DS3-1ère STGG-Taux d\'évolution-pourcentages

(1)

DSN°3 MATHEMATIQUES TAUX D’EVOLUTION 1°STGG-GC- 2009-2010 Exercice1 QCM 6 points

1. Le nombre d’habitants d’une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006.

Le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

a. 11% b. 12,6 % c. 11, 2%

2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d’une baisse de 15 % revient à :

a . ne procéder à aucune modification. b . effectuer une augmentation de ^{2, 25%}. c. effectuer une diminution de ^{2, 25%}.

3. Sur 120 candidats à un concours, 84 ont échoué. Quel est le pourcentage de candidats reçus ? a . ^{70 %} b . ^{30 %} c. ^41%

4. 40% des personnes assistant à la projection d’un film, soit 34 spectateurs, ont payé demi-tarif.

Combien y a-t-il de spectateurs dans la salle ?

a . 85 b . 57 c. 13

5. Une production a diminué de 7,5% entre 1995 et 1996, puis elle a augmenté de 4,5% entre 1996 et 1997.

Son pourcentage de variation entre 1995 et 1997 est égal environ à …

a . 12,3% b . 3,3% % c. 3%. Exercice 2 ( 14 points ) : les questions suivantes sont indépendantes

1. Après une hausse de 6,25% le prix d’un article est de 272€.

Quel était le prix de cet article avant la hausse ?

2. Après une baisse de 5,6% le prix d’un article est de 236€. Quel était le prix de cet article avant la baisse?

3. Quel est le taux d’évolution d’un article qui baisse successivement de 5% puis de 6% ?

4. Après une augmentation de 28% sur le prix d’un objet, quel devra être le taux de la remise pour retrouver le prix de initial ?

5. Un prix a subi une hausse de 3 % suivie d’une baisse de 5 %. Calculer le coefficient multiplicateur puis le taux d’évolution global sous forme décimale.

S’agit-il d’une hausse ou d’une baisse ? Donner le taux d’évolution global en pourcentage.

6. Après deux augmentations successives de 12% puis de 8%, le prix d’un article ménager est de 665,28 €.

Quel était le prix initial de cet article ?

7. Une chemise à 200 € est soldée à 30%. Les clients ayant une carte de fidélité ont droit en plus, à une réduction de 20% sur le prix soldé.

Quel est le taux de la remise finalement consentie aux clients ayant la carte de fidélité ?

8. Un commerçant achète ses articles chez un grossiste qu’il revend augmenté d’une marge bénéficiaire de 56,25% du prix d’achat.

a. Quel est le prix de vente d’un article que le commerçant a acheté 160€ ? b. Un article est vendu à 375€, à quel prix le commerçant l’a-t-il acheté ? c. Quelle proportion du prix de vente, le prix d’achat représente-t-il ?

d. Pour augmenter sa marge, le commerçant souhaite que le prix d’achat ne représente plus que 62,5% du prix de vente. Quel pourcentage d’augmentation doit-il appliquer sur les prix d’achat ?

(2)

Exercice 1

1. Le nombre d’habitants d’une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006.

Le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 est : ² ¹

1

139860 157500 17640

0,112

157500 157500

y y

t y

  

     , soit une baisse de^{11, 2%}

2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d’une baisse de 15 % revient à : 1  t



1 t1

 

1t2

 

 1 0,15 1 0,15

 





1,15 0,85 0,9775 

Donc ^t ^^{0,9775 1}^{  }^{0, 225} ; soit une baisse de^{2, 25%}.

3. Sur 120 candidats à un concours, 84 ont échoué. Quel est le taux en pourcentage de candidats reçus ? Nr N N e^{120 84 36}  . 36

100 30

t120  . Soit ^30%

4. 40% des personnes assistant à la projection d’un film, soit 34 spectateurs, ont payé demi-tarif.

Combien y a-t-il de spectateurs dans la salle ?

