DS3-1ère STGC-Taux d'évolution-pourcentages

DSN°3 MATHEMATIQUES TAUX D’EVOLUTION 1°STGG-GC- 2009-2010 Exercice1 QCM 5 points

1. Le nombre d’habitants d’une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006.

Le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

a. 11% b. 12,6 % c. 11, 2%

2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d’une baisse de 15 % revient à :

a . ne procéder à aucune modification. b . effectuer une augmentation de ^{2, 25%}. c. effectuer une diminution de ^{2, 25%}.

3. Sur 120 candidats à un concours, 48 ont échoué. Quel est le pourcentage de candidats reçus ? a . ^{60 %} b . ^{30 %} c. ^{40 %}

4. 40% des personnes assistant à la projection d’un film, soit 42 spectateurs, ont payé demi-tarif.

Combien y a-t-il de spectateurs dans la salle ?

a . 63 b . 105 c. 13

5. Une production a diminué de 7,5% entre 1995 et 1996, puis elle a augmenté de 4,5% entre 1996 et 1997.

Son pourcentage de variation entre 1995 et 1997 est égal environ à …

a . 12,3% b . 3,3% % c. 3%. Exercice 2 ( 15 points ) : les questions suivantes sont indépendantes

1. Après une hausse de 6,25% le prix d’un article est de 272€.

Quel était le prix de cet article avant la hausse ?

2. Après une baisse de 5,6% le prix d’un article est de 236€. Quel était le prix de cet article avant la baisse?

3. Quel est le taux d’évolution d’un article qui baisse successivement de 5% puis de 6% ?

4. Après une augmentation de 28% sur le prix d’un objet, quel devra être le taux de la remise pour retrouver le prix de initial ?

5. Un prix a subi une hausse de 3 % suivie d’une baisse de 5 %. Calculer le coefficient multiplicateur puis le taux d’évolution global sous forme décimale.

S’agit-il d’une hausse ou d’une baisse ? Donner le taux d’évolution global en pourcentage.

6. Après deux augmentations successives de 12% puis de 8%, le prix d’un article ménager est de 665,28 €.

Quel était le prix initial de cet article ?

7. Une chemise à 200 € est soldée à 30%. Les clients ayant une carte de fidélité ont droit en plus, à une réduction de 20% sur le prix soldé.

Quel est le taux de la remise finalement consentie aux clients ayant la carte de fidélité ?

8. Un commerçant achète ses articles chez un grossiste qu’il revend augmenté d’une marge bénéficiaire de 56,25% du prix d’achat.

a. Quel est le prix de vente d’un article que le commerçant a acheté 160€ ?

b. Un article est vendu à 375€, à quel prix le commerçant l’a-t-il acheté ?

c. Quelle proportion du prix de vente, le prix d’achat représente-t-il ?

Exercice 1

1. Le nombre d’habitants d’une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006.

Le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 est : ^{2 1}

1

139860 157500 17640

0,112

157500 157500

y y

t y

  

     , soit une baisse de^{11, 2%}

2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d’une baisse de 15 % revient à : 1  t



1 t1

 

1t2

 

 1 0,15 1 0,15

 





1,15 0,85 0,9775 

Donc ^{t 0,9775 1  0, 225} ; soit une baisse de^{2, 25%}.

3. Sur 120 candidats à un concours, 84 ont échoué. Quel est le taux en pourcentage de candidats reçus ? Nr N N e^{120 48 72}  . 72

100 60

t120  . Soit ^60%

4. 40% des personnes assistant à la projection d’un film, soit 34 spectateurs, ont payé demi-tarif.

Combien y a-t-il de spectateurs dans la salle ?

40 3400

34 85

100 N N 40

     .Soit 85 personnes

5. Une production a diminué de 7,5% entre 1995 et 1996, puis elle a augmenté de 4,5% entre 1996 et 1997.

Son pourcentage de variation entre 1995 et 1997 est égal environ à … 1  t



1 t1

 

1t2

 

 1 0,075 1 0,045

 





0,925 1,045 0,966625  t 0,966625 1  0, 033375 , soit une baisse égal environ à ^{3, 3%}

Exercice 2

1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 6,25% est : 6, 25

1 1,0625

M 100

C    .

Augmenter un prix de 6,25% revient à multiplier ce prix par 1,0625.

Soit pile montant en euros, du prix initial. Alors piest solution de l'équation :

272

1, 0625 256

1,0625

f i i

p  p  p   . Avant l'augmentation, le prix de l'article était de 256€.

2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5,6% est : 5,6

1 0,944

M 100

C    .

Diminuer un prix de 5,6% revient à multiplier ce prix par 0,944.

