus, d’équipartition modale et d’excitation rain-on-the-roof [4]. Son objectif est l’étude des conséquences du non-respect de l’hypothèse de couplage faible et l’influence des modes non-résonants.

Dans la suite, les principaux résultats de la SEA sont rappelés (§3). Un exemple de trois oscillateurs couplés élastiquement est utilisé. Les expressions exactes des énergies vibratoires, des puissances transmises, des puissances injectées ainsi que la méthode des coefficients d’influence énergétique sont détaillés dans le chapitre (§4). Les termes de la matrice des facteurs de perte par couplage donnés par la SEA seront ainsi comparés à ceux obtenus par un calcul de référence (§5). L’influence de la force de couplage sera abordée en (§5.3) alors que l’influence des modes non-résonant sera discutée en (§5.4).

∗_{thibault.lafont@cpe.fr : Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Syst`emes, Ecole centrale de Lyon, 36 avenue guy de collongue 69134 Ecully} †_{nicolas.totaro@insa-lyon.fr : Laboratoire Vibrations Acoustique, INSA Lyon, 25 bis avenue jean capelle 69621 Villeurbanne}

(3)

2 Calcul SEA

Cette section pr´esente les expressions de la ”coupling power proportionality” et de la matrice des facteurs de perte par couplage (CLF pour coupling loss factor).

On considère le cas de deux oscillateurs i et j couplés. En supposant que le couplage est conservatif et que les forces excitatrices sont des bruits blancs décorrélés, il a été démontré que l’échange d’énergie est proportionnel à la différence des énergies vibratoires [3, 8, 14, 15]. Soit,

Pi j = ηi jωc(Ei− Ej) (1)

avec Pi j la puissance transmise, ηi j le facteur de perte par couplage (CLF), ωc la fr´equence centrale de la bande de fr´equence

d’excitation, Eiet Ejles ´energies vibratoires des oscillateurs i et j. Cette ´equation est connue sous le nom de ”coupling power

proportionality”. Le coefficient β est, pour un couplage ´elastique,

β = ηi jωc= K2 i j(∆i+ ∆j) mimj[(ω2i − ω 2 j)2+(∆i+ ∆j)(∆iω2j− ∆jω2i)] (2)

o`u ∆i = λi/miest la bande passante et ωi = p((ki+ Ki j)/mi) la pulsation propre bloqu´ee de l’oscillateur i. De plus, les CLF

vérifient la relation de réciprocité [1],

ηi jωc= ηjiωc (3)

Cette relation est aussi appel´ee relation de coh´erence [16].

Figure 1 – Trois oscillateurs excités par des forces aléatoires décorrélées Fi, couplés par des couplages élastiques Ki j.

Dans le cas de trois oscillateurs (Figure 1) le syst`eme SEA est            P1_{in j} P2 in j P3_{in j}            = ωc           η1+ η12 −η21 0 −η12 η2+ η21+ η23 −η32 0 −η23 η3+ η32                     E1 E2 E3           (4)

o`u les ηi= λi/miωisont les facteurs de perte par amortissement (DLF pour damping loss factor). La matrice est appel´ee matrice

des facteurs de perte par couplage (CLF). Un tel système correspond à une SEA dite ”traditionnelle” (ou ”proper-SEA” d’après Mace [17]) : les conditions de conservation d’énergie et de cohérence sont vérifiées et les facteurs de perte par couplage indirect (CLFi) η13et η31sont égaux à zéro.

3 Calcul de r´ef´erence

Cette section présente les expressions exactes des énergies vibratoires, de la puissance injectée et de la puissance échangée entre deux oscillateurs. Elles sont utiles pour vérifier la validité de la CPP.

