2009-2010, DS 03

(1)

TM1- TCF Devoir de mathématiques Calculatrice autorisée, Durée - 3 heures

Exercice I (5 points)

Dans une entreprise, le prix d’une tonne de matière première à l’année 1998 + x, exprimé en milliers d’euros, est donné par la fonction f définie sur [0 ; 20] par ^{f x}^{( )}^{= + −}^x ^{10 5 ln}(^x⁺²)^.

On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle et on note f ’ sa dérivée.

1. Montrer que '( ) ³ 2 f x x

x

= −

+ puis étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ;20].

Les valeurs des extremums seront arrondies à 10⁻¹.

2. a. Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de x comprises entre 0 et 11. Les valeurs de la fonction seront arrondies à10⁻².

b. Tracer la courbe représentant f dans un repère orthogonal, où 1cm représente deux années en abscisse et 2 cm représentent un millier d’euros en ordonnée.

3. Selon ce modèle, quel serait le prix d’une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 ? A l’aide du graphique, déterminer en quelle année la tonne de matière première retrouvera son prix initial de 1998.

Exercice 2 (6 points)

Le tableau ci-dessous donne l’évolution des ventes d’appareils de chauffage au bois dans l’habitat individuel en France entre 2001 et 2005.

D’après Dossier de presse ADEME « L’éolien, une énergie en plein essor » novembre 2006

Partie A

1. Quel était le nombre d’appareils de chauffage au bois vendu en France en 2000 sachant qu’il a augmenté de 5 % entre 2000 et 2001 ?

2. On construit un tableau d’indices en prenant l’année 2001 comme base 100.

2a. Compléter l’extrait de feuille de calcul ci-dessous. On donnera des valeurs décimales arrondies au dixième.

A B C D E F

1 Année 2001 2002 2003 2004 2005

2 Nombre d’appareils de chauffage au bois vendus 273 292 337 360 430

3 Indice 100 157,5

4

Année Rang x _i Nombre d’appareils de chauffage au bois vendus en milliers y _i

2001 1 273

2002 2 292

2003 3 337

2004 4 360

2005 5 430

(2)

2b. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 et copier sur la plage D3:F3 afin d’obtenir les valeurs des indices ?

3. Déterminer le taux d’évolution du nombre d’appareils de chauffage au bois vendu entre les années 2001 et 2005.

4a. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’appareils de chauffage au bois entre 2001 et 2005.

4b. Prévoir, suivant ce modèle, le nombre d’appareils de chauffage au bois vendus pour 2010.

Partie B

Le nuage de points de coordonnées

(

x yi^; i

)

associé au tableau fourni en début d’exercice est donné dans l’annexe. On souhaite réaliser un ajustement affine.

1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront donnés à 0,1 près.

2. On décide de réaliser un ajustement affine à l’aide de la droite D d’équation y = 38x +224.

Tracer la droite D sur le graphique fourni en annexe

3. En supposant que ce modèle reste valable les années suivantes, prévoir le nombre d’appareils de chauffage au bois vendus pour 2010. Justifier la réponse.

Une administration emploie 250 personnes classées en trois catégories A, B et C.

32% des employés sont des hommes, 2/5^ème des hommes sont dans la catégorie A et la catégorie C compte 20% du personnel, dont 10 hommes. Dans la catégorie B, il y a autant de femmes que d’hommes.

PARTIE A.

1. Recopier et remplir le tableau suivant, sans justifications.

2. On pioche au hasard le nom d’un employé, chacun ayant la même probabilité d’être choisi.

Soit F l’évènement « la personne choisie est une femme », A l’évènement « le personne choisie est de catégorie A ».

Les probabilités seront exprimées à l’aide de fractions irréductibles puis arrondies au centième.

a. Déterminer les probabilités p(A) et p(F).

b. Traduire en français les évènements F∩A et F∪A. c. Déterminer les probabilités ^{p F}

(

^∩^A

)

^et^{p F}

(

^∪^A

)

^.

Catégorie

SEXE

A B C Total

Femmes

Hommes

Total

(3)

3. Parmi les hommes, déterminer la probabilité d’être de la catégorie C ?

4. Déterminer la probabilité d’être un homme sachant qu’on est de la catégorie C.

PARTIE B.