Soit pile montant en euros, du prix initial. Alors piest solution de l'équation :

236

0,944 250

0,944

f i i

p  p  p   . Avant la baisse, le prix de l'article était de 250€.

3. Les coefficients multiplicateurs associés respectivement à une baisse de 5% et de 6% sont : C_M1    1 t1 1 0,05 0,95 et C_M2    1 t2 1 0,06 0,94

Un article dont le prix baisse successivement de 5% puis de 6% a son prix multiplié successivement par 0,95 et 0,94.

En effet, soit V0la valeur initiale de l'article, la valeurV1 de cet article après les deux baisses successives de 5% puis de 6% est : V1 



1 t1

 

 1 t2



V0 0,95 0,95 V0 0,893V0.

Le coefficient multiplicateur associé aux deux baisses successives est donc égal à 0,893. Or CM   ¹ t ^0,893 t ^{0,893 1}  ^0,107. Donc le prix de l'article a finalement baissé de 10,7%.

4. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 28% est : 28

1 1, 28

M 100

C   

Notons V0le prix initial de l'article et C_M' 1 t'le coefficient multiplicateur associé à la baisse, alors

1 1

' 1 1 0,78125 1 0, 21875

1 1, 28

t  t      

 . Pour revenir à la valeur initiale après une augmentation

de 28%, il faut une remise de 21,875%.

5. Un prix a subi une hausse de 3 % suivie d’une baisse de 5 %. Calculer le coefficient multiplicateur puis le taux d’évolution global sous forme décimale. S’agit-il d’une hausse ou d’une baisse ?

Donner le taux d’évolution global en pourcentage.

C_M  



1 t1

 

 1 t2

 

 1 0,03

 

 1 0, 05



1, 03 0,95 0,9785  , comme C_M 1, donc c’est une baisse.

t_g    



1 t1

 

1 t2



  1



1 0,03

 

 1 0,05



 1 1,03 0,95 1 0,9785 1     0,0215 Il s’agit d’une réduction de 2,15%

6. Le prix initial pi a été multiplié par 1,12 puis par 1,08 donc en tout il a été multiplié par

C_M 1,12 1, 08 1, 2096  . ( Donc une augmentation globale de 20,96%), donc p_f  p_i1, 2096 665, 28 Pour avoir le prix initial on fait donc 665, 28

1, 2096 550

pi   €.

7. Une chemise à 200 € est soldée à 30%. Les clients ayant une carte de fidélité ont droit en plus, à une réduction de 20% sur le prix soldé.

1  t



1 t1

 

1t2

 

 1 0,3 1 0, 20

 





0,7 0,8 0,56  t 0,56 1  0, 44 , soit une baisse égal à 44%.

le taux de la remise finalement consentie aux clients ayant la carte de fidélité est de 44%

8. a. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 56,25% est : 56, 25

1 1,5625

M 100

C   

D'où un prix de vente de 160×1,5625=250 L'article sera mis en vente à 250€.

b. Augmenter un prix de 56,25% revient à multiplier ce prix par 1,5625.

Soit pale montant en euros, du prix d'achat. Alors pvest solution de l'équation :^p_v ^{ (1 t p)} _a

375

1,5625 240

1,5625 1,5625

v

a v a

p p p p

      . Le prix d'achat de l'article était de 240€.

c. Notons pa le prix d'achat de l'article, son prix de vente est alors pv  pa^1,5625. Par conséquent, la proportion du prix d'achat par rapport au prix de vente est : ^a

v

p p

 p

1

(1 ) 1,5625 1,5625 0,64

a a a

v a a

p p p

p p  p t  p  

   . Le prix d'achat représente 64% du prix de vente.

240

375 0,64

a v

p p

 p   ou 160

250 0,64

a v

p p

 p  

Exercice 1 :

1. Le prix d’un produit est passé de 250 € en 2001 à 280 € en 2005. On note y1 le prix du produit en 2001 et y2le prix du produit en 2005.

a. Calculer la variation absolue du prix du produit entre 2001 et 2005.

b. Calculer le taux d’évolution t1 du prix du produit entre 2001 et 2005.

c. En déduire le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution.

2. En 2006, le prix de ce produit a diminué de 2,5 %. On note y3le prix du produit en 2006 et t2le taux d’évolution du prix du produit entre 2005 et 2006.

a. Déterminer le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution . b. En déduire le prix du produit en 2006.

3. On se propose de calculer le taux d’évolution global T du prix du produit de 2001 à 2006.

À l’aide des questions 1– c. et 2– a., déterminer le coefficient multiplicateur global correspondant à cette évolution . En déduire T puis conclure.