40 3400

34 85

100 N N 40

     .Soit 85 personnes

5. Une production a diminué de 7,5% entre 1995 et 1996, puis elle a augmenté de 4,5% entre 1996 et 1997.

Son pourcentage de variation entre 1995 et 1997 est égal environ à … 1  t



1 t1

 

1t2

 

 1 0,075 1 0,045

 





0,925 1,045 0,966625  t 0,966625 1  0, 033375 , soit une baisse égal environ à ^{3, 3%}

Exercice 2

1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 6,25% est : 6, 25

1 1,0625

M 100

C    .

Augmenter un prix de 6,25% revient à multiplier ce prix par 1,0625.

Soit pile montant en euros, du prix initial. Alors piest solution de l'équation :

272

1, 0625 256

1,0625

f i i

p  p  p   . Avant l'augmentation, le prix de l'article était de 256€.

2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5,6% est : 5,6

1 0,944

M 100

C    .

Diminuer un prix de 5,6% revient à multiplier ce prix par 0,944.

Soit pile montant en euros, du prix initial. Alors piest solution de l'équation :

236

0,944 250

0,944

f i i

p  p  p   . Avant la baisse, le prix de l'article était de 250€.

3. Les coefficients multiplicateurs associés respectivement à une baisse de 5% et de 6% sont : C_M1    1 t1 1 0,05 0,95 et C_M2    1 t2 1 0,06 0,94

Un article dont le prix baisse successivement de 5% puis de 6% a son prix multiplié successivement par 0,95 et 0,94.

En effet, soit V0la valeur initiale de l'article, la valeurV1 de cet article après les deux baisses successives de 5% puis de 6% est : V1 



1 t1

 

 1 t2



V0 0,95 0,95 V0 0,893V0.

Le coefficient multiplicateur associé aux deux baisses successives est donc égal à 0,893. Or CM   ¹ t ^0,893 t ^{0,893 1}  ^0,107. Donc le prix de l'article a finalement baissé de 10,7%.

4. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 28% est : 28

1 1, 28

M 100

C   

Notons V0le prix initial de l'article et C_M' 1 t'le coefficient multiplicateur associé à la baisse, alors

1 1

' 1 1 0,78125 1 0, 21875

1 1, 28

t  t      

 . Pour revenir à la valeur initiale après une augmentation

de 28%, il faut une remise de 21,875%.

5. Le prix d’un article a subit une hausse de 20% . Quel doit être le taux de remise pour que cet article retrouve son prix initial ?

Après la hausse de 20% le prix a été multiplié par 1+20%=1,2. Pour revenir au prix de départ, il faut

(3)

multiplier par 1/1,2 = 0,8333. De plus 0,8333=1-0,1667 donc il faut une baisse de 16,67% environ.

6. Le prix de départ x a été multiplié par 1,12 puis par 1,08 donc en tout il a été multiplié par C_M 1,12 1, 08 1, 2096  . (Donc une augmentation globale de 20,96%)

Pour avoir le prix initial on fait donc 665, 28

1, 2096 500 €.

7. Une chemise à 200 € est soldée à 30%. Les clients ayant une carte de fidélité ont droit en plus, à une réduction de 20% sur le prix soldé

1  t



1 t1

 

1t2

 

 1 0,3 1 0, 20

 





0,7 0,8 0,56  t 0,56 1  0, 44 , soit une baisse égal à 44%

8. a. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 56,25% est : 56, 25

1 1,5625

M 100

C   

D'où un prix de vente de 160×1,5625=250 L'article sera mis en vente à 250€.

b. Augmenter un prix de 56,25% revient à multiplier ce prix par 1,5625.

Soit pale montant en euros, du prix d'achat. Alors pvest solution de l'équation :pv  ⁽¹ t p⁾ a

1,5625 240

1,5625

v

a v a

p p p p

     . Le prix d'achat de l'article était de 240€.

c. Notons pa le prix d'achat de l'article, son prix de vente est alors pv  pa^1,5625. Par conséquent, la proportion du prix d'achat par rapport au prix de vente est : ^a

v

p p

 p

1

(1 ) 1,5625 1,5625 0,64

a a

p p

p p t  p  

   . Le prix d'achat représente 64% du prix de vente.

d. Notons pvle prix de vente de l'article. Soit CM  ¹ t^'le coefficient multiplicateur correspondant à l'augmentation en pourcentage du prix d'achat :

pv  



¹ t^'



pa, or ^a 0,625 _a 0,625 _v

v

p p donc p p

 p   , donc pv 



¹ t^'



pa  



¹ t^'



^0,625pv

1

1 ' 1,6 ' 1,6 1 ' 0,6

0,625

t t t

        . Le commerçant doit augmenter de 60% le prix d'achat.

