Méthodes d’éléments finis pour les interactions
fluide-structure
Thèse
Aymen Jendoubi
Doctorat en génie mécanique
Philosophiæ doctor (Ph.D.)
Québec, Canada
Résumé
Cette thèse concerne la modélisation des interactions fluide-structure et les méthodes numé-riques qui s’y rattachent. De ce fait, la thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne l’étude des interactions fluide-structure par la méthode des domaines fictifs. Dans cette contribution, le fluide est incompressible et laminaire et la structure est considérée rigide, qu’elle soit immobile ou en mouvement. Les outils que nous avons développés comportent la mise en oeuvre d’un algorithme fiable de résolution qui intégrera les deux domaines (fluide et solide) dans une formulation mixte. L’algorithme est basé sur des techniques de raffinement local adaptatif des maillages utilisés permettant de mieux séparer les éléments du milieu fluide de ceux du solide que ce soit en 2D ou en 3D. La seconde partie est l’étude des interactions mécaniques entre une structure flexible et un fluide incompressible. Dans cette contribution, nous proposons et analysons des méthodes numériques partitionnées pour la simulation de phénomènes d’interaction fluide-structure (IFS). Nous avons adopté à cet effet, la méthode dite «arbitrary Lagrangian-Eulerian» (ALE). La résolution fluide est effectuée itérativement à l’aide d’un schéma de type projection et la structure est modélisée par des modèles hyper élastiques en grandes déformations. Nous avons développé de nouvelles méthodes de mouve-ment de maillages pour aboutir à de grandes déformations de la structure. Enfin, une stratégie de complexification du problème d’IFS a été définie. La modélisation de la turbulence et des écoulements à surfaces libres ont été introduites et couplées à la résolution des équations de Navier-Stokes. Différentes simulations numériques sont présentées pour illustrer l’efficacité et la robustesse de l’algorithme. Les résultats numériques présentés attestent de la validité et l’efficacité des méthodes numériques développées.
Abstract
This thesis is concerned with the modeling of fluid-structure interactions (FSI) and the cor-responding specific numerical methods. The thesis is divided into two principal parts. The first part concerns the study of fluid-structure interactions using the fictitious domain method. In this contribution, the fluid is incompressible and laminar and the structure is considered rigid, whether stationary or moving. The tools we have developed include the implementa-tion of a reliable resoluimplementa-tion algorithm that incorporates both domains (fluid and solid) in a common mixed formulation. The algorithm is based on adaptive local mesh refinement tech-niques used to distinguish the elements in the fluid from those of the solid either in 2D or 3D. The second part is the study of the mechanical interactions between a flexible structure and an incompressible fluid. In this context, we propose and analyze partitioned numerical methods for simulating fluid-structure interaction phenomena (FSI). We adopt an "arbitrary Lagrangian-Eulerian" (ALE) formulation for this purpose. The fluid resolution is performed iteratively by means of a projection scheme and the structure is modeled by hyperelastic mod-els in large deformations. We have introduced new mesh update methods to achieve large deformation of the structure. Finally, a more complex strategy for FSI problem is proposed. The turbulence and two-phase flows modelling are introduced and coupled to the resolution of the Navier-Stokes equations for studying FSI problems. The numerical results presented attest the validity and effiency of the proposed numerical methods developed.
Table des matières
Résumé iii
Abstract v
Table des matières vii
Liste des tableaux ix
Liste des figures xi
Remerciements xiii
Introduction 1
1 Modèles fondamentaux et méthodes numériques 7
1.1 Équations fluides et méthodes de résolution . . . 7
1.2 Modèles utilisés pour le solide . . . 20
2 Méthode des domaines fictifs pour des écoulements de fluide autour des structures rigides 27 2.1 Présentation de la méthode des domaines fictifs dans la littérature . . . 27
2.2 Méthode de découpage du maillage . . . 31
2.3 Résultats numériques. . . 37
2.4 Conclusion . . . 56
3 Interaction fluide-structure : approche ALE 57 3.1 Revue de la littérature : méthodes monolithique et partitionnée . . . 58
3.2 Approche ALE et couplage fluide-structure . . . 61
3.3 Problème fluide-structure couplé . . . 64
3.4 Formulation variationnelle du problème couplé . . . 66
3.5 Méthodes de relèvements. . . 69
3.6 Algorithme d’IFS . . . 90
3.7 Résultats numériques. . . 93
4 Comparaison des deux approches (domaine fictif et ALE) 115 4.1 Écoulement autour d’un cylindre rigide oscillant horizontalement . . . 115
4.2 Écoulement autour d’un profil oscillant . . . 120
5 Couplage multiphysique 123
5.1 Modélisation de la turbulence . . . 123
5.2 Modélisation des écoulements diphasiques . . . 133
5.3 Algorithme d’IFS turbulent . . . 141
5.4 Algorithme d’IFS turbulent à surface libre . . . 144
5.5 Interaction entre un fluide et une structure en rotation avec surface libre . . 147
Conclusion 157
Liste des tableaux
2.1 Coefficients de traînée pour les maillages grossiers et (rafinés) . . . 39
2.2 Écoulement autour d’un cylindre : comparaison des résultats numériques . . . . 44
2.3 Comparaison des résultats numériques . . . 47
3.1 Cas #1 : Qualité moyenne des éléments du maillage. Hext, Eext, Kext et Pext
présente respectivement les relèvements harmonique, élastique, krigeage et
pa-rabolique . . . 79
3.2 Cas #1 : Distribution de la qualité des éléments pour d = 0.18, 0.46 et 1.00. Le
nombre d’éléments retournés est indiqué entre parenthèses. . . 80
3.3 Cas #2 : Qualité moyenne des éléments du maillage. . . 82
3.4 Cas #2 : Distribution de la qualité d’éléments pour θ = 9°, 30°, 60°et 75°(d = 0.12, 0.40, 0.80 et 1.0 resp.). Le nombre d’éléments retournés est indiqué entre
parenthèses. . . 83
3.5 Cas #3 : Qualité moyenne des éléments du maillage. . . 86
3.6 Cas #3 : Distribution de la qualité des éléments pour d = 0.2, 0.4 et 1.0 . Le
nombre d’éléments retournés est indiqué entre parenthèses. . . 86
3.7 Cas #4 : Qualité moyenne des éléments du maillage. . . 88
3.8 Cas #4 : Distribution de la qualité des éléments pour d = 0.125, 0.50 et 1.0. Le
nombre d’éléments retournés est indiqué entre parenthèses. . . 89
3.9 Cas #4 : Temps de calcul pour une itération. Tous les calculs ont été exécutés
sur un processeur Intel 64 bits de 3GHz typique . . . 89
4.1 Comparaison : coefficients de traînée et de portance pour les maillages grossiers
Liste des figures
1.1 Élément de Taylor-Hood P2− P1(O(h2))en 2D et 3D. . . 15
2.1 Agrandissement du maillage autour d’un profil NACA. . . 32
2.2 Maillage avec ajout de noeuds. . . 32
2.3 Maillage obtenu après découpage. . . 32
2.4 Retournement d’arêtes en 2D . . . 35
2.5 Retournement d’arêtes en 3D : Ne (à gauche) et maillage triangulaire (à droite) 35 2.6 Éléments autour d’un cercle avant et après retournement d’arêtes . . . 35
2.7 Écoulement autour d’une sphère . . . 38
2.8 Conditions aux limites pour l’étude de l’écoulement autour d’un cylindre. . . . 40
2.9 Zoom autour de l’obstacle (maillage considéré de 12 704 éléments). . . 41
2.10 Vitesse Ux autour du cylindre (Re = 100). . . 42
2.11 Vecteurs vitesse et allée de von Karman (Re = 100). . . 42
2.12 Comportement de la composante Uy en un point derrière le cylindre. . . 43
2.13 Écoulement autour d’un cylindre . . . 43
2.14 Quadrifolium ou trèfle à quatre feuilles . . . 45
2.15 Écoulement autour d’un quadrifolium en rotation. . . 47
2.16 Maillages de l’hélice pour la méthode BF (à gauche) et la méthode IB (à droite) 48 2.17 Vitesses longitudinales au long de l’axe x1 : comparaison entre les méthodes BF et IB . . . 48
2.18 Pression au long de l’axe x1 : comparaison entre les méthodes BF et IB . . . . 49
2.19 Vitesses transversales entre a1 et a2 : comparaison entre les méthodes BF et IB 49 2.20 Domaine de définition pour la modélisation de l’écoulement autour d’un profil oscillant . . . 50
2.21 Mouvement 2D du profil oscillant . . . 51
2.22 Maillage initial pour l’écoulement autour du profil oscillant . . . 52
2.23 Évolution du coefficient de portance CLpour une période . . . 53
2.24 Isolignes de la composante u1 de la vitesse . . . 54
2.25 Écoulement autour de deux hélices contrarotatives . . . 55
2.26 Isolignes de u1 dans le plan x2 = 0 . . . 55
2.27 Vitesses transversales entre a1 et a2 . . . 55
3.1 Approche partitionnée . . . 60
3.2 Configurations types du problème d’IFS . . . 64
3.3 Translation horizontale imposée à une tige élastique, déplacement maximal de la tige (à droite). . . 78
3.5 Cas #1 : Maillages obtenus pour les différentes méthodes (d = 1.0) : à gauche
une vue rapprochée, à droite un agrandissement de l’extrémité de la barre . . . 81
3.6 Cas #2 : Géométrie du problème.. . . 82
3.7 Cas #2 : Maillage initial et vue détaillée du profil d’aile. . . 82
