2009-2010 DS 03

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2^nde 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 DEVOIR SURVEILLE n°3 15/01/10 Durée : 2 heures

Calculatrice AUTORISEE

Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation.

Le barème est indicatif.

Exercice 1 : (7 points)

On considère la fonction

f

définie par :

f ( x ) = 9 − ( x − 2 )

² (On note cette écriture « forme A »).

1) Donner l’ensemble de définition de

f

. Justifier.

2) a) Compléter le tableau suivant à l’aide de la calculatrice. Arrondir au 10^ème si besoin.

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

) ( x f

b) Tracer ci-dessous dans un repère orthonormé (O, I, J) la courbe de

f

pour

x ∈ [ 0 ; 5 ]

. 3) a) Développer

f (x )

. On notera cette écriture « forme B »

b) Montrer que

f ( x ) = ( x + 1 )( − x + 5 )

. On notera cette écriture « forme C »

c) Quelle sera la forme la plus adaptée pour résoudre l’équation

f ( x ) = 0

? Résoudre cette équation.

4) Résoudre graphiquement sur l’intervalle [0 ; 5] l’équation

f ( x ) = 8

, puis l’inéquation

f ( x ) ≤ 8

5) Résoudre l’équation de la question 4 algébriquement (c’est-à-dire par le calcul) en choisissant la forme de

f (x )

adaptée.

2 3 4 5 6 7

-1 -2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

0 1

1

x y

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Exercice 2 (2,5 points)

Soit

f

une fonction définie sur [0 ; 10]. Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse et justifier rapidement la réponse (dans le cas « faux », un contre-exemple suffit !).

a) Si

f ( 0 ) = 1

et

f ( 10 ) = 5

, alors

f

est croissante sur [0 ; 10].

b) Si

f

est croissante sur [3 ; 4], alors

) 7 ( 23 7 )

( 22 f

f ≤

.

c) Si

f

est décroissante sur [0 ; 5] et

f ( 5 ) = 0

, alors pour tout

x

appartenant à [0 ; 5],

f ( x ) ≥ 0

d) Si

f

est croissante sur [0 ; 6], décroissante sur [6 ; 10], et si

f ( 6 ) = 4

alors le maximum de

f

sur [0 ; 10] est 4.

Exercice 3 (4,5 points)

On se place dans un repère orthonormé (O, I, J).

On considère les points

A ( 1 ; 6 )

,

B ( − 5 ; − 2 )

et

C ( − 3 ; − 4 )

.

1)

Placer les points dans le repère ci-dessous. Penser à mettre à jour la figure dans la suite de l’exercice.

2)

a) Calculer les coordonnées de I le milieu de [AB].

b) Déterminer par le calcul l’équation de la droite (CI).

3) Soit G le point de coordonnées (1 ; 0) Vérifier que

G ∈ (CI )

4) On note J le milieu de [BC]

Sachant que l’équation de la médiane (AJ) est

x = 1

, que peut-on en conclure pour G ? Expliquer

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5

0 1

1

x y

Exercice 4 (6 points)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J) on considère les points

K (− 2 ; 5 )

,

L ( 8 ; 1 )

,

M ( 10 ; 9 )

et

N ( 0 ; 3 )

. 1) Démontrer que KLMN est un parallélogramme.

2) a) Calculer les coordonnées de I le milieu de [KL].

b) Calculer les coordonnées du point R tel que KIRN soit un parallélogramme.

3) Calculer KL, KN et NL. En déduire la nature du triangle KLN.

4) On considère le point

P ( 13 ; 4 )

. Les points K, L et P sont-ils alignés ? Justifier soigneusement en indiquant la méthode utilisée.

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Exercice 1

1. Pour toute valeur de x, on peut calculer f(x), par conséquent

D_f =ℝ

. 2a. A l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, on obtient :

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 f(x) 5 6,8 8 8,8 9 8,8 8 6,8 5 2,8 0 2b. Voir la courbe en fin d’exercice.

3a. On développe :

^{f x( )}

^{= − −}

⁹

(

^{x 2}

)

²

^{= −}

⁹

(

^x2

⁻

^4x

^{+ = − +}

⁴

)

^{x2 4x}

⁺

⁵

^.

3b. Développons la forme donnée exercice dans l’énoncé : (

^x

⁺

¹

)( ^{− + = − +}

^{x 5}

)

^{x2 5x}

^{− + = − +}

^{x 5 x2 4x}

⁺

⁵

^{et on} reconnaît bien l’expression de f(x).

3c. La forme précédente est la plus adaptée pour résoudre l’équation f(x) = 0.