(4)

Taux d’évolution et coefficient multiplicateur : Partie A

1. La BD Les tuniques rouges coûtait 9,50 € en janvier. Au cours du Salon de la BD en février, son prix a baissé de 4 %. Quel était ce nouveau prix ? Préciser le coefficient multiplicateur.

2. Le prix d’un CD a augmenté de 3,5 % ; il est maintenant de 12,45 €. Quel était l’ancien prix ? (On arrondira au centime près).

3. Un prix est passé de 1500 € à 1200 €. Calculer le taux d’évolution de ce prix puis faire une phrase pour exprimer cette évolution en pourcentage.

4. Un prix a subi une hausse de 3 % suivie d’une baisse de 5 %.

Calculer le coefficient multiplicateur puis le taux d’évolution global sous forme décimale (donner la valeur exacte et non une valeur approchée). S’agit-il d’une hausse ou d’une baisse ? Donner le taux d’évolution global en pourcentage.

Partie B

1. 610 000 candidats se sont présentés à l’examen du baccalauréat en France métropolitaine à la session de juin 2005 et 80,2 % d’entre eux ont réussi. Combien de candidats ont-ils échoué ?

2. Le prix d’un article est passé de 200 € à 1000 €. Calculer le taux d’évolution de ce prix en pourcentage.

3. Un prix T.T.C est de 129,90 € avec une T.V.A à 19,6 %. Calculer le prix H.T au centime près.

4. Le volume d’un ballon publicitaire a augmenté de 60 % sous l’effet de la chaleur.

De quel pourcentage ce volume doit-il diminuer pour retrouver sa valeur initiale ? 5. Le prix d’une denrée a augmenté de 7,6% la 1^ère année et diminué de 7,2 % la 2^ème année.

Calculer le taux d’évolution global du prix de cette denrée sur ces deux années.

S’agit-il d’une hausse ou d’une baisse ? Exprimer ce taux en pourcentage arrondi à 0,01 %.

6. Entre le 01/01/2007 et le 01/01/2009 le prix d’un article a augmenté de 2,4 %.

Quel est, en pourcentage, le taux moyen annuel d’évolution sur ces deux années ? (arrondir le résultat à 0,01 % ).

7. Une portion de 180g de saumon d’élevage fournit 1,5g d’oméga-3.

Calculer le pourcentage d’oméga-3 dans le saumon d’élevage (arrondir à 0,01 %).

Le pourcentage d’oméga-3 dans le saumon sauvage est de 0,78 %.

En déduire la quantité d’oméga-3 dans une portion de 180g de saumon sauvage.

8. À compter du 1^er juillet 2009, le taux de la TVA sur la restauration est fixé à 5,5 % contre 19,6 % précédemment.

Calculer le pourcentage de la baisse réelle par rapport au prix TTC initial d’une consommation.

On rappelle que le prix TTC est égal au prix HT augmenté de la TVA et que la TVA se calcule sur le prix hors taxes (HT).

9. La production mondiale de charbon en 2000 est de 4606,4 millions de tonnes.

a. Sachant que la production de charbon a augmenté de 1,4 % entre 1999 et 2000, déterminer la production

mondiale de charbon en 1999. Le résultat sera arrondi à 0,1 % près.

b. La production mondiale de charbon en 2007 est de 6395,6 millions de tonnes .Déterminer le taux d’évolution global de la production mondiale entre les années 2000 et 2007.

(5)

Le résultat sera arrondi à 0,1 % près.

Partie A

1. Soit y₁le prix initial et y₂le nouveau prix. 2

 

1 4

 

1 9,5 1 9,5 1 0,04 9,5 0,96 9,12

y  t y   100     . Le nouveau prix était 9,12 €. Le coefficient multiplicateur est 0,96.