3.8 Cas #2 : Maillages obtenus pour les différentes méthodes (θ = 60°). Au milieu et à droite, une vue rapprochée des extrémités du profil. . . 84
3.9 Mouvement rigide d’une sphère : géométrie considérée . . . 85
3.10 Cas #4 : Géometrie et conditions aux limites. . . 87
3.11 Cas #4 : Différents angles de vision du déplacement imposé à la structure pour d = 1.0. . . 88
3.12 Géométrie du problème de Turek et Hron (2006) . . . 94
3.13 Maillage du fluide . . . 95
3.14 Maillage de la structure . . . 95
3.15 Champ de vitesses dans le cas test FSI2 . . . 96
3.16 Champ de vitesses dans le cas test FSI3 . . . 96
3.17 FSI 2 : déplacements en X et en Y du point A. . . 97
3.18 FSI 3 : déplacements en X et en Y du point A. . . 98
3.19 Représentation schématique du cas test des ondes de pression . . . 98
3.20 Maillages fluide et structure non conformes . . . 99
3.21 Propagation de l’onde de pression. . . 100
3.22 Géométrie et conditions aux limites. . . 101
3.23 Maillages : domaine fluide (gauche) et domaine solide (droite) . . . 102
3.24 Drapeau déformé avec lignes de courant du fluide pour 3 pas de temps différents 103 3.25 Déplacement horizontal du point A . . . 104
3.26 Problème du pain de gomme : géométrie et conditions aux limites. . . 105
3.27 Géométrie et maillage de peau du pain gomme . . . 105
3.28 Géométrie et maillage de peau du domaine fluide . . . 106
3.29 Déformée du pain de gomme . . . 107
3.30 Champ de vitesse obtenu dans un plan perpendiculaire au pain de gomme . . . 107
3.31 Vecteurs vitesse présentés dans une coupe transversale du domaine fluide. . . . 109
3.32 Répartition de CP sur la ligne centrale d’une roue en rotation, d’après Fackrell et Harvey (1972) et Mears et al. (2002). . . 110
3.33 Phénomènes caractéristiques de la roue en rotation, d’après Fackrell et Harvey (1972) . . . 111
3.34 Géométrie du pneu considéré (fournie par Michelin) . . . 112
3.35 Vecteurs vitesse (eau et air) présentés autour du pneu . . . 113
3.36 Vecteurs vitesse (eau seulement) présentés autour du pneu . . . 113
3.37 Pression autour du pneu . . . 114
4.1 Différentes positions occupées par le cylindre pour t = 0, t = T 4 et t = T 2 . . . . 118
4.2 Composante Uy en un point quelconque en arrière du cylindre. . . 119
4.3 Différentes positions occupées par le profil d’aile pour t = 0, t =T 4 et t = T 2. . . 120
4.4 Évolution du coefficient de portance CLpour une période . . . 121
5.1 Cascade d’énergie idéalisée des échelles de la turbulence (tirée de Lemay (2011)) 124 5.2 Couche limite en cisaillement : les solutions manufacturées . . . 132
5.3 Géométrie et conditions aux limites pour l’écoulement dans un jet. . . 137
5.5 Jet en 2D : Maillage adapté . . . 138
5.6 Jet en 2D : solution finale . . . 138
5.7 Jet en 3D : conditions aux limites considérées . . . 139
5.8 Jet en 3D : évolution de l’interface . . . 140
5.9 Jet en 3D : Maillage adapté . . . 141
5.10 Jet en 3D : solution finale . . . 142
5.11 Champs de vitesses . . . 145
5.12 Structure flexible déformée avec lignes de courant du fluide pour 4 pas de temps différents . . . 148
5.13 Aire de contact entre un pneumatique et la chaussée en présence d’eau (tiré de Michelin (2001)). . . 149
5.14 Transfert des données entre les codes fluide et solide. . . 150
5.15 Géométrie du domaine fluide. . . 151
5.16 Coupe verticale dans le maillage fluide.. . . 152
5.17 Vecteurs vitesse du fluide . . . 152
5.18 Vecteurs vitesse du fluide selon une coupe longitudinale . . . 153
5.19 Courbe de vitesse suivant une ligne de coupe dans le fluide (eau). . . 154
5.20 Coupe de la pression sur la structure . . . 155
5.21 Coupe longitudinale (y = 0) . . . 156
Remerciements
Tout d’abord, je tiens à remercier mon directeur de recherche, le professeur André Fortin pour son soutien qu’il m’a offert tout au long de mes études graduées ainsi que sa disponibilité et ses précieux conseils.
Je tiens également à remercier mon co-directeur, professeur Jean Deteix pour sa grande pa-tience et son bon encadrement.
Je tiens aussi à remercier monsieur Patrice Hauret pour son immense encouragement à pour-suivre mes études. J’en profite pour remercier la société MICHELIN et le CRSNG pour le support financier dans le cadre de la chaire de recherche en calcul scientifique de haute per-formance.
Mes remerciements vont aussi à toute ma famille : à mes frères et à ma soeur qui m’ont toujours soutenu et accompagné tout au long de mes études. Une mention spéciale à ma femme Ons et mon fils Adam pour leur amour, soutien et encouragements. Un merci spécial aussi à mon père qui m’a donné un appui soutenu depuis le tout début.
Je ne voudrais surtout pas oublier, toute l’équipe du GIREF qui m’ont été d’un grand soutien. Je tiens à remercier tous les gens qui de près ou de loin m’ont aidé à écrire cette thèse.
Introduction
L’interaction fluide-structure (IFS) s’intéresse au comportement d’un système constitué par deux entités mécaniques considérées comme distinctes : une structure mobile (rigide ou dé-formable) et un fluide (en écoulement ou au repos) autour ou à l’intérieur de la structure. L’évolution des deux entités dépendant l’une de l’autre, un phénomène de couplage appa-raît. Plus précisément, le mouvement de la structure est influencé par l’écoulement du fluide à travers les efforts transmis à l’interface, et, réciproquement, le mouvement de la structure influence l’écoulement du fluide par les déplacements de l’interface qui entraîne le fluide dans son mouvement.
Les phénomènes d’interaction fluide-structure font partie de la vaste classe des problèmes multi-physiques. Un grand nombre de situations font apparaître à ces phénomènes. Différents régimes peuvent être distingués. Les applications en bio-mécanique font, en général, intervenir un liquide et une structure déformable de masses volumiques proches : écoulements sanguins dans les vaisseaux, déformation des globules rouges dans les capillaires, mais aussi la nage des poissons. Dans le domaine du génie nucléaire, l’usure d’un faisceau tubulaire d’un échangeur de chaleur, par instabilité sous écoulement, peut prendre à peine quelques secondes ; cet effet de couplage est pris en compte de façon primordiale pour des raisons de sûreté des installations de production d’énergie. La compréhension des effets de vibrations induites par écoulement a initié de nombreuses campagnes expérimentales et justifie aujourd’hui le développement de méthodes de calcul numérique en couplage fluide-structure. Dans le domaine du génie civil, on cite fréquemment l’exemple de destruction du pont de Tacoma dont la compréhension a donné lieu à une littérature scientifique abondante et qui illustre l’importance des effets d’interaction fluide-structure. Dans le génie naval, l’exemple de l’impact hydrodynamique est l’un des effets de couplage fluide-structure des plus parlants : il se pose pour des navires naviguant à grande vitesse et dans des conditions de mer difficiles. Dans le domaine des pneumatiques, l’interaction fluide-structure se manifeste dans l’étude du phénomène d’aquaplanage. L’aquaplanage est un phénomène résultant de la perte de contact entre un pneu et la route lorsque le véhicule se déplace à une certaine vitesse sur une route mouillée. C’est un problème important pour les manufacturiers de pneus. Pour une vitesse donnée, l’interaction entre la flaque d’eau sur la route et le pneu génère une pression importante à la surface du pneu dans la région de contact entre le pneu et la réserve d’eau. Lorsque l’effort vertical généré par cette pression devient
supérieur au poids du véhicule, le contact entre ce véhicule et la route n’est plus maintenu et l’aquaplanage se produit : l’adhérence entre le véhicule et la chaussée est perdue et la trajectoire du véhicule n’est plus contrôlée. Ainsi, l’aquaplanage est responsable de la perte de contrôle du véhicule. Ayant pour but d’augmenter la sécurité des usagers de la route, la simulation numérique de l’interaction d’un pneu avec un liquide est un domaine de recherche actif dans la dernière décennie. Il s’avère alors primordial d’établir les bases d’une modélisation fine de l’interaction fluide-structure pour un pneu et de proposer de nombreux schémas numériques à cet effet. Les principales difficultés de ce problème sont d’une part, le couplage entre la structure et le fluide à l’interface ; d’autre part, la génération du maillage puisque la structure est mobile, la gestion du temps de calcul et de la mémoire, etc. Toutefois, les comportements non linéaires des fluides et des solides complexes soumis à de grands déplacements ainsi que la déformation des interfaces induisent de nombreuses difficultés à surmonter, la résolution analytique de tels problèmes étant impossible. En régime stationnaire, ces phénomènes d’IFS sont étudiés depuis quelques années déjà mais restent d’une grande complexité et requièrent d’importantes ressources informatiques. En régime instationnaire, les temps de calculs sont démultipliés de sorte que ces phénomènes sont extrêmement complexes à modéliser et leur compréhension reste encore délicate.
