Nous présentons maintenant un certain nombre de tests numériques. Nous considérons, d’abord, les objets statiques (immobiles) comme les écoulements autour d’une sphère et d’un cylindre circulaire dans un canal. Cela nous permettra de comparer nos résultats avec ceux obtenus avec les méthodes classiques avec un vrai obstacle réel qu’on précisera par la suite (méthode BF « Body Fitted »). Ensuite, nous allons considérer les objets en mouvement et les écoulements autour de ces objets en 2D et en 3D.
2.3.1 Écoulement autour d’une sphère
Pour valider notre méthode, nous commençons par l’étude de l’écoulement autour d’une sphère. On veut dans cette section s’assurer des valeurs de la traînée et de la portance qui sont obtenues par évaluation de
F = (F1, F2, F3) =
Z
∂Ωr
σ · n ds (2.1)
où σ · n est la contrainte totale définie par : σ · n = −pI + 2 Reγ(u)˙ · n
Les forces de traînée et de portance utilisent respectivement les composantes parallèle et orthogonale à la direction de l’écoulement de F . Le calcul est difficile pour les méthodes des domaines fictifs classiques puisque la frontière ∂Ωr n’est pas toujours clairement définie. Dans
notre approche, elles sont obtenues assez facilement à l’aide des méthodes de découpage du maillage et de retournement d’arêtes. En effet, après ces deux opérations, nous identifions clairement la surface de calcul des contraintes fluides. Ainsi, l’évaluation de l’équation2.1est
immédiate. Les coefficients de traînée et de portance sont définis par : CD = F1 1 2ρU2πR2 et CL= F2 1 2ρU2πR2
où U est la vitesse moyenne d’écoulement à l’entrée et R est le rayon de la sphère. Les écoulements à bas Reynolds (Re = U Dρ
µ < 1) sont régis par un équilibre entre les forces
de viscosité et de pression. Pour l’écoulement autour d’une sphère à bas Reynolds, Schiller et Naumann(1935) ont montré que le coefficient de traînée peut être approximé par la relation :
CD =
24
Re 1 + 0.15 Re
0.687
(2.2) On a appliqué notre méthode IB pour calculer le coefficient de traînée pour Re = 0.1 et Re = 0.5. Le diamètre de la sphère, centrée en (0,0,0), est D = 1 dans un domaine de calcul s’étendant en amont à partir de 10 unités et en aval de 25 unités. La fonction distance est ainsi donnée par
ϕ(x1,x2, x3, t) = x21+ x22+ x23− 1/4
La géométrie utilisée est illustrée dans la figure 3.9 qui n’est pas à l’échelle. On impose à l’entrée et aux frontières latérales un écoulement uniforme u = (1,0,0) et à la sortie on a : σ · n = 0. Une condition de non-glissement a été appliquée sur la sphère.
La méthode IB a été appliquée premièrement sur un maillage tétraédrique non structuré constitué de 23 965 éléments (4496 nœuds, 29 387 arêtes et ' 106 000 degrés de liberté). Un deuxième maillage constitué de 124 407 éléments est aussi utilisé pour vérifier la convergence.
(-10,-10,10) (-10,10,-10) (-10,-10,-10) 20 20 Entrée Sortie σ · n = (0,0,0) 35 u = (1,0,0) u = (1,0,0) u = (0,0,0) x1 x2 x3
Les simulations ont été faites en commençant par un maillage grossier mais sans retournement d’arêtes. La valeur calculée du coefficient de traînée CD = 56 était très loin de la valeur
empirique CD = 247 donnée par la relation (2.2). Ceci peut être expliqué par la mauvaise
qualité des éléments dans la région autour de la sphère. Le retournement d’arête donne une meilleure qualité d’éléments autour de la sphère et un calcul plus précis du coefficient de traînée, soit CD = 232. Ce simple exemple montre que la méthodologie globale fonctionne
bien mais montre aussi la nécessité du retournement d’arêtes. En poursuivant le calcul sur le maillage plus fin (avec retournement d’arêtes), nous avons obtenu une valeur plus précise du coefficient de traînée, soit CD = 250. Des résultats similaires ont été obtenus pour Re = 0.5
tel qu’illustré dans le tableau2.1.