2. ₁ ² 12,45 12,45

12,03 1 1 0,035 1,035

y y

 t  

  . Le prix initial était d’environ 12,03 €.

3. ² ¹

2

1200 1500 300 1500 1500 0,2

y y

t y

  

     . Le taux d’évolution est 0, 2ce qui correspond à une baisse de 20 %.

4. c 1 t .



¹ ₁

 

¹ ₂



¹ ¹ ³ ¹ ⁵ 1 1,03 0,95 1 0,9785 1 0,0215

100 100

tg  t t              . Le coefficient multiplicateur est 0,9785, le taux global d’évolution est 0,0215, ce qui correspond à une baisse de 2,15 %.

Partie B 1) 50,2

610000 489220

100   . 48 9220 candidats ont réussi. 610000−489220=120780 donc 120 780 candidats ont échoué.

Autre méthode : 100 80, 2 19,8  . 19,8 % des candidats ont échoué. 19,8

610000 120780

100  .

2) 1000 200 800 200 200 4

t    , donc le prix a augmenté de 400 %.

3) 19,6

1 1 1 0,196 1,196

c   t 100    . le coefficient multiplicateur de l’évolution est 1,196 .

129,9

108,61

1 1,196

HT TTC

p p

 t  

 , onc le prix HT est 108,61 euros au centime d’euro près.

4) 60

1 1 0,6 1,6

M 100

C      . Le coefficient multiplicateur de l’augmentation est donc 1,60.

1 1

' 1 1 0,625 1 0,375

1 1,6

t  t      

 .Celui de taux d’évolution réciproque est donc 0,375 . Le volume du ballon doit diminuer de 37,5 % pour revenir à sa valeur initiale.

5) ₁ ₁ 7,6

1 1 1 0,076 1,076

c    t 100   et ₂ ₂ 7,2

1 1 1 0,072 0,928

c    t 100  

c ¹ t_g  c₁ c₂  



¹ t₁

 

¹t₂



t_g  



¹ t₁

 

¹t₂



 1 1,076 0,928 1 0,9985 1     0,0015 Le taux d’évolution global est – 0,0015. Il s’agit d’une baisse de 0,15 %.

6) 2,4

1 1 0,024 1,024

c 100   . Le coefficient multiplicateur de l’évolution globale est 1,024.

t_m  1  t 1 1,024 1 1,0119 1 0,0119    . Le taux moyen annuel d’évolution est 1,19 %.

7) 1,5

100 100 0,83%

180 p n

 N    .Il y a 0,83 % d’oméga-3 dans le saumon d’élevage.

0,78 180 0,78

100 1,404

100 180 100

p n

t p

N

        .

Une part de 180g de saumon sauvage contient 1,404g d’oméga-3.

8.Soit p₀le prix HT d’une consommation.

Avec un taux de la TVA de 19,6% le prix TTC de cette consommation est de p₁ 1,196p₀ Avec un taux de la TVA de 5,5% le prix TTC de cette consommation est de p₂ 1,055p₀.

Par conséquent, le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution du prix TTC est de :

2 1 0 0

1,055

1,055 1,196 0,8821

1,196

M M M

p C p  p C  p C  

Soit t %, le pourcentage d'évolution du prix TTC : 1 t 0,8821 t 0,8821 1  0,1179 11,8%

La baisse du taux de la TVA devrait induire une baisse de 11,8 % du prix TTC initial d’une consommation.

(6)

Autre méthode : ² ¹ ⁰ ⁰

1 0

1,055 1,196 0,141

100 100 11,7893

1,196 1,196

p p

t t

p p



 

        soit : t 11,8%.

9.

a. 4606, 4

(1 0,014) 4606, 4 4542,8

1,014

q    q  .la production mondiale de charbon en 1999 était de 4542,8 millions de tonnes

b. ²⁰⁰⁷ ²⁰⁰⁰

2000

6395, 6 4606, 4

0,388 4606, 4

v v

t v

 

   . Le taux d’évolution global de la production mondiale entre

2000 et 2007 est de ^38,8%