De nombreuses méthodes précises et robustes ont été développées au cours des dernières dé-cennies afin de résoudre l’écoulement du fluide, d’une part, et la déformation de la structure, d’autre part. Avec le développement de la puissance des calculateurs, la simulation numérique du couplage de ces méthodes devient accessible. Cependant, il faut que ce couplage ne dégrade pas la qualité des résultats engendrés par les méthodes dédiées aux fluides et aux solides. En particulier, la simulation numérique se doit d’être stable pour obtenir un résultat de façon assurée. Le fait que les méthodes dédiées aux fluides et aux solides prises séparément soient stables n’assure en aucun cas la stabilité du système couplé. Par ailleurs, il faut assurer que la méthode numérique obtenue est consistante avec les équations résolues afin que le résul-tat numérique soit «proche», en un certain sens, de la solution physique du problème. On est alors confronté aux problématiques suivantes : assurer la conservation de l’énergie lors de la transmission des données entre les codes (fluide et solide) et gérer l’interface mobile où s’échangent les données et où se crée le couplage. En théorie, on suppose que l’on a une continuité des contraintes et des vitesses à l’interface entre le fluide et la structure. Ces condi-tions sont très largement utilisées dans les différents modèles d’interaction. La difficulté est de trouver une formulation adaptée pour la résolution des équations fluide-structure qui tient compte des parois mobiles et permet de simuler des écoulements fortement convectifs. Deux types d’approches peuvent être envisagées : une résolution explicite ou une résolution impli-cite. La résolution explicite découplée consiste, en général, à résoudre le problème fluide sur un domaine fixe, puis à intégrer une seule fois les efforts du fluide sur la structure pour en déduire le déplacement. Cette approche ne donnera un résultat raisonnable que dans le cas où le mouvement de la structure est extrêmement lent par rapport au temps caractéristique de
l’évolution du fluide. Cette approche est instable si le fluide est incompressible. Au contraire, nous souhaitons étudier des problèmes où la dynamique de la structure est comparable à celle du fluide. Dans ce cas, une approche totalement implicite permettant une résolution complète du système est utilisée.
Une difficulté majeure tient au fait que le domaine de résolution du fluide varie en fonction du temps suivant le déplacement du solide avec, dans les cas qui nous intéressent, de grandes déformations de ce domaine. Trois principaux types d’approches sont envisageables pour traiter la déformation du domaine fluide : une approche multiphasique, une approche avec déformation de maillage ou une approche par domaine fictif. L’approche multiphasique (lagrangienne ou eulérienne) serait limitée au cas où le solide et le fluide seraient décrits par les mêmes équations avec des paramètres physiques variables affectés à chaque phase et advectés au cours du mouvement de l’interface. En général, les méthodes eulériennes (le domaine de calcul est fixe et ne suit pas le matériau) sont préférées pour le calcul de l’écoulement fluide, afin d’éviter de trop grandes distorsions des mailles de calcul. Au contraire, le solide est plutôt simulé avec des méthodes lagrangiennes (le domaine se déforme en suivant le déplacement matériel), qui permettent de suivre les discontinuités matérielles avec précision. Les approches de déformation de maillage permettent d’assurer une transition lisse entre ces deux types de modélisation. L’exemple typique d’une telle approche est la méthode «Arbitrary Lagrangian – Eulerian» (ALE) : le domaine fluide est déformé de façon à suivre l’interface fluide-solide. Le couplage de ces différentes formulations rend l’étude de ces systèmes complexes, tant d’un point de vue numérique que mathématique. La déformation du maillage induit des termes additionnels dans la résolution des équations du fluide. Cependant, des difficultés apparaissent lorsque le déplacement de la structure est trop important : le domaine fluide se déforme fortement ce qui nécessite l’introduction de nouvelles méthodes de mise à jour du maillage fluide (voir chapitre 3). La troisième approche est la méthode des domaines fictifs. Cette méthode a été développée pour traiter les cas des interactions entre un fluide incompressible et une structure rigide (voir chapitre 2).
Dans le cadre de cette thèse, pour traiter le cas des structures flexibles, on a fait le choix d’une formulation ALE pour le fluide. Cette formulation permet de gérer des maillages mobiles avec des déplacements d’amplitude modérée et/ou importante, c.à-d. qu’elle permet de résoudre les équations du problème fluide dans un domaine mobile s’adaptant aux déformations de la structure. Nous avons utilisé une formulation lagrangienne pour la structure, où la simulation numérique est basée sur la méthode des éléments finis. Le couplage entre les codes fluide et structure se fait de la façon suivante : pour un pas de temps fixé et dans une grande boucle de point fixe, on calcule dans un premier temps, les chargements fluides exercés sur la structure. Ensuite, ce chargement est utilisé pour le calcul mécanique et on en déduit le déplacement de la structure utilisée comme condition limite du calcul fluide à l’itération suivante du même point fixe. On itère entre les deux solveurs fluide et solide jusqu’à convergence du point fixe
et ensuite on passera au prochain pas de temps. Nous notons la présence d’un mécanisme de mouvement de maillage fluide à chaque itération du point fixe.
Ainsi, les objectifs de la thèse se résument en :
— le développement d’une méthode de domaine fictif avec des conditions aux limites pré-cises pour le cas des structures rigides.
— le développement d’un algorithme de couplage fluide structure en adoptant la méthode ALE.
— le perfectionnement d’une méthode de déformation du maillage par le développement de la méthode de relèvement parabolique.
— le développement d’un couplage multiphysique pour la résolution de problèmes indus-triels de grande envergure en interaction fluide-structure (phénomène d’aquaplanage). La structure de cette thèse est la suivante.
Dans le premier chapitre, nous présenterons les modèles fondamentaux et les méthodes numé-riques développées pour la simulation des écoulements fluides, dans un premier temps, et des équations d’élasticité linéaire, dans un second temps.
Dans le deuxième chapitre, nous présenterons le schéma numérique de couplage entre un solide rigide indéformable et un fluide incompressible. Ce chapitre est consacré à l’étude de l’interaction fluide-structure par la méthode des domaines fictifs que nous avons développée. Des tests de vérification numérique de la méthode proposée sont effectués et discutés. Ils concernent des «Benchmark» habituellement utilisés en «Computational Fluid Dynamics» CFD dans le cas des écoulements laminaires.
Dans le troisième chapitre, le schéma de couplage est étendu au cas d’un solide déformable. Ce chapitre contient des discussions sur les formulations numériques des interactions fluide-structure (monolitique vs partitionnée). Après une introduction des différentes méthodes de couplage fluide-structure, nous présenterons en détail la méthode ALE. Un algorithme de couplage est alors mis au point pour la mise en oeuvre de cette interaction fluide-structure. Cet algorithme, basé sur un schéma implicite, permet le transfert de champs de façon interactive. Nous avons détaillé les techniques de couplage utilisées dans les présentes études, l’algorithme de couplage et aussi des exemples tests. Ces exemples tests concernent les écoulements de fluide dans des conduites en présence d’obstacles. Les obstacles sont considérés comme solides déformables. Notre approche a été testée et se compare avantageusement aux résultats de la littérature sur plusieurs problèmes tests.
Au chapitre 4, nous présenterons une comparaison de la méthode des domaines fictifs avec l’approche ALE dans le cadre des obstacles rigides. Les tests de vérification permettant d’ap-précier la performance et la fiabilité des deux méthodes y seront également présentés.