On suppose que les personnes de la catégorie A ont une paye de 1100€ par mois, que celles de la catégorie B touchent 20% de plus et que celles de la catégorie C ont 1700€ par mois.

Déterminer le salaire moyen d’une femme dans cette entreprise.

Courbe 1

(4)

Annexe, à rendre avec votre copie.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1 305 345 385 425 465 505 545 585 625 665 705 745

0 1

225 265

x y

(5)

CORRIGE

Exercice I

1. On sait que

(

^ln( )^u

)

^'⁼^u_u^'^donc

(

^ln(^x⁺^{2 '})

)

⁼ _x¹₊₂^et ^{f x}^{'( )}^{= −}¹ _x⁵₊₂⁼ ^x_x₊⁻³₂^.

Sur l’intervalle [0 ;11], x est positif donc x + 2 est positif et f ’(x) est du signe de x-3. On a alors :

2. a. Voici un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de x comprises entre 0 et 11, où les valeurs de la fonction sont arrondies à10⁻².

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f(x) 6.53 5.51 5.07 4.95 5.04 5.27 5.60 6.01 6.49 7.01 7.58 8.18 2. b. Voici la courbe

3.

> Selon ce modèle, le prix d’une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 est estimé par f(7) (car 1998 + 7 = 2005). On estime donc ce prix à 6,01 milliers d’euros soit 6010 €.

> En 1998, le prix de la tonne était d’environ f(0) = 6.53 milliers d’euros.

A l’aide des traits de construction sur le graphique, c’est au cours de l’année 2006 (x = 8) que le prix d’une tonne de matière première retrouvera son prix initial de 1998.

x 0 3 20

f ’(x) - 0 + 0 f (x)

6.5 ց

5,0 ր

14,5

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 4 6 8

0 1

2

x y

(6)

Exercice 2

Partie A

1. soit Vi le nombre d’appareils vendus en l’année 2000 et V_f le nombre d’appareils vendus en 2001 Entre 2000 et 2001 le taux d’augmentation d’appareils vendus est de 5 % , donc

0 0

1, 05 1, 05 273 273 260

1, 05

f i

V = V ⇔ v = ⇔v = = : le nombre d’appareils de chauffage au bois vendus en France en 2000 était de 260 000.

2a. Il s’agit de faire des produits en croix consécutifs…

_{2 /1} ²

1

100 292 100 106, 96 273

I I

= I × = × ≈ ; _{3 /1} ³

1

100 337 100 123, 44 273

I I

= I × = × ≈ ;

_{4 /1} ⁴

1

100 360 100 131,87 273

I I

= I × = × ≈ et _{5 /1} ⁵

1

100 430 100 157, 51 273

I I

= I × = × ≈

A B C D E F

1 Année 2001 2002 2003 2004 2005

2 Nombre d’appareils de chauffage au bois vendus 273 292 337 360 430

3 Indice 100 107 123,4 131,9 157 ,5

2b. On peut par exemple saisir dans la cellule C3 la formule « ² ³

2

C B

B

× ».

3. Soit T le taux d’évolution du nombre d’appareils au bois vendu entre les années 2001 et 2005 _g Méthode 1 : La lecture des indices précédents donnent T_g =157, 5 100− =57,5.

Méthode 2 : On a : 430 273 157

100 100 100 57, 51

273 273

f i

g i

v v

T v

− −

= × = × = × ≈ , soit T_g =57, 51 %

4a. Soit t_amle taux d’évolution annuel moyen du nombre d’appareils au bois entre 2001 et 2005.

On a : 1+T_g = +(1 t_am)⁴ avec T_g =57, 51 %. On obtient donc

1 0, 5751 (1+ = +t_am)⁴ ⇔ +1 t_am =

(

1,5751

)

^{1/ 4} ⇔t_am =

(

1,5751

)

^{1/ 4}− ≈1 1,1203 1 0,1203− ≈

Le taux le taux d’évolution moyen du nombre d’appareils au bois entre 2001 et 2005 est 0,1203 , soit 12, 03 % d’augmentation par an en moyenne.

4b. Supposons que cette évolution se poursuive pendant 5 ans. Le nombre d’appareils de chauffage au bois vendus pour 2010 serait alors d’environ 430 1,1203× ⁵ ≈759milliers.