Dans l’espace de Fourier, les équations du mouvement de trois oscillateurs couplés par des couplages élastiques peuvent s’écrire sous la forme matricielle DX=F où X est le vecteur déplacement, F le vecteur excitation et D la matrice de rigidité dynamique. Pour les oscillateurs mécaniques de la Figure 1, D est

D =           m1(ω21− ω2+ jω∆1) −K12m2/m1 0 −K12m1/m2 m2(ω22− ω2+ jω∆2) −K23m3/m2 0 −K23m2/m3 m3(ω23− ω 2_{+ jω∆} 3)           (5)

3.1 Energies vibratoires des oscillateurs

´

La fonction de réponse en fréquence H_ijqui donne la réponse de l’oscillateur i quand une force harmonique ejωt_{est appliquée}

(4)

F, le vecteur déplacement est X=HF. Lorsque les forces sont aléatoires, stationnaires et décorrélées, l’espérance de la vitesse quadratique de l’oscillateur i s’écrit,

< ˙X2 i >= Z +∞ −∞ ω2X j |H_ij|2_S jdω (6)

où < . > est une espérance de probabilité et Fi des processus stochastiques dont la densité spectrale de puissance est notée

Si. Notons que l’intégrale porte sur une bande de fréquence infinie. On considère désormais que les forces excitatrices ont une

densité spectrale de puissance constante (Si =1) à l’intérieur de la bande de fréquence [ωmin, ωmax] et sont nulles à l’extérieur

(Si=0). Ainsi, dans la suite, les intégrales sont limitées à cette bande de fréquence.

Soit E_ijl’énergie vibratoire de l’oscillateur i lorsque l’excitation est appliquée sur l’oscillateur j. Elle est définit comme étant deux fois l’espérance de l’énergie cinétique,

<E_ij>= 1 π Z ωmax ωmin miω2         X j |H_ij|2_S j         dω (7)

Cette expression est valable pour n’importe quelle densité spectrale de puissance sous réserve que les forces soient aléatoires, stationnaires et décorrélées.

3.2 Puissance transmise et puissance inject´ee

La puissance transmise de l’oscillateur i vers l’oscillateur j lorsque la force est appliqu´ee sur l’oscillateur k est

<Pi j >= 1 2Ki j(< XiX˙j> − <XjX˙i>) (8) soit aussi <Pi j>= 1 π Z ωmax ωmin ℜ[iKi jω        X k H_ik∗Hk_jSk       ]dω (9)

où ∗ désigne un complexe conjugué et ℜ la partie réelle. Dans le cas présent (cf Figure 1), les oscillateurs 1 et 3 ne sont pas directement connectés, < P13>=0.

La puissance inject´ee dans l’oscillateur i est,

<Pi_{in j}>=<FiX˙i>= 1 πℜ Z ωmax ωmin iωH_iiSidω (10)

4 M´ethode des puissances inject´ees

La méthode des puissances injectées (PIM) [18] consiste à exciter un à un les oscillateurs par des forces décorrélées et à calculer pour chaque cas l’énergie vibratoire et la puissance injectée de chacun (Eq. (7) et (10)).

En superposant chaque équation pour chaque cas d’excitation on peut construire un système matriciel du type P = Eηωcoù

P_{est le vecteur de puissance injectée, E la matrice composée des énergies vibratoires E}j

i et η le vecteur qui contient les DLF,

CLF et CLFi. Dans le cas de trois oscillateurs, le syst`eme matriciel P = Eηωcs’´ecrit,

                                               P1 in j ωc 0 0 0 P2 in j ωc 0 0 0 P3 in j ωc                                                =                                         E1 1 E11 E11 −E21 0 0 −E31 0 0 0 −E1 1 0 E12 E21 E12 0 −E13 0 0 0 −E1 1 0 0 −E 1 2 E 1 3 E 1 3 E 1 3 E2 1 E21 E21 −E22 0 0 −E32 0 0 0 −E2 1 0 E22 E22 E22 0 −E23 0 0 0 −E2 1 0 0 −E 2 2 E 2 3 E 2 3 E 2 3 E3 1 E31 E31 −E23 0 0 −E33 0 0 0 −E3 1 0 E 3 2 E 3 2 E 3 2 0 −E 3 3 0 0 0 −E3 1 0 0 −E 3 2 E 3 3 E 3 3 E 3 3                                                                                 η1 η12 η13 η21 η2 η23 η31 η32 η3                                         (11)

Le vecteur η se d´eduit par une simple inversion.