Le même problème a été aussi résolu en utilisant la méthode avec un véritable obstacle (mé- thode BF). C’est-à-dire que l’obstacle est effectivement représenté dans le maillage et n’est donc pas fictif. C’est cette approche qui nous servira de solution de référence. On a considéré 2 maillages constitués respectivement de 25 470 et 128 161 éléments (un nombre d’éléments similaire à celui qu’on a utilisé pour la méthode IB). Les résultats sont aussi présentés dans le tableau 2.1 et montrent que les valeurs calculées des coefficients de traînée sont très compa- rables à celles données par la formule 2.2. Le raffinement de maillage minimise l’erreur pour les 2 méthodes considérées. La méthode IB produit, ainsi, des valeurs de traînée très simi- laires en précision à celles obtenues par la méthode classique BF. Plus de détails sont élaborés dansJendoubi et al. (2014).
Re Valeurs de l’équation (2.2) Méthode BF Méthode IB 0.1 247 239 (253) 232 (250) 0.5 52.5 48.9 (52) 50 (53.1)
Table 2.1 – Coefficients de traînée pour les maillages grossiers et (rafinés)
2.3.2 Écoulement autour d’un cylindre
Cas 2D
Nous étudions maintenant le cas d’un écoulement autour d’un cylindre. On considère un cy- lindre de diamètre 1 et centré à l’origine dans le domaine : −10 ≤ x ≤ 25 et −10 ≤ y ≤ 10 pour éviter l’influence indue des conditions aux limites en entrée et sortie. À l’entrée, on impose u = (1,0)de même que sur les frontières inférieures et supérieures, et on impose une condition naturelle nulle en sortie, soit σ · n = (0,0). De plus, on applique une condition de Dirichlet sur le cylindre, soit u = (0,0), et ceci comme l’indique la figure 2.8.
Le maillage considéré (voir la figure 2.9) est constitué de 12 704 éléments de Taylor-Hood, et présente un découpage du cylindre centré à l’origine pour bien délimiter le domaine de l’obstacle et pouvoir y appliquer la condition d’adhérence. On résout le problème de Navier-
Stokes instationnaire pour un pas de temps égal à 0.1 et pour différentes valeurs du nombre de Reynolds : Re = 1, Re = 45 et Re = 100. On s’intéresse plus précisément au dernier cas où Re = 100. Une fois les effets transitoires disparus, on présente à la figure2.10les vecteurs de la composante Ux de la vitesse autour du cylindre. On remarque le développement de plusieurs
zones de recirculation (tourbillons).
Pour ce problème, la condition d’adhérence est bien respectée (vitesse nulle à l’intérieur du cylindre (voir figure2.11)), c’est-à-dire qu’aucun vecteur vitesse ne se développe à l’intérieur du cylindre, et ceci est dû à notre ajout de nœuds sur l’interface (méthode de découpage). On conclut qu’il existe une instabilité développée à l’arrière du cylindre qui est, en fait, l’allée de Von Karman classique. Ceci est conforme aux résultats de Fortin et Garon (2013) et En- gelman et Jamnia(1990). En effet, Re = 100 est supérieur au nombre critique Re ≈ 45 pour que l’écoulement devienne instationnaire, ce qui justifie l’instabilité du problème et le déve- loppement de l’allée de von Karman comme l’indique la figure2.11.
On trace, à la figure 2.12, l’évolution de la composante Uy du vecteur vitesse en un point
A(3,0)du domaine situé à l’arrière du cylindre (voir la figure2.8) dans les 400 derniers pas de temps de notre simulation. Par ailleurs, on montre que l’écoulement est périodique de période 6.3en accord avecFortin et Garon (2013). Puisque le pas de temps de notre calcul est de 0.1 alors, 63 pas de temps sont utilisés pour couvrir une période d’oscillations, ce qui est largement suffisant. (-10,-10) u = (1,0) σ · n = 0 (25,10) u = (1,0) u = (1,0) u = (0,0) A(3,0)
Figure 2.8 – Conditions aux limites pour l’étude de l’écoulement autour d’un cylindre.