Au chapitre 5, une stratégie de complexification du problème d’IFS a été définie. La modélisa-tion de la turbulence et des écoulements à surfaces libres ont été introduites. Nous avons fixé notre choix de modèle en considérant les équations de Navier-Stokes moyennées basées sur le modèle URANS (Unsteady Reynolds Averaged Navier Stokes). En présence d’une surface libre, nous avons introduit la méthode des surfaces de niveau très largement utilisée pour ce type de problème. Ainsi, nous présenterons plusieurs algorithmes de couplage multi-physique et nous montrons la robustesse des méthodes de couplage développées sur des résultats numériques présentant un intérêt pour les applications industrielles futures visées.
Une synthèse des différents résultats et discussions obtenus dans cette thèse sera donnée dans la conclusion.
Chapitre 1
Modèles fondamentaux et méthodes
numériques
Nous présenterons, dans ce chapitre, les équations écrites du point de vue de la mécanique des milieux continus et utilisées dans les cas d’un fluide et d’un solide. Les formulations faibles associées à ces équations seront construites. Nous allons utiliser la formulation eulérienne au niveau du fluide. Cette approche est l’une des plus couramment utilisées en mécanique des fluides que ce soit en éléments finis, en différences finies ou en volumes finis. Elle permet d’ob-tenir des solutions numériques pour des maillages fixes dans l’espace. Néanmoins, le domaine solide est décrit généralement dans un cadre lagrangien où l’on suit une particule dans son mouvement et on regarde sa position à un instant quelconque. La particule est identifiée par sa position initiale et non pas par sa vitesse.
Ce chapitre est articulé autour de deux grandes parties. La première partie est une présentation des équations fluides et des méthodes de résolution par la méthode des éléments finis, adoptées dans cette thèse. La deuxième partie sera consacrée à la présentation des équations pour le solide et des méthodes de résolution qui s’y rattachent. Notons que le couplage entre ces équations sera effectué au chapitre 3.
1.1
Équations fluides et méthodes de résolution
En général, pour résoudre les problèmes d’ingénierie spécifiquement en mécanique des fluides, nous construisons des modèles mathématiques pour représenter des phénomènes physiques. Dans plusieurs cas, ces modèles sont constitués d’équations différentielles avec un ensemble de conditions initiales ou de conditions aux limites. Les équations différentielles sont développées en appliquant des lois fondamentales de conservation d’énergie, de quantité de mouvement et de masse à un système ou à un volume de contrôle.
a été introduite par Euler au 17ième siècle puis complétée par Navier et Stokes au 18ième siècle,
notamment par la prise en compte de la viscosité. Les équations régissant ce type d’écoulement portent le nom d’équations de Navier–Stokes. Ces équations sont à la base de la mécanique des fluides incompressibles et proviennent des ingrédients suivants :
— les axiomes de la mécanique : conservation de la masse et de la quantité de mouvement, — la contrainte d’incompressibilité,
— la loi de comportement rhéologique des fluides newtoniens.
Les axiomes de la mécanique stipulent que la masse de tout volume de particules transportées par le mouvement est constante et que la dérivée temporelle de sa quantité de mouvement est égale à la résultante des forces appliquées.
La contrainte d’incompressibilité dit que l’on peut considérer le volume de tout domaine transporté par l’écoulement comme étant constant. C’est une approximation qui est valide lorsque la vitesse de l’écoulement est petite devant la vitesse du son dans le fluide.
La loi de comportement rhéologique des fluides newtoniens demande plus d’attention et sera décrite à la section suivante.
1.1.1 Loi de comportement
Pour étudier les équations d’évolution d’un fluide particulier, il faut décrire la loi de comporte-ment, c’est-à-dire la relation entre σ et le champ de vitesse u ou plus précisecomporte-ment, entre σ et le tenseur taux de déformation ˙γ(u). On peut établir cette relation à partir des observations expérimentales effectuées en mécanique des fluides. En effet, le taux de déformation ˙γ(u) est défini par : ˙ = ∂u1 ∂x 1 2( ∂u1 ∂y + ∂u2 ∂x ) 1 2( ∂u1 ∂z + ∂u3 ∂x ) 1 2( ∂u2 ∂x + ∂u1 ∂y ) ∂u2 ∂y 1 2( ∂u2 ∂z + ∂u3 ∂y ) 1 2( ∂u3 ∂x + ∂u1 ∂z ) 1 2( ∂u3 ∂y + ∂u2 ∂z ) ∂u3 ∂z
On s’intéresse, dans le cadre de cette étude, aux fluides newtoniens dont la loi de comportement est donnée dansTemam et Miranville (2003) :
σ = 2µ ˙γ(u) + λ − 2µ 3 tr ˙γ(u) − p I
où µ est la viscosité du fluide et λ est une constante nommée «la seconde viscosité». Or, puisqu’il s’agit d’un fluide incompressible et que tr( ˙γ(u)) = ∇ · u = 0, nous obtenons la loi de comportement pour les fluides newtoniens comme suit :
Remarque :
La dernière écriture du tenseur de contrainte peut être interprétée comme suit : σ = σD+ σS
avec : σS = −pI est le tenseur sphérique et σD = 2µ ˙γ(u) est le tenseur déviatorique (appelé
aussi partie cisaillement du tenseur de contrainte σ) et noté en général τ .
Le mouvement d’un fluide est gouverné par l’équation de Navier–Stokes qui s’écrivent par : ρ (∂tu + (u · ∇)u) − ∇ · (µ ˙γ(u)) + ∇p = f , (1.1)
Cette équation est valable dans l’ensemble du domaine Ω, occupé par le fluide, et elle doit être complétée par une condition aux limites sur la frontière ∂Ω :
u = uD sur ∂Ω (1.2)
Notons qu’il existe d’autres conditions aux limites qui peuvent être appliquées ; mais pour alléger l’explication sans perte de généralités, nous présentons seulement la condition 1.2. Remarque :
De façon générale, l’équation (1.1) doit être aussi complétée par l’équation locale de conser-vation de la masse. Dans le cas compressible,
∂tρ + ∇ · (ρ u) = 0. (1.3)
Dans ce cas, il faut également, pour fermer le problème, prescrire la relation thermodynamique qui relie la pression p à la masse volumique ρ et possiblement à d’autres paramètres tels que la température, le champ magnétique, etc. Dans cette thèse, notre étude sera consacrée uniquement aux fluides incompressibles. La masse volumique ρ est constante et uniforme. Quant à l’équation locale de conservation de la masse (1.3), elle se simplifie sous la forme :
∇ · u = 0. (1.4)
Dans ce cas, la pression n’est plus connue à travers sa relation p(ρ) (nous sommes dans la limite où cette relation est très raide de sorte que p évolue de façon significative, tandis que ρ peut être considérée comme étant essentiellement constante). On peut voir p comme un multiplicateur de Lagrange associé à la propriété d’incompressibilité (1.4). De ce fait, en appliquant l’opérateur divergence à l’équation (1.1) et en utilisant la condition d’incompressibilité (1.4), on obtient :
∆p = −ρ∇ · (u · ∇ u) + ∇ · f (1.5) Notons au passage que formellement, lorsqu’on applique l’opérateur divergence au Laplacien
∆u, on obtient ∇ · ∆u = ∂ ∂x∆u1 + ∂ ∂y∆u2 + ∂ ∂z ∆u3 = ∂ ∂x ∂2u 1 ∂2x + ∂2u1 ∂2y + ∂2u1 ∂2z + ∂ ∂y ∂2u 2 ∂2x + ∂2u2 ∂2y + ∂2u2 ∂2z (1.6) + ∂ ∂z ∂2u 3 ∂2x + ∂2u3 ∂2y + ∂2u3 ∂2z = ∂ 2 ∂2x + ∂2 ∂2y + ∂2 ∂2z ∇ · u = ∆ (∇ · u) = 0.
On voit donc apparaître un problème central dans la mise en œuvre des méthodes numériques pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles. En effet, l’équation de Pois-son (1.5) sur p est une équation elliptique qui doit être munie de conditions de bord pour que le problème soit bien posé, c.-à-d., pour que la solution soit unique. Cette condition peut être par exemple soit de type Dirichlet ou de type Neumann. Or, on ne sait pas écrire proprement ces conditions, dans ce cas. La pression p n’ayant pas de condition de bord naturelle (physique), les modèles introduisent alors, des conditions aux limites arbitraires pour effectuer ce calcul. Si cela permet de calculer un multiplicateur de Lagrange et de forcer l’incompressibilité dans une certaine mesure, la valeur de la pression reste inévitablement entachée par ces conditions arbitraires.
En principe la condition de bord sur p est définie par l’équation de Navier-Stokes (1.1) elle-même, qui prescrit l’ensemble du gradient de pression ∇p au bord, et il est facile de se convaincre qu’imposer ∇p au bord, sous réserve de régularité suffisante, c’est à la fois im-poser :
• une condition de dérivée tangentielle sur ∂Ω
∇p · τ = [µ ∆u − ρ (∂tu + (u · ∇)u) + f ] · τ , (1.7) où τ est un vecteur tangent à la frontière ∂Ω.