La méthode des puissances injectées permet ainsi d’obtenir à partir du calcul de référence une matrice de facteurs de perte par couplage comparable à celle de la SEA traditionnelle mais sans contraindre les éléments diagonaux (CLFi à zéro). Dans la suite, on étudie les conditions d’apparition de ces facteurs de perte.

5 R´esultats et commentaires

5.1 Influence de la force de couplage

On considère trois oscillateurs dont les caractéristiques sont données par le tableau 1. Le paramètre variable est la force de couplage élastique Ki j. Elle est définie entre 0 et Kmax le maximum de couplage, choisi de manière à ce qu’à partir de cette

(5)

Type Osc. 1 Osc. 2 Osc. 3 Masse mi(kg) 0.0039 0.0040 0.0036

Raideur ki(N/m) 9e3 9e3 9e3

Table 1 – Param`etres des oscillateurs

les différents oscillateurs sont nommées K12 et K23 et varient simultanément de 10−7% à 100% de Kmax. Tous les modes sont

supposés résonants (les fréquences propres sont contenues dans l’intervalle [ fmin,fmax]). Par ailleurs, les excitations ont une

densité spectrale de puissance constante dans la bande de fréquence considérée. Le calcul des énergies vibratoires se fait d’après l’Eq. (7) avec S1=1 et S2= S3=0. Les paramètres du tableau 1 donnent les fréquences propres suivantes (lorsque Ki j<<ki) :

f1=241.77 Hz ; f2=238.75 Hz et f3=251.64 Hz.

Les fr´equences propres fi= p(ki+ Ki j)/mi/2π augmentent avec le couplage et notamment lorsque Ki jn’est plus n´egligeable

devant ki. La bande de fr´equence est prise suffisamment large ( fmin =0 Hz et fmax =20 kHz) pour que les modes soient tous

r´esonants quelque soit la force de couplage.

5.2 Cas de deux oscillateurs coupl´es

Dans cette section on consid`ere le cas de deux oscillateurs (K23 = 0). L’excitation porte uniquement sur l’oscillateur 1

(S2 =0).

L’expression de la constante de proportionnalité η12ωcest donnée par l’Eq. (2) et est notée βS EA. Le ratio de la puissance

transmise et de la différence des énergies vibratoires est calculé d’après les Eq. (7) et (9) et est noté β12,REF = P12/(E1− E2)

β23,REF = P23/(E2− E3). Les taux d’amortissement sont fix´es `a η1= η2=0.3%.

Figure 2 – Deux oscillateurs : ´Evolution de βREFet βS EAen fonction du taux de couplage K12/Kmax. η1= η2=0.3%.

La Figure 2 montre l’´evolution de βS EAet βREFen fonction du taux de couplage K12/Kmax. Les deux courbes se superposent

pour chaque valeur de couplage. La CPP est ainsi toujours v´erifi´ee pour deux oscillateurs quelle que soit la force de couplage.

5.3 Cas de trois oscillateurs

La Figure 3 pr´esente l’´evolution des facteurs β pour le cas de trois oscillateurs en fonction du taux de couplage. Les βi j,REF

sont à nouveau calculés avec les Eq. (7) et (9) et sont comparés avec les facteurs βi j,S EA(Eq. (2)). Les indices i et j précisent

les oscillateurs concern´es. L’excitation est maintenue sur l’oscillateur 1 uniquement (S2= S3=0). La bande de fr´equence reste

large ( fmin=0 Hz, fmax=20 kHz) pour contenir tous les modes r´esonants.