On a

^{f x( )}

^{= ⇔}

⁰

(

^x

⁺

¹

)( − + = ⇔ + =

^{x 5}

)

⁰

[

^{x 1 0 ou}

− + = ⇔

^{x 5 0}

] [

^x

= −

^{1 ou x}

=

⁵

] . 4. Voir le graphique pour les traits de construction.

> Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = 8, on trace la droite d’équation y = 8, on lit l’abscisse de ses points d’intersection avec Cf.

On trouve graphiquement que

^{f x( )}

^{= ⇔}

⁸

[

^x

⁼

^{1ou x}

⁼

³

] ^.

> Pour résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≤ 8, on trace la droite d’équation y = 8, on lit l’abscisse des points de Cf situés sous la droite.

On trouve graphiquement que

f x( )≤ ⇔ ∈8 x [0;1] [3;5]∪

. 5. A l’aide de la première expression de f on obtient :

( )

²

( )

²

[ ]

( ) 8 9 2 8 2 1 2 1 2 1

f x = ⇔ − −x = ⇔ x− = ⇔ − =x ou x− = −

cad x = 1 ou 3, ce qui correspond à la lecture graphique.

Exercice 2

a. Faux : prendre par exemple une fonction f telle que f(0) = 1, f(10) = 5 et f(5) = 8 : entre 0 et 5, la fonction peut faire n’importe quoi en terme de variations !

b. Vrai : comme

^{22 23;}

[ ]

^{3; 4}

7 7

 

 

⊂

 

, par définition d’une fonction croissante on a

^{22 23}

7 7

f  f 

 

≤

 

   

.

c. Vrai : en effet, un tableau de variation nous confirmerait que comme f est décroissante alors f(5) est un minimum de 5 et donc f est positive.

d. Vrai : faire un tableau de variations pour s’en convaincre.

2 3 4 2 3

4 5 6 7

-1 0 1 1

x

y

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http://mathemitec.free.fr/index.php Exercice 3

2a. Les coordonnées du milieu I de [AB] sont

;

2 2

A B A B

x +x y +y

 

 

 

cad

^I

( )

^{3; 2}

^.

2b. La droite (CI) est non verticale puisque C et I ont des abscisses différentes, elle a donc une équation de la forme y = ax + b.

> D’après le cours, on a

^{C I} .. 1

C I

y y a x x

= − = =

−

donc (CI) : y = x + b.

> Comme C est sur la droite, ces coordonnées vérifient son équation donc -4 = -3 + b donc b = -1.

> Ainsi, (CI) : y = x – 1.

3. G appartient ssi ses coordonnées vérifient l’équation de la droite (CI).

Comme

x_G− = − = =1 1 1 0 y_G

, G est bien sur la droite.

4.

> Comme

x_G =1

, G est sur la droite (AJ) d’équation x = 1 : remarquons que (AJ) est une médiane.

> Mais d’après le 3, G est aussi sur la médiane (CI).

> Comme les médianes d’un triangles sont concourantes en leur centre de gravité, G est le centre de gravité du triangle (deux médianes suffisent).

Exercice 4

1. Le quadrilatère KLMN est un parallélogramme ssi

KL=NM

. D’autre part,

^{L K}

L K

x x KL y y

−

 

 

−

 

cad

¹⁰

KL6 

 

 

et

¹⁰

NM6 

 

 

: ces vecteurs ont les mêmes coordonnées donc sont bien égaux.

2a. Les coordonnées du milieu I de [KL] sont

;

2 2

K L K L

x +x y +y

 

 

 

cad

^I

(

^{3; 2}

⁻ ) ^. 2b. Comme KIRN est un parallélogramme on a

KI

=

NR

.

Soit

R ^x y

  

 

: on a

⁵

KI 3

  

et

3 NR x

y

 

 

−

 

: comme ces deux vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont

identiques donc on a

^{5 5}

3 3 6

x x

y y

= =

 

⇔

 

= − =

 

: on a donc

⁵

R 6

  

. 3.

> On a

^KL=

(

^xL−xK

) (

^{2+ yL−yK}

)

^{2 = =.. 136}

^,

^{KN= =... 68}

^et

^{LN = =... 68}

^.

> Comme KL = LN, le triangle est isocèle en N.

> Par ailleurs, KL² = KN² + NL² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en N.

4. D’après le cours, K, L et P sont alignés ssi

KL

et

KP

sont colinéaires.

On a

¹⁰

KL6 

 

 

et

¹⁵

KP9 

 

 

: leur déterminant vaut

10 9 6 15× − × =90 90− =0

donc ces vecteurs sont colinéaires et les points sont bien alignés.