• et une condition de type Neumann sur ∂Ω
∇p · n = [µ ∆u − ρ (∂tu + (u · ∇)u) + f ] · n, (1.8) avec n est la normale au bord ∂Ω.
Ceci signifie que, quand le ∇p est défini sur le bord du domaine Ω, le problème de Poisson (1.5) est muni d’une double condition au bord, alors qu’une seule nous garantit l’existence et l’unicité de la solution. Cela peut être vu comme une propriété des équations de Navier Stokes : les deux problèmes de Poisson (1.5) soit avec la condition de Dirichlet (1.7) soit avec celle de Neumann (1.8) ont la même solution. À l’évidence, il s’agit d’une propriété
des champs de vitesse qui sont la solution des équations de NS. On comprend, dès lors, que les algorithmes garantissent mal que le champ de vitesse reste dans l’espace de ces champs compatibles et qu’il n’est plus possible de contrôler certaines erreurs au bord. Ce phénomène est particulièrement visible lorsqu’on utilise les méthodes de types pas fractionnaires, comme par exemple l’algorithme de projection de Chorin-Temam qui sera décrit plus tard.
En résumé, les équations de Navier–Stokes s’écrivent : ρ ∂u ∂t + u · ∇u
− 2µdiv( ˙γ(u)) + ∇p = f dans Ω
∇ · u = 0 dans Ω
(1.9) où ˙γ(u) = 1
2(∇u + ∇Tu)est le tenseur de taux de déformation.
A ces équations, il faut ajouter les conditions aux limites appropriées suivantes :
σf · nf = t sur ΓfN (1.10)
u = uD sur ΓfD (1.11)
où Γf
N représente une frontière du fluide où des conditions de Neumann s’appliquent sous
forme de forces surfaciques t, et Γf
D correspond à une frontière de type Dirichlet sur laquelle
la vitesse, uD, est imposée.
1.1.2 Formulation variationnelle et semi-discrétisation en temps
Les équations de Navier Stokes s’écrivent de deux manières équivalentes : soit sous forme dimensionnelle (1.9) ou bien sous forme adimensionnelle (1.12). Dans les chapitres qui suivent, nous allons utiliser selon le cas, l’une ou l’autre de ces deux formes. Soulignons que la forme adimensionnelle usuelle s’écrit comme suit :
∂u ∂t + u · ∇u + ∇p − 2 Re∇ · ˙γ(u) = f ∇ · u = 0 (1.12) où Re est le nombre adimentionnel de Reynolds qui est défini par :
Re = U Lρ µ
où U et L sont respectivement des vitesses et longueurs caractéristiques.
Puisque, dans le cadre de notre étude, on s’intéresse à des cas instationnaires, on ne peut pas négliger le terme ∂u
pour t0 ≤ t ≤ tf. En utilisant l’approche par semi discrétisation proposée par Lions (1969), Quarteroni et Valli (1999), on considère une partition de l’intervalle de temps [t0,tf] et on
considère, en premier lieu, un schéma d’Euler implicite (voirFortin et Garon (2013)) :
∂ui ∂t(t n) = uni − un−1i ∆t + ∆t 2 ∂2ui ∂t2 (ξ n i) avec ξn∈ [tn−1, tn] (1.13)
Ce choix de discrétisation temporelle conduit à un schéma de premier ordre par rapport au temps. Ceci est suffisant pour démontrer les caractéristiques de la méthode adoptée au chapitre 3 afin d’étudier des phénomèmes d’interaction fluide-structure, mais il faut noter qu’il est fortement recommandé de passer à un schéma en temps d’ordre supérieur pour beaucoup d’autres applications. C’est pour cette raison que nous considérons aussi, dans notre travail, un schéma de différence arrière d’ordre 2 tel que :
∂ui ∂t(t n) = 3uni − 4un−1i + u n−2 i 2∆t + (∆t)2 3 ∂3ui ∂t3 (ξ n i ) avec ξn∈ [tn−2, tn] (1.14) et ainsi au temps tn on a 3un− 4un−1+ un−2 2∆t + u n· ∇un− 2 Re∇ · ˙γ(u n) + ∇pn = f ∇ · un = 0 (1.15)
Le système1.15est non linéaire par la présence du terme un· ∇un. L’utilisation des méthodes
de type points fixes, telle que la méthode de Newton, est envisageable (voir par exemple
Quarteroni et Valli(2008),Boffi et al.(2013)). Notons, toutefois, qu’il est plus efficace d’utiliser une extrapolation linéaire de Lagrange de (tn−2, un−2
i ) à (tn−1, u n−1
i ) pour linéariser le terme
un· ∇un. En effet, puisqu’on a
uni = 2un−1i − un−2i +∂ 2u i ∂t2 (µ n i)(∆t)2 avec µni ∈ [tn−2, tn] (1.16)
alors, on remplace un· ∇unpar (2un−1− un−2) · ∇un. Mentionnons que l’approche favorisée
parTurek (1999) est basée sur ce type d’extrapolation. Le problème à résoudre à chaque pas de temps est maintenant linéaire et s’écrit :
3 2∆tu n+ 2un−1− un−2 · ∇un− 2 Re∇ · ˙γ(u n) + ∇pn = f + 1 2∆t 4u n−1− un−2 ∇ · un = 0 (1.17) Pour obtenir la formulation variationnelle, on multiplie le système (1.17) respectivement par des fonctions test vf ∈ V et q ∈ Q où V = (H1
Q = L2(Ω), on obtient par conséquent, la formulation variationnelle du problème1.17 Z Ω 3 2∆tu n· vf+ 2 Re˙γ(u n) : ˙γ(vf) − p∇·vf + (2un−1− un−2) · ∇un · vf dv = Z Ω f · vf dv + Z ΓN t · vf dS + 1 2∆t Z Ω (4un−1− un−2) · vfdv Z Ω q∇ · undv = 0 (1.18)
1.1.3 Formulation éléments finis
La discrétisation par éléments finis du problème de Navier-Stokes suit les étapes habituelles de discrétisation. Soit τh(Ω)une discrétisation de Ω de paramètre h. Nous considérons, dans
ce travail, des maillages constitués d’éléments notés K. En dimension 2, nous considérons les triangles et les quadrilatères, tandis qu’en dimension 3, nous nous limiterons aux tétraèdres et aux hexaèdres. On choisit deux espaces Vh ⊂ V et Qh ⊂ Qde dimension finie et on approxime
(u,p) par des fonctions (uh,ph) ∈ Vh × Qh. Le problème discrétisé du problème 1.18 peut
s’écrire : a(uh,vfh) + b(vfh,ph) = (f,vfh) ∀vfh∈ Vh b(uh,qh) = 0 ∀qh ∈ Qh (1.19) La condition d’incompressibilité discrétisée s’écrit maintenant :
Z
Ω
qh∇ · vfh dv = 0 ∀qh ∈ Qh (1.20)
et n’est pas équivalente à ∇ · vf h= 0.
Sous les hypothèses d’existence et d’unicité des solutions (uh,ph) du problème discret de
Navier–Stokes (voir Boffi et al. (2013) pour plus de détails), on part des solutions initiales (un−1,pn−1)et (un,pn)et on cherche une correction (δuh,δph)de sorte que (un+δuh,pn+δph)
soit une solution du problème de Navier–Stokes. On obtient : an(δuh,vfh) − Z Ω δph∇ · vfhdv = − Z Ω Rn(vfh) dv Z Ω qh∇ · δuhdv = − Z Ω qh∇ · undv (1.21)
an δu,vf = Z Ω 3 2 δu ∆tv f + 2 Re˙γ(δu) : ˙γ(v f) + ((2un−1− un−2) · ∇)δu · vf dv Rn(vfh) = Z Ω 3 2∆tu n· vf + 2 Re˙γ(u n) : ˙γ(vf) − p∇·vf dv + Z Ω (2un−1− un−2) · ∇un · vf dv − Z Ω f · vf dv − Z ΓN t · vf dS − 1 2∆t Z Ω (4un−1− un−2) · vfdv (1.22) Pour K un élément quelconque de τh(Ω), on obtient le problème discrétisé suivant :
an(δuh,vfh) − Z K δph∇ · vfh dv = − Z K Rn(vfh) dv Z K qh∇ · δuhdv = − Z K qh∇ · undv (1.23) Posons : u(x)|K ' uh(x)|K = uK(x) = nu D X j=1 αKj ΨKu,j p(x)|K ' ph(x)|K = pK(x) = npD X j=1 pKj ψKp,j
Notons que les ΨK
u,j sont des fonctions de base vectorielles et que les n p
D fonctions de base en
pression et les nu
D fonctions de base en vitesse sont généralement de natures différentes (Fortin et Garon (2013)). Les approximations en vitesse et en pression ne peuvent pas être choisies d’une manière arbitraire puisqu’elles doivent vérifier la condition inf-sup. Le lecteur peut se référer àBoffi et al.(2013) pour plus de détails. Il existe plusieurs choix possibles. Cependant, le choix doit être en accord avec le phénomène à l’étude. Il s’agit, ici, d’interactions fluide-structure exigeant de la précision au passage de l’information à l’interface fluide solide. Ainsi, un élément compatible tel que l’élément Mini décrit dansArnold et al. (1984), pour lequel la discrétisation de la pression est linéaire tandis que la vitesse est linéaire mais enrichie d’un nœud de calcul au centre de l’élément, ne sera pas considéré. En effet, cet élément converge à l’ordre 1 en espace et donc il est peu précis. De plus, il ne permet pas un transfert adéquat des contraintes fluides vers la structure dans les cas de problèmes d’IFS. En se basant sur
Figure 1.1 – Élément de Taylor-Hood P2− P1(O(h2))en 2D et 3D.