Contrairement aux résultats trouvés avec deux oscillateurs (Figure 2), la Figure 3 met en évidence deux comportements différents (cf. ligne de séparation grise) :

• pour des couplages faibles (Ki j <<ki), les βi j,REFsont ´egaux aux βi j,S EAen particulier jusqu’`a des valeurs de couplage de

l’ordre de 10−3% de Kmax.

• pour des valeurs de couplage plus importantes (≥ 10−3_{% de K}

max) on observe que les valeurs des βi j,REF et des βi j,S EA

diff`erent traduisant ainsi que la CPP n’est plus valide.

Ces r´esultats sont en accord avec les observations de Woodhouse [19].

A présent on utilise la méthode des puissances injectées (Figure 4) : les facteurs de perte par amortissement (DLF) et par couplage (CLF) ont été estimés sur la base du calcul de référence (Eq. (7) et (10)) tout en faisant varier les couplages Ki j. Les

oscillateurs sont excités un à un avec une densité spectrale de puissance Si = 1. La bande de fréquence reste large ( fmin =

0 Hz ; fmax =20 kHz). Le tableau 2 pr´ecise les valeurs de chaque terme du vecteur η (cf. section 4) pour diff´erentes valeurs de

(6)

Figure 3 – Cas de trois oscillateurs coupl´es : ´Evolution de βi j,REFet βi j,S EAen fonction des taux de couplage

K12/Kmax=K23/Kmax; η1= η2= η3=0.3%.

Figure 4 – Mise en ´evidence de l’apparition des CLFi en fonction du taux de couplage Ki j/Kmax(η1= η2= η3=0.3%).

Ki j/Kmax(%) 1E-7 1E-4 0.1 10

η1 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 η12 1.11e-13 1.12e-07 0.0058 -0.09 η13 -6.69e-26 -6.78e-14 0.014 3.25 η21 1.11e-13 1.12e-07 0.0059 -0.09 η2 0.0031 0.0031 0.0032 0.0032 η23 7.14e-15 7.15e-09 0.0067 0.098 η31 -6.69e-26 -6.78e-14 0.014 3.25 η32 7.14e-15 7.15e-09 0.0067 0.099 η3 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035

Table 2 – Facteurs de perte par amortissement et par couplage (direct et indirect) estimés par la méthode des puissances injectées.

Tout d’abord on observe que la relation de réciprocité est vérifiée quelles que soient les valeurs de couplage. En effet, η12 = η21; η23 = η32; η13 = η31. Par ailleurs on constate que les valeurs estimées des DLF sont en accord avec les valeurs

prescrites (de l’ordre de 0.3%).

Pour des valeurs de couplage faible les CLFi sont faibles compar´es aux CLF (ηik << ηi j << ηi) si bien qu’ils peuvent ˆetre

négligés. Dans ce cas la matrice des CLF est similaire à une matrice de CLF utilisée avec la SEA traditionnelle. A l’inverse, pour des valeurs de couplage fort (au dessus 0.01% de Kmax), les CLFi sont dominants. Ils ne peuvent plus être négligés. Le cas

pr´esent est un cas o`u la SEA traditionnelle ne peut fonctionner.

5.4 Influence d’un mode non-r´esonant

(7)

calculé par la différence f2− fmin. Trois cas d’étude sont possibles :

• Le cas non-r´esonant basses fr´equences f26 fmin

• Le cas r´esonant f2∈ [ fmin; fmax] (zone gris´ee des Fig. 5 et 6)

• Le cas non-r´esonant hautes fr´equences f2> fmax.

La Figure 5 illustre par un dessin le principe de la simulation.

Figure 5 – Représentation des fréquences de résonance de chaque oscillateur. La fréquence de résonance de l’oscillateur 2 varie.

La Figure 6 présente les résultats des facteurs de perte par amortissement et par couplage pour les différents cas d’étude. La bande de fréquence d’excitation est une octave définie par la fréquence centrale fc = 250Hz. Les facteurs de perte par

amortissement sont paramétrés pour les trois oscillateurs (voir Tableau 3). Le pic de résonance de l’oscillateur 2 est à l’intérieur de la bande de fréquence pour des valeurs de f2− fmincomprises entre 0 et 177Hz (zone grisée de la Fig. 6).