Cas 3D
Un écoulement autour d’un cylindre de section transversale circulaire est maintenant considéré. La géométrie et les conditions aux limites de ce problème sont illustrées dans la figure 2.13.
X Y
VU Z
Figure 2.9 – Zoom autour de l’obstacle (maillage considéré de 12 704 éléments).
Tout comme dans Schäfer et Turek (1996), on applique une condition de Dirichlet sur le cy- lindre et sur les frontières inférieures et supérieures du domaine, soit u = (0,0,0). La condition aux limites de Dirichlet d’entrée est donnée par :
u(0, x2, x3) =
72
H4x2x3(H − x2)(H − x3), 0, 0
ce qui donne une vitesse moyenne U = 2. La hauteur et la largeur du canal sont de H = 4,1 unités, et le diamètre du cylindre est fixé à l’unité (D = 1). La fonction distance est, donc, donnée par ϕ(x1, x2, x3, t) = x21+ x22− 1/4. Le nombre de Reynolds est basé sur le diamètre
du cylindre et la vitesse moyenne à l’entrée. Nous considérons les écoulements à Re = 20 à des fins de comparaison.
Pour ce problème, on calcule les coefficients de traînée CD et de portance CL ainsi qu’une
Figure 2.10 – Vitesse Ux autour du cylindre (Re = 100).
Figure 2.12 – Comportement de la composante Uy en un point derrière le cylindre. (0,0,H) (0,H,0) (0,0,0) Entrée Sortie σ · n = (0,0,0) u = (0,0,0) u = (0,0,0) u = (0,0,0) 4.1 4.1 4.5 1.0 19.5 1.5 1.6 xa xe x1 x2 x3
sont situés de part et d’autre du cylindre avec les coordonnées xa = (4.5,2.0,2.05) et xe =
(5.5,2.0,2.05)) tel qu’illustré à la figure 2.13.
Dans cette section, on compare aussi les résultats obtenus avec la méthode IB, la méthode BF et les résultats numériques deSchäfer et Turek(1996) qui étaient basés, aussi, sur un maillage BF. Le tableau2.2résume les différents résultats. Comme on peut le constater, les méthodes considérées conduisent à des résultats très similaires.
Schäfer et Turek(1996) Méthode BF Méthode IB
∆p 0.1694 0.1694 0.1693
CD 6.1430 6.1124 6.0928
CL 0.0084 0.0081 0.0079
Table 2.2 – Écoulement autour d’un cylindre : comparaison des résultats numériques
Nous avons montré dans ces deux premières sections les résultats obtenus au cas où les ob- jets seraient statiques et auraient permis de vérifier notre approche. Dans ce qui suit, nous considérons les objets mobiles.
2.3.3 Écoulement autour d’une hélice
Dans un premier exemple des objets en mouvement, l’objet rigide rotatif est un quadrifolium (également connu sous le nom de trèfle à quatre feuilles). L’objet peut être exprimé avec des coordonnées polaires (au temps t = 0 d’où l’indice supérieur0) par :
x03(θ) = (α + β cos(4θ)) cos(θ), θ ∈ (0,2π) x02(θ) = (α + β cos(4θ)) sin(θ) où α = 1 5 et β = 1
10. En coordonnées cartésiennes, ceci correspond à :
(x02)2(x03)2−5 4 (x 0 2)2+ (x03)2 2 0.3 − q (x0 2)2+ (x03)2 = 0 (2.3) qui est présenté à la figure2.14. La largeur (dans la direction x1) du quadrifolium est fixée à
0,04 unités.
Tel qu’illustré à la figure 2.15, l’objet est en rotation dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’axe x1 avec une vitesse angulaire ω. Pour un temps donné t et un point (x2,x3)
donné, on doit déterminer si (x2,x3) est à l’intérieur ou non de l’obstacle. La frontière du
quadrifolium est donnée par une fonction distance définie par : ϕ(x1, x2, x3, t) = (x20)2(x03)2− 5 4 (x 0 2)2+ (x03)2 2 0.3 − q (x0 2)2+ (x03)2 = 0
Figure 2.14 – Quadrifolium ou trèfle à quatre feuilles
où
x03 = x3cos(ωt) − x2sin(ωt)
x02 = x3sin(ωt) + x2cos(ωt)
(2.4)