le contexte IFS, nous avons choisi l’élément de Taylor-Hood souvent appelé P2 − P1 où les
ΨKu,j sont quadratiques et les ψp,jK linéaires sur un élément (voir Brezzi et Fortin (1991) et
Boffi et al. (2013)). Pour cet élément, les nœuds de calcul sont situés aux sommets (vitesse et pression) et aux milieux d’arêtes (vitesses seulement) (voir la figure 1.1) et on obtient avec cet élément une convergence à l’ordre 2 en espace (voir Boffi et al. (2013) pour plus de détails). L’élément P2 − P1 en dimension 3 est représenté aussi à la figure 1.1. Ces approximations
en vitesse et en pression vérifient bien la condition inf-sup et sont dites compatibles. Bien entendu, d’autres choix sont possibles. Cependant, l’approche que nous présenterons exige, en plus de la précision au passage des contraintes fluides et structures à l’interface, une continuité de la discrétisation en pression.
1.1.4 Méthodes de résolution
Dans cette section, nous nous consacrons à la description des solveurs utilisés pour résoudre numériquement les équations de Navier–Stokes. Nous avons considéré trois types de résolution pour ces équations. La première est la résolution par un solveur direct. La deuxième est itérative de type point-selle. Quant à la troisième, c’est la résolution par une méthode de projection.
Résolution par une méthode directe
Cette méthode consiste à résoudre le système au complet en u et p en se basant sur une méthode de pénalisation de la pression (voir Quarteroni et Valli (2008)) et en utilisant le solveur MUMPS (MUltifrontal Massively Parallel Solver). Tous les détails sur ce solveur sont donnés dans Amestoy et al. (2001), Amestoy et al. (2006)). La résolution des équations de Navier-Stokes par une méthode directe requiert un temps de calcul prohibitif, particulièrement pour les problèmes tridimensionnels où le nombre d’inconnues augmente rapidement. À ce titre, l’utilisation d’une méthode de résolution performante en terme de temps de calcul et de taille de mémoire devient primordiale.
Résolution itérative de type point-selle
Dans cette partie, on s’intéresse à une brève description d’un solveur itératif pour résoudre numériquement les équations de Navier-Stokes.
Afin de réduire les coûts inhérents aux éléments quadratiques, nous avons utilisé une méthode de résolution multi-niveaux basée sur la hiérarchie naturelle entre les éléments finis linéaires et quadratiques, d’où le nom de méthode hiérarchique. Elle possède plusieurs points en commun avec les méthodes multi-grilles mais a l’avantage de s’appliquer aux géométries complexes et aux maillages non structurés. L’utilisation de cette méthode comme préconditionneur à une méthode de Krylov (ici un préconditionneur variable) permet d’obtenir une méthode très efficace.
Le système1.23peut s’écrire matriciellement sous forme d’un système linéaire non symétrique de type point-selle à deux inconnues u et p. La résolution efficace de ce système joue un rôle majeur dans le traitement numérique des équations de Navier-Stokes. Pour cela, nous avons utilisé un préconditionneur à droite de format triangulaire par bloc. Pour rendre ce précon-ditionneur efficace, nous avons fait appel à trois ingrédients : l’ajout du terme r∇(div(u)) aux équations continues de Navier-Stokes où sa forme faible s’écrit par rdiv(u)div(v) (voir
Raviart (1981) et Franca et Frey (1992)), une résolution efficace en vitesse par la méthode hiérarchique et un préconditionneur additif pour le complément de Schur (voir Cahouet et Chabard (1988) et Turek (1999)). Pour plus de détails sur cette méthode de résolution, le lecteur peut se référer àEl maliki(2007), El maliki et Guénette(2010).
Résolution par une méthode de projection
Confrontés aux défis numériques lors de la résolution des équations de NS, Chorin et Temam ont produit, dans les années soixante séparément, une série d’articles qui introduisaient et analysaient la méthode de projection (voir Chorin(1968) et Temam (1968)). Cette méthode a été introduite dans le but de résoudre efficacement les équations de NS. Elle est basée sur des schémas en temps fractionnaire qui découple le problème de convection-diffusion de
la contrainte d’incompressibilité, avec correction de la vitesse et de la pression. Ainsi, elle devint très populaire dans les applications d’écoulements visqueux et incompressibles, voire pour les écoulements à faible nombre de Mach. En effet, d’un point de vue mathématique, la dynamique de ces écoulements (à faible nombre de Mach) est similaire à celle des écoulements incompressibles. D’une part, dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement, la masse volumique est indépendante de la pression dynamique. D’autre part, le champ de vitesse satisfait une contrainte équivalente à la condition de divergence nulle des équations incompressibles.
Ces méthodes procèdent dans une première étape par le calcul d’un champ de vitesse intermé-diaire ˜u en utilisant l’équation de quantité de mouvement. Ce champ ne vérifie pas la condition d’incompressibilité ∇ · ˜u = 0, et il est donc nécessaire de le projeter dans un espace où les champs de vecteur sont à divergence nulle pour obtenir un+1. Le schéma le plus simple, qui
est le schéma explicite d’ordre 1 en temps, se présente sous sa forme semi-discrète : Étape 1 : ρ u˜ ∆t+ ρ(u n· ∇) un− µ∆un= f + ρun ∆t (1.24) Étape 2 : ˜ u = un+1+ ∆t ρ ∇p n+1 ∇ · un+1 = 0. (1.25) Un schéma implicite d’ordre 1 en temps peut aussi être écrit sous la forme :
Étape 1 : ρ u˜ ∆t+ ρ(u n· ∇) un− µ∆˜u = f + ρun ∆t ˜ u = uD sur ∂Ω. (1.26) Étape 2 : ˜ u = un+1+ ∆t ρ ∇p n+1 ∇ · un+1 = 0. (1.27) La présence de la condition aux limites sur ˜u pour résoudre (1.26) constitue une très importante différence entre la résolution des problèmes (1.24)-(1.25) et (1.26)-(1.27). Dans ces schémas, on calcule la pression en résolvant une équation de Poisson provenant de l’incompressibilité de un+1. Ce terme de pression intervient dans l’équation de quantité de mouvement comme
un multiplicateur de Lagrange assurant que la vitesse vérifie la contrainte d’incompressibilité. Ces problèmes découlent des équations (1.25) ( ou bien (1.27)), en leur appliquant l’opérateur divergence pour obtenir :
∆pn+1= ρ
Cette dernière équation est similaire au problème (1.5) : La résolution numérique de ce pro-blème de Poisson passe, donc, par l’introduction de conditions aux limites qui sont plus ou moins arbitraires, de type dérivée tangentielle (1.7) ou de type Neumann (1.8). Afin d’expli-quer simplement ce qui se passe sans perte de généralité, prenons une condition de Dirichlet homogène sur la vitesse, c.-à-d. u = 0 sur le bord ∂Ω. Combinant cela avec les conditions (1.7) et (1.8), on obtient :
∇p · τ = µ ∆u · τ + f · τ , (1.29) ∇p · n = µ ∆u · n + f · n. (1.30) Multipliant maintenant (1.27) par le vecteur normal n, on obtient :
˜
u · n = un+1· n + ∆t ρ ∇p
n+1· n, (1.31)
qui entraine que
˜
u · n = ∇pn+1· n = 0. (1.32) Or, ceci est incohérent avec la condition (1.30). Cette inconsistance (due aux conditions aux limites) provoque naturellement des erreurs, soit sur le calcul de la pression, soit sur la vitesse. Ces erreurs sont localisées au bord du domaine dans une couche limite. On consultera les articles suivants :Gresho et Sani(1987),Weinan et Jian-Guo(1995),E et Liu (1996), Dagan
(2003) pour plus de détails.