4. À l’aide de la question 3–b., calculer le taux de l’évolution réciproque qu’il faudrait appliquer pour que le produit en 2006 revienne à son prix de 2001.

Exercice 2

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Quel coefficient multiplicateur correspond à une baisse de 18 % ? même question pour une hausse de 94,12%.

À quel pourcentage d'évolution correspond un coefficient multiplicateur de 1,206 ? de 2,15 ? de 0,79 ? 2. Après une réduction de 12 %, un article valait 138,60 €. Quel était son prix initial ?

3. En 2007, 49% des ménages français ont une connexion Internet, dont 86% de type ADSL.

Quel était le pourcentage des ménages français équipés d’une connexion ADSL ? 4. Le prix d’un article augmente de 8% puis diminue de 8%.

Quel est le pourcentage d’évolution du prix de cet article ? 5. Le prix d’un article augmente de 8% puis diminue de 8%.

Quel est le taux d’évolution du prix de cet article ? Exercice 3

Année 2005 2006

Population active totale (en milliers) 27 400 27 600 Taux de chômage (en % de la population active) 8,85 8,81 À partir des données figurant dans le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes : 1. De 2005 à 2006 le nombre de chômeurs a-t-il augmenté ou diminué ?

2. Calculer le pourcentage d’évolution du nombre de chômeurs de 2005 à 2006. (Arrondir le taux au millième).

3. En 2006, les hommes représentaient 53% de la population active totale. Le taux de chômage chez les hommes était de 8,1%.

a. Calculer le nombre d'hommes au chômage (en milliers) en 2006.

b. Calculer le taux de chômage chez les femmes en 2006.

Exercice 4

En France, de décembre 2005 à décembre 2006, les prix des logements anciens ont augmenté de 10 % puis, de décembre 2006 à décembre 2007, les prix ont augmenté de 5,7 % et de décembre 2007 à décembre 2008, les prix ont diminué de 3%.

1. Calculer le taux d’évolution du prix des logements anciens de décembre 2005 à décembre 2008.

2. Au cours du premier semestre 2009, les prix des logements anciens ont encore diminué de 6,6%.

Quel devra être le taux d’évolution du prix des logements anciens au cours du deuxième semestre 2009 pour retrouver le prix de décembre 2005 ?

Exercice 1 Évolutions – Évolution réciproque

1a. y2 – y1 = 280 – 250 = 30. De 2001 à 2005, le prix du produit a augmenté de 30 €.

b. t1 = 0,12. De 2001 à 2005, le prix du produit a augmenté de 12 %.

c. Le coefficient multiplicateur est 1 + t1 = 1 + 0,12 = 1,12.

2 a. t2 = – 0,025 et 1 + t2 = 1 – 0,025 = 0,975.

b. En déduire le prix du produit en 2006. Pour cela : × 0,975 : y₂ 280^0,975 y₃ y =₃ 0 975, × y₂

• Écrire l’égalité reliant y3 à y2 et t2. y 3 = 0,975 × 280 = 273.

Le prix de ce produit après une diminution de 2,5 % est 273 €.

3 Le coefficient multiplicateur est 1 + T = (1 + t1 ) × (1 + t2 ) = 1,12 × 0,975 = 1,092.

2. T = 1,092 – 1 = 0,092. De 2001 à 2006, le prix du produit a augmenté de 9,2 %.

4 On a la relation : 1  1   

T'= 1= 1 0,842

1+T 1,092 ; soit une baisse d’environ 8,42 %.

Corrigé de l'exercice 2

1. Le coefficient multiplicateur associé à un pourcentage d'évolution de t % est égal à 1t%.

Par conséquent le coefficient multiplicateur qui correspond à une baisse de 18 % est égal à 1 0,18 0,82  Le coefficient multiplicateur qui correspond à une hausse de 94,12% est égal à 1 0,9412 1,9412  . 2. À quel pourcentage d'évolution correspond un coefficient multiplicateur de 1,206 ? de 2,15 ? de 0,79 ? 1 t 1,206 t 1,206 1 0,206  ; 1 t 2,15 t 2,15 1 1,15  ; 1 t 0,79 t 0,79 1  0,21. Le coefficient multiplicateur 1,206 correspond à une hausse de 20,6%. Le coefficient multiplicateur 2,15 correspond à une hausse de 115%. Le coefficient multiplicateur 0,79 correspond à une baisse de 21%

3. Le coefficient multiplicateur associé à une réduction de 12 % est : 12

1 1 0,12 0,88

M 100

C     

Diminuer un prix de 12% revient à multiplier ce prix par 0,88.