Partie B

Le nuage de points de coordonnées

(

x yi^; i

)

associé au tableau fourni en début d’exercice est donné dans l’annexe. On souhaite réaliser un ajustement affine.

1. A l’aide de la calculatrice, l’équation de la droite ( D ) d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est y=38, 2x+223,8 (cohérent avec la question suivante !).

2. Voir graphique en fin ci-dessous.

(7)

3. 2010 correspond à x = 10 : par le calcul, y=38, 2 10 223,8× + ≃606 milliers d’unités.

Exercice 3 (5 points) PARTIE A.

Traduction des données :

- il y a 250 personnes et 32% sont des hommes : 250 0, 32× =80. Il y a 80 hommes.

- il y a donc 250 – 80 = 170 femmes.

- 2/5^ème des hommes sont dans la catégorie A : 2

80 32

× =5 hommes dans la catégorie A.

- 10 hommes sont dans la catégorie C.

- 20% du personnel, cad 250 0, 2× =50 personnes sont dans la catégorie C (Total colonne C).

On remplit alors le tableau sachant que dans la catégorie B, il y a autant de femmes que d’hommes.

Catégorie

SEXE

A B C Total

Femmes 92 38 40 170

Hommes 32 38 10 80

Total 124 76 50 250

Nombre d'appareils de chauffage

Rang G

2 3 4 5 6 7 8

240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500

0 1

200 220

x y

(8)

1. On tire au hasard le nom d’un employé, chaque employé ayant la même probabilité d’être choisi.

a.

( )

^. ¹²⁴ ⁶² ^0.5

. 250 125

eff de A

p A = eff total = = ≈ ^et

( )

^. ¹⁷⁰ ¹⁷ ^0.68

. 250 25

nbr de femmes

p F = eff total = = ≈ ^.

b. F∩A est l’évènement « être une femme de la catégorie A » et F∪A est l’évènement « être une femme ou être de la catégorie A ».

c. ^{p F}

(

^∩^A

)

: il y a 92 femmes de la catégorie A donc

( )

⁹² ⁴⁶ ^0.37

250 125

p F∩A = = ≈

^{p F}

(

^∪^A

)

: d’après le cours,

( ) ( ) ( ) ( )

²⁰² ¹⁰¹ ^0.81

250 125

p F∪A = p F + p A −p F ∩A = = ≈ _.

d. Etre un homme est noté F. Etre de la catégorie B ou C, c’est ne pas être de la catégorie A donc, on le note A. Etre les deux simultanément est donc noté F∩A

2. Parmi les hommes, déterminer la probabilité d’être de la catégorie C ? Il y a 80 hommes dont 10 de la catégorie C donc 10 1

80 8 0.13

p= = ≈ .

3. Déterminer la probabilité d’être un homme sachant qu’on est de la catégorie C ? Il y a 50 personnes de la catégorie C dont 10 hommes donc 10 1

50 5 0.2

p= = = ^.

PARTIE B.

On suppose que les personnes de la catégorie A ont une paye de 1100€ par mois, que ceux de la

catégorie B touchent 20% de plus et que ceux de la catégorie C ont 1700€

par mois.

La moyenne en Euros est alors donnée par 1100 92 ...1700 40 170 1290

x= × + × ≈ .

Exercice 4.

1. Graphiquement, g(-2) = -3 et g(1) = 0.

Rappelons que par définition, g’(a) est le coefficient de la tangente à la courbe au point d’abscisse a : on lit alors g’(-2) = 3 et g’(1) = -4.

2. Voici le tableau de variation de g →

3. Voici le tableau de signes de g

(on regarde pour quelles valeurs de x la courbe est au dessus ou en dessous de l’axe des abscisses) :

4. A l’aide de la question 2, on obtient le tableau de signe de g’ : on voit déjà que la courbe 3 ne peut correspondre.

De plus, dans le 1 nous avons vu que g’(1) = -4 donc la courbe 1 ne correspond pas.

La courbe 2 est donc la seule courbe pouvant représenter g’.

Catégorie Effectif Salaire

A 92 1100

B 38 1320

C 40 1700

x -3 0 2 3.5 g

-4

ր 2

ց -2

ր 2.5

x -3 -1 1 3 3.5 g -

0 + 0 - 0 +

x -3 0 2 3.5 g’ +

0 - 0 +