DansE et Liu(1996), la localisation de cette erreur au niveau de la couche limite est expliquée grâce à une étude de ses modes propres. En effet, en combinant les équations (1.26), (1.27) et (1.32) sans le terme convectif, afin que les explications soient plus claires, on obtient le problème suivant :
(
∆pn+1− ∆t∆2pn+1 = 0
∇pn+1· n = 0 sur ∂Ω. (1.33)
Ce problème est obtenu en appliquant successivement l’opérateur de divergence à (1.27) et en exprimant ∆˜u dans (1.26) en fonction de la pression. Or, si on écrit le problème de Stokes généralisé αu − µ∆u + ∇p = 0, nous avons :
∆pn+1= 0. (1.34)
Dans Dagan (2003), Weinan et Jian-Guo (1995), les auteurs montrent que ce problème est singulier et que la couche limite est d’ordre O(∆t1/2)dans l’approximation de la pression.
DansPatankar et Sharma(2005), une méthode de projection a été présentée afin de remédier à ces inconsistances numériques. Cette méthode consiste à décomposer un pas de temps en une étape de prédiction, sans prise en compte de la contrainte, puis à construire le champ à l’étape suivante par projection restreinte aux particules sur l’espace des mouvements rigides.
Les champs construits sont discontinus aux interfaces, sans briser la convergence en norme L2
en espace.
Les améliorations des schémas proposées par Chorin et Temam demeurent un enjeu essentiel dans la résolution des équations de Navier Stokes. Beaucoup de travaux sur les méthodes à pas fractionnaires proposent des solutions aux problèmes cités précédemment selon différents principes, en fixant de manière exacte les conditions aux limites :
• Soit en vitesse. Le schéma le plus connu est celui de Leveque et Oliger(1983), Kim et
Moin(1985)
• Soit en pression, voir les travaux de Orszag et al.(1986), Karniadakis et al.(1991), • Soit en proposant des schémas corrigés. La version la plus précise connue actuellement
est la méthode de correction de pression proposée par Goda(1979), van Kan (1986) et connue sous le nom de schéma incrémental de correction de pression .
Schéma incrémental de correction de pression
Lors de l’étape de correction du schéma de projection non incrémental (1.26)-(1.27), il n’y a aucun contrôle de la valeur de la pression dans les directions tangentielles et il y a un manque de précision sur les composantes de la vitesse. C’est pour pallier ce problème que plusieurs variantes de la méthode de projection de Chorin-Temam ont été introduites. Parmi elles, la forme incrémentale est bien adaptée aux problèmes en temps (Navier-Stokes) puisqu’elle permet de récupérer les informations accumulées aux pas de temps précédents.
La méthode incrémentale consiste à ajouter à la première étape le terme ∇pk et corriger la
pression tel que proposé par Goda (1979) et ensuite analysé par van Kan (1986). De cette manière, on présente le schéma incrémental du problème 1.17suivant :
— Étape 1 : prédiction visqueuse ρ 2δt 3 ˜uk+1− 4uk+ uk−1 − ∇ · (µ ˙γ(˜uk+1)) + (2uk− uk−1) · ∇ ˜uk+1+ ∇pk= f (tk+1), (1.35) — Étape 2 : projection − ∆ϕk+1 = −3ρ 2δt∇ · ˜u k+1, (1.36) où ∇ϕk+1· n| ΓfD = 0 et ϕ k+1| ΓfN = 0
— Étape 3 : correction de la pression
— Étape 4 : mise à jour de la vitesse
uk+1= ˜uk+1− 2δt 3ρ∇ϕ
k+1, (1.38)
Remarques :
— Dans ce cas, on a des conditions aux limites artificielles
∇pk+1· n = ∇pk· n = · · · ∇p0· n = 0.
— Shen (1996), Guermond (1997, 1999) et Guermond et Quartapelle (1998) ont montré que le schéma incrémental de correction de pression est d’ordre maximal égal à 1 en temps. Notons que nous avons pris, dans ce cas, un schéma de différence arrière d’ordre 2 pour la discrétisation temporelle du terme instationnaire de Navier-Stokes. Ce schéma incrémental de correction de pression nous fait perdre un ordre.
||u − uexacte||H1(Ω)d+ ||p − pexacte||L2(Ω) ≤ Cδt (1.39)
||u − uexacte||L2(Ω)d≤ Cδt2 (1.40)
Schéma rotationnel et incrémental de correction de pression
L’idée proposée parTimmermans et al.(1996) consiste à utiliser l’identité suivante : ∆u = ∇(∇ · u) − ∇ × (∇ × u).
Ainsi, en sommant l’étape de prédiction visqueuse avec celle de projection on obtient : ρ
2δt
3 ˜uk+1−4uk+uk−1
+µ∇×(∇×uk+1)+(2uk−uk−1)·∇ ˜uk+1+∇pk+1 = f (tk+1) dans Ω(t),
(1.41) L’étape de correction de pression devient :
pk+1= pk+ ϕk+1− 2µ∇ · ˜uk+1, (1.42) Remarques :
— Cette méthode implique une équation consistante pour la pression telle que : ∆pk+1 = ∇ · fk+1, ∇pk+1· n = fk+1− ∇ × ∇ × uk+1 · n,
— Guermond et al.(2006) ont montré que ce schéma est d’ordre 3 2
||u − uexacte||H1(Ω)d+ ||p − pexacte||L2(Ω)≤ Cδt 3
Dans ce travail, nous allons utiliser deux schémas principaux pour la résolution des équations de Navier Stokes. Dans le chapitre 2, nous allons utiliser la méthode de type point-selle alors que, dans le chapitre 3, nous allons considérer le schéma incrémental de correction de pression. Les résultats numériques des deux chapitres montrent bien que ces méthodes fonctionnent bien dans le cas de la résolution des problèmes d’interaction fluide-structure.
1.2
Modèles utilisés pour le solide
La mécanique des milieux solides fournit une panoplie de modèles de structures. Nous ferons dans cette section un survol rapide de quelques modèles utilisés pour la résolution des équations structurelles.
Dans un premier temps, nous considérons le cas de la structure rigide considérée par plusieurs auteurs tels que Glowinski et al.(2000),Su et al.(2007) etValette et al.(2007). Plus récem-ment, mentionnons que Jendoubi (2010) et aussi Ilinca et Hétu(2011) ont utilisé ce type de structures pour étudier l’interaction d’un corps rigide avec un fluide.
La modélisation des structures rigides peut aussi tenir compte de la dynamique propre du solide en lui associant une masse (et donc une inertie). Le profil subit alors, par conséquent, des mouvements de corps rigide soumis à la pression du fluide. On parle, alors, d’aéroélasticité (Causin et al. (2005)).
Dans un deuxième temps, nous considérons le modèle des structures flexibles qui tient compte des déformations structurelles et introduit des équations des milieux continus régissant ces déformations. Il existe de nombreuses équations dans la mécanique des milieux continus per-mettant de modéliser les déplacements et les déformations d’une structure. On peut, toutefois, les classer en 3 catégories (sans parler de la plasticité bien au-delà du champ d’investigation de notre étude) :
1. Élasticité linéaire, 2. Hyper-élasticité, 3. Hyper-élasticité finie.
Ainsi, un modèle d’élasticité linéaire suffit pour modéliser les structures en petits déplacements. Dans l’hypothèse des petites perturbations, les modèles d’élasticité linéaire peuvent être facile-ment mis en œuvre. Nous citons plusieurs auteurs qui ont considéré cette catégorie (Pederzani et Haj-Hariri(2006),Borazjani et Sotiropoulos(2008),Huang et Sung(2009),Van Loon et al.
(2006)). Toutefois, dès qu’on a de grands déplacements, un modèle hyperélastique est néces-saire. De nombreuses lois de comportement non linéaires existent mais c’est celle de Saint-Venant Kirchhoff qui est la plus répandue dans le cadre de la mécanique des solides (Turek et Hron (2006),Gerbeau et Vidrascu(2003),Von Scheven(2009),Étienne et Pelletier(2004),
(Lian et Shyy (2005)) et le modèle Néo-Hookéen (Wood et al. (2008)) sont encore peu utili-sés dans le domaine des IFS. Dans ce cadre, nous pouvons citer par exemple Huang et Sung
(2009) qui ont considéré des structures flexibles modélisées par la dynamique des solides dans des problèmes en biologie.
1.2.1 Solide à déplacements imposés
Il s’agit, dans ce cas, d’une modélisation avec des mouvements de corps rigides à déplacements a priori imposés. Il n’y a donc aucune équation structurelle à résoudre, seules les équations de l’écoulement fluide soumis au mouvement des frontières doivent être résolues. On néglige toute rétroaction du fluide sur le solide et inversement. Ce type de structure sera utilisé dans le chapitre 2.
1.2.2 Modèles pour les solides déformables
Dans le but de considérer des matériaux en grandes déformations, la structure à considérer dans notre étude est une structure hyperélastique telle que définie dansBonet et Wood(2008). En premier lieu, un modèle général en 3D sera introduit à des fins de notation, et ensuite des modèles hyperélastiques seront introduits.
Notons la déformation du solide par Ts: ˆΩs× [0,T ] → Ωs(t)alors, on introduit le gradient de
déformation correspondant par ˆFs(ˆx,t) déf= ∇xˆTs(ˆx,t)et son déterminant ˆJs
déf
= dét ( ˆFs(ˆx,t)). Le déplacement du domaine est donné par ˆds(ˆx,t) déf= Ts(ˆx,t) − ˆx et sa vitesse est notée par ˆ
us(ˆx,t) = ∂tdˆ s
(ˆx,t).
Ayant adopté une formulation lagrangienne, le comportement de la structure est ainsi régi par les équations d’équilibre exprimées sur la configuration initiale non déformée ˆΩsce qui permet
de définir le problème de la structure comme suit :
Trouver le déplacement ˆds= ˆds(ˆx,t) : ˆΩs× [0,T ] → Ωs(t)telle que
ˆ ρs0∂ ˆu s ∂t − ∇ · ˆΠ s (ˆds) = ρˆs0rˆs dans ˆΩs, ∂tˆd s = uˆs dans ˆΩs, (1.44) où ˆρs 0 déf
= ˆJsρˆs, ˆρs est la densité du solide et ˆrs est une force de volume donnée. Le tenseur ˆ
Πs= ˆΠs(ˆds)est appelé le premier tenseur de Piola-Kirchoff (voirBonet et Wood (2008)) qui est relié au tenseur des contraintes de Cauchy par :
ˆ
Πs déf= ˆJsσˆs( ˆFs)−T, (1.45) Le problème1.44est à compléter par les conditions initiales suivantes :
ˆ
et les conditions aux limites suivantes ˆ
Πsnˆs= ˆJs||( ˆFs)−Tnˆs||ˆhs sur ˆΓsN (1.47) ˆ
ds = ˆdsD sur ˆΓsD (1.48) où ˆdsD et ˆh sont des fonctions données, ˆns est la normale unitaire à ∂ ˆΩs et ˆΓDs ∪ ˆΓsN = ∂ ˆΩs.
L’équation1.48impose les déplacements sur une partie du bord ˆΓs
D ⊂ ∂ ˆΩsalors que l’équation 1.47 impose la contrainte superficielle sur ˆΓs
N ⊂ ∂ ˆΩs, écrite sous forme lagrangienne qui est
équivalente à la condition :
σsns= hs sur ΓsN écrite en description eulérienne.
Beaucoup de lois de comportement peuvent être utilisées pour un solide. Dans ce qui suit, nous fournissons la formulation générale d’un matériau hyperélastique. Pour introduire cette formulation, on définit le deuxième tenseur de Piola-Kirchhoff S qui est un tenseur symétrique donné par :
S déf= ( ˆFs)−1Π = ˆˆ Js( ˆFs)−1σˆs( ˆFs)−T, (1.49) Pour un matériau hyperélastique, le deuxième tenseur de Piola-Kirchoff découle d’un potentiel d’énergie de déformation Ψ comme suit :
S = 2∂Ψ
∂C (1.50)
où C est le tenseur de Cauchy-Green défini par C = F · FT .
Modèle de Saint-Venant-Kirchoff
Nous ferons un rapide survol sur les caractéristiques de ce modèle. Pour plus de détails, le lecteur se refèrera à Bonet et Wood(2008). Le modèle de Saint-Venant-Kirchoff est la généra-lisation aux grandes déformations du modèle utilisé en élasticité linéaire (petites déformations). Le potentiel d’énergie prend la forme (voir par exemple Bonet et Wood (2008)) :
Ψ = 1
2λ(trE)
2+ µ(E : E) (1.51)
Les paramètres constants λ et µ sont les coefficients de Lamé définis par : µ = E
2(1 + ν) et λ =
Eν
(1 + ν)(1 − 2ν) (1.52) où E est le module d’élasticité (ou module d’Young) et ν est le coefficient de Poisson du matériau. E est le tenseur de déformation de Green-Lagrange défini par :
E = 1
À partir des relations1.50,1.51,1.52 et1.53, on vérifie facilement que : S = λ(trE)I + 2µE = ∂Ψ
∂E (1.54)
On définit le tenseur d’élasticité d’ordre 4 par : C = ∂S
∂E (1.55)
qui a pour composantes :
Cijkl= λIijIkl+ 2µ
IikIjl+ IilIjk
2
(1.56) et qui permet d’obtenir une «généralisation» de la loi de Hooke : la forme linéarisée de la conservation de la quantité de mouvement aura la forme d’une loi de Hooke (voir Fortin et Garon(2013) pour plus de détails).
Modèle de Mooney-Rivlin incompressible
Afin de modéliser les grands déplacements de la structure, on considère un modèle de Mooney-Rivlin incompressible tel qu’illustré dansBonet et Wood(2008) etFortin et Garon(2013). En effet, le choix de ce modèle vient du fait de l’intérêt de cette étude pour le pneumatique (voir chapitre 5) ce qui justifie notre choix de modèle incompressible en grandes déformations. Pour ces modèles, on définit le potentiel d’énergie Ψ par :
Ψ = c1(J1− 3) + c2(J2− 3) +
1
2k(J − 1)
2 (1.57)
où J1, J2et J sont les invariants du tenseur de Cauchy-Green et k est le module de
compressi-bilité. Pour notre cas d’étude, l’incompressiblité du caoutchouc impose que k soit grand. Ainsi on pourra écrire le deuxième tenseur de Piola-Kirchoff, S, comme suit :
S = 2∂Ψ ∂C = 2 c1 ∂J1 ∂C + c2 ∂J2 ∂C − pJ C−1 (1.58) où la pression p est définie pour ce modèle incompressible par :
p = −k(J − 1) (1.59)
Puisque le caoutchouc est incompressible, il semble naturel de découpler les déformations volumiques des autres déformations isochoriques. C’est pour cette raison que l’on peut écrire le tenseur de Piola-Kirchoff S comme suit :
S = S0− pJ C−1 (1.60) Le tenseur d’élasticité C est donné par la relation suivante :
C = 4∂ 2Ψ ∂C2 = 4 c1 ∂2J1 ∂C2 + c2 ∂2J2 ∂C2 − p ∂2J ∂C2 (1.61) Pour plus d’informations sur les matériaux en grandes déformations, on réfère le lecteur à For-tin et Garon(2013) etBonet et Wood (2008).
1.2.3 Formulation éléments finis
Pour la structure, on définit l’espace suivant : ˆ Vs déf= ˆ vs: ˆΩs→ Rd,ˆvs∈ [H1( ˆΩs)]d, ˆvs|Γˆs D = 0 , (1.62)
En multipliant l’équation du solide1.44par ˆvs∈ ˆVset en intégrant par parties tout en tenant
compte des conditions aux limites 1.47et1.48 on obtient : Z ˆ Ωs ˆ ρs∂ ˆu s ∂t · ˆv sdˆx + Z ˆ Ωs ˆ Π : ∇xˆvˆsdˆx = Z ˆ Ωs ˆ ρsrˆsvˆsdˆx + Z ˆ Γs N ˆ Js||( ˆFs)−Tnˆs||ˆh · ˆvsdˆγ (1.63) En introduisant une base {ϕi}Ni=1de ˆVs et en écrivant le déplacement ˆdh dans la base tel que :
ˆ dh(t,ˆx) = N X i=1 ˆ di(t)ϕi(ˆx).
on obtient le système non linéaire d’équations différentielles ordinaires (EDO) donné par : Ms¨ˆds+ Ks(ˆds) = Fs, t > 0 (1.64)
avec :
— ˆds= [ ˆd1(t),..., ˆdN(t)]T est le vecteur solution
— (Ms)ij =
Z
ˆ Ωs
ˆ
ρsϕiϕjdˆxest la matrice masse
— (Ks(ˆds))i=
Z
ˆ Ωs
ˆ
Π : ∇xˆϕidˆxest le terme non-linéaire de raideur
1.2.4 Discrétisation
On peut utiliser un solveur d’équations différentielles ordinaires pour résoudre le système1.64. Le schéma populaire pour résoudre ce type de problème est celui de Newmark (voir Bathe
(1996) et Zienkiewicz et Taylor(1989)) décrit dans ce qui suit. On définit dn s ≈ ds(tn), ˙d n s ≈ ˙ds(tn), ¨d n s ≈ ¨ds(tn) et deux paramètres γ ∈ [0,1] et β ∈ [0,12]. Le système : Msd¨ n s + Ks(dns) = Fns, à tn ˙dns = ˙dn−1s + ∆t(γ ¨dns + (1 − γ)¨dn−1s ), dns = dn−1s + ∆t ˙dn−1s +∆t 2 2 (2β ¨d n s + (1 − 2β)¨d n−1 s ), (1.65)
mène à un système non linéaire en (dn s, ˙d
n s,¨d
n
s) à chaque pas de temps.
Remarque : Pour des systèmes linéaires de deuxième ordre, le système1.65est incondition-nellement stable pour β ≥ 1
4 et précis au second ordre pour γ = 1 2