Soit p0 le montant en euros, du prix initial. Alors p0est solution de l'équation :

0 0

138,60

0,88 157,5

f 0,88

p  p  p   . Avant la remise, le prix de l'article était de 157,50€.

4. 86% des 49% des ménages français ont une connexion ADSL :

N_ADSL  p p N' _F   P p p' P 0,86 0, 49 0, 4214  .Soit P42,14%. En 2007, 42,14% des ménages étaient équipés d'une connexion Internet de type ADSL.

5. les coefficients multiplicateurs associés respectivement à une augmentation de 8% et une baisse de 8%

sont :

1

1 8 1 0,08 1,08

M 100

C      et

2

1 8 1 0,08 0,92

M 100

C      .

Un article dont le prix augmente de 8% puis diminue de 8% a son prix initial multiplié successivement par C_M C_M1C_M2 1,08 0,92 0,9936  .

Soit V0 la valeur initiale de l'article, la valeur V1 de cet article après les deux variations successives est : V1C_M V C_M1C_M2 V0 0,9936V0

Soit t %, le pourcentage d'évolution global associé aux deux variations successives :

1 t 0,9936 t 0,9936 1  0,0064. Donc le prix de l'article a finalement baissé de 0,64%.

Exercice 3

Année 2005 2006

Population active totale (en milliers) 27 400 27 600 Taux de chômage (en % de la population active) 8,85 8,81

À partir des données figurant dans le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes : De 2005 à 2006 le nombre de chômeurs a-t-il augmenté ou diminué ?

1. Calculons le nombre de chômeurs pour les années 2005 et 2006

Année 2005 2006

Nombre de chômeurs (en milliers) 27400×8,85100=2424,9 27600×8,81100=2431,56 De 2005 à 2006 le nombre de chômeurs a augmenté de 6 600.

2. Calculer le pourcentage d’évolution du nombre de chômeurs de 2005 à 2006.

(Arrondir le taux au millième).

Le taux d’évolution du nombre de chômeurs de 2005 à 2006 est : 2431,56 2424,9

100 100 0,274

2424,9

f i i

v v

t v

 

     .

De 2005 à 2006 le nombre de chômeurs a augmenté de 0,274 %.

3. En 2006, les hommes représentaient 53% de la population active totale. Le taux de chômage chez les

hommes était de 8,1%. Calculer le nombre d'hommes au chômage (en milliers) en 2006.

Le nombre de milliers d'hommes au chômage est 53 8,1

27600 1184,868

100 100

NHCH    

Arrondi au millier près, le nombre d'hommes au chômage en 2006 était de 1185 milliers.

4. Calculer le taux de chômage chez les femmes en 2006.

La part en pourcentage de femmes dans la population active est t_f  1 0,53 0,47 . Soit 47%

Soit t le taux de chômage chez les femmes en 2006. La part en pourcentage de femmes au chômage dans la population active est : N_FCH 0,47t

8,81% de l'ensemble de la population active étant au chômage, nous avons : t_CH t_HCH t_FCH 0,0881 0,53 0,081 0,47    t 0,04293 0,47  t 0,0881

0,04517

0,47 0,0881 0,04293 0,04517 0,0961

t t 0,47

      

En 2006, le taux de chômage chez les femmes était de 9,6%.

Exercice 5.

Calculer le pourcentage d’évolution du prix des logements anciens de décembre 2005 à décembre 2008.

Les coefficients multiplicateurs associés aux différents pourcentages d'évolution sont ₁ 10

1 1,1

M 100

C    .

2

1 5,7 1,057

M 100

C    et

3

1 3 1,03

M 100

C    . Notonsp₁les prix des logements anciens en décembre 2005. p₂ les prix des logements anciens en décembre 2008 est : p₂1,1 1,057 0,97  p₁1,127819p₁

Soit t %, le pourcentage d'évolution global associé aux variations successives du prix des logements anciens. Nous avons donc : C_M  1 t_g 1,127819t_g 1,127819 1 0,127819 

De décembre 2005 à décembre 2008, les prix des logements anciens ont augmenté de 12,8 % 2 Le coefficient multiplicateurs associé à une baisse de 6,6% est C_M'   1 t' 1 0,066 0,934 . Soit t% le pourcentage d'évolution du prix des logements anciens au cours du deuxième semestre 2009 pour retrouver le prix de décembre 2005. t est solution de

1,128 0,934 1



₂



1,0535 1



₂



₂ ¹ 1 0,949 1 0,051 1,535

p   t  p t   p t     

Au cours du deuxième semestre 2009, les prix des logements anciens devront encore diminué de 5,1%

pour retrouver le prix de décembre 2005.