TP-fonctions logaritme terminales-STI-STL-PH-CH-2009-2010 -AVEC CORRIGES

Problème 1

Ce problème a pour but de montrer un exemple de courbes représentatives de deux fonctions qui sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux courbes.

Partie A: Détermination d'une fonction

On considère la courbe représentative C ,d’une fonction g définie sur



^{0 ;}



, dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unités graphiques 2 cm . Cette courbe est représentée sur le document fourni en annexe.

Les points d'intersection de C et de l'axe des abscisses ont pour coordonnées respectives (1 ; 0) et (3 ; 0).

1. Soient a et b deux nombres réels tels que, pour tout réel ^x



^0;



,

2

( ) x ax b

g x x

 

 .

En utilisant les coordonnées des points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses, déterminer les nombres a et b.

2. Montrer que g(x) peut s'écrire: 3

( ) 4

g x x

   x. Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction h définie sur



^{0 ;}



^{par :} h x( )x²  1 2lnx . 1. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variations.

2. Calculer h(1). En déduire que h(x) est strictement positif pour tout nombre réel x de



^{0 ;}



^.

Partie C : Étude de fonction

On définit la fonction f par : f x( ) x 4 ^{1 2ln}x x

    sur l'intervalle



^{0 ;}



.On appellera  la courbe représentative de f dans le repère orthogonal du document 1.

1.

a. Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers zéro.

b. En déduire que  admet une asymptote que l'on précisera.

2. Calculer la limite de f en



.

3. pour tout x de



^{0 ;}



montrer que ( )₂ '( ) h x

f x  x .En déduire le tableau de variations de f.

4. Courbes asymptotes. On rappelle que 3

( ) 4

g x x

   x

a. Calculer la limite en



de k(x) = f (x)  g(x) . Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection des courbes  et C . c. Sur



^{0 ;}



déterminer la position de la

courbe par rapport à la courbe C .

5. Construire la courbe  sur le document fourni en annexe et que l’on rendra avec la copie.

Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes

1. Montrer que f (x)  g(x) admet pour primitive sur



^{0 ;}



la fonction K définie par :

2 3 4 5 6 7 8

2 3 4

-1

-2

0 1

1

^{K x( )}



^lnx1



²

2. Sur le document fourni en annexe, hachurer l'aire comprise entre les deux courbes et les droites d'équations x = e et x = e².

3. Calculer la valeur de cette aire en cm². Problème2

On définit la fonction f sur ]0 ;+



[ par la relation: 2 2 ) ln

(   x²  x

x x f

Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire. On pose, pour x > 0, g(x)x³lnx1 1: Etudiez les variations de g sur ]0 ;+



^[

2: Calculez les valeurs suivantes : g(0,5) , g(1) , g(2) , g(e)

(on demande les valeurs exactes puis de donner une valeur approchée à 0,01 près par défaut) 3: Formez le tableau de signes de g( x ) sur ]0 ;+



[ en le justifiant.

Partie B: Etude de f .

On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1: a : Calculez la fonction dérivée de f, fonction notée f '.

b : Donnez une relation entre f '( x ) et g( x ) .

c : Formez alors le tableau de signes de f ' ( x ) puis le tableau de variations de f sur ]0;+



^[.

d : Etudiez la limite de f en 0 et en +



^.

e Montrez que pour tout x > 0 , on a : 3 ( ) 2 f x  2: A est le point de (C) d'abscisse e.

a : Donnez une équation de la tangente ( Te ) à (C) au point A.

b : Tracez la courbe (C) ainsi que ( Te ) et la tangente à