Type Osc. 1 Osc. 2 Osc. 3 Masse mi(kg) 0.0039 variable 0.0036

Raideur ki(N/m) 9e3 9e3 9e3

Table 3 – Caract´eristiques des oscillateurs

Figure 6 – ´Evolution des facteurs de perte par amortissement (DLF : ηi), par couplage direct (CLF : ηi j), par couplage indirect

(CLFi : ηik) avec la méthode des puissances injectées. Bande de fréquence d’excitation : [176 Hz; 353 Hz], couplage faible

(K12 = K23=10−5%), faible amortissement (0.03 %)

Dans un premier temps on observe que les DLF des oscillateurs 1 et 3 (η1et η3) sont correctement estim´es. η2 ´evolue avec

la fréquence de résonance f2, les valeurs estimées et paramétrées sont en accord dès que le pic de résonance est effectivement

dans la bande de fréquence. Pour les deux situations où le pic est en dehors de la bande de fréquence, le facteur de perte par amortissement est soit sous-estimé soit surestimé.

Dans un deuxième temps on constate que la relation de cohérence n’est validée pour les facteurs de perte par couplage direct (CLF) que lorsque le pic de résonance est contenu dans la bande de fréquence d’excitation. En effet pour les cas non-résonants basses fréquences et hautes fréquences la relation de réciprocité est invalide (η21 = η23et η12 = η32). A l’inverse elle est valide

(8)

Dans un troisième temps on trace les facteurs de perte par couplage indirects (CLFi). Ils peuvent prendre des valeurs négatives, aussi pour pouvoir les comparer aux DLF et aux CLF on prend leur valeur absolue. On observe que pour les différentes valeurs de f2 − fminles CLFi restent 102 inférieurs aux CLF (ηi j >> ηik) et 106 inférieurs aux DLF (ηi >> ηik). Ainsi dans les trois

situations, il n’y a pas d’apparition significative des CLFi.

6 Conclusion

Il a été montré que la relation fondamentale de la SEA, la ”coupling power proportionality” est valide pour toutes les forces de couplage, sous réserve que le système ne soit limité qu’à deux sous-systèmes et que la bande de fréquence d’excitation contienne toutes les fréquences de résonance (tous les modes résonants). Pour plus de deux sous-systèmes, la CPP est vérifiée tant que les couplages restent faibles (Ki j<<kiest une condition favorable) et tous les modes résonants. Néanmoins, la valeur classique de

la CPP (β selon l’Eq. (1)) n’est plus vérifiée pour des couplages forts. La raison est l’apparition de facteurs de perte par couplage indirect. La relation de réciprocité reste néanmoins valide pour toutes les forces de couplage.

Dans le cas spécifique de trois oscillateurs, et pour une situation de couplage faible, on ne constate pas de dominance des facteurs de perte par couplage indirect (CLFi). Un mode non-résonant (mode en dehors de la bande de fréquence d’excitation) conduit à une invalidité de la relation de cohérence (ηi j , ηji). Il serait judicieux d’étudier le cas de structures a plus forte

densité modale pour pouvoir retrouver certains résultats de la littérature (notamment l’apparition de facteur de perte par couplage indirect).

Finalement, dans le cas d’oscillateurs mécaniques, le non-respect des hypothèses de la SEA provoque un défaut dans la matrice des facteurs de perte par couplage : la SEA classique ne peut plus être appliquée. En faisant l’étude inverse (méthode des puissances injectées) on observe que le système SEA traditionnel n’est plus rigoureusement respecté (”proper-SEA”) mais devient un système qui tente de s’en approcher (”SEA-like”).

Remerciements

Ce travail est financ´e par le Labex CeLyA de l’universit´e de Lyon, soutenu par le CNRS (ANR-10-LABX-0060/ ANR-11-IDEX-0007).

R´ef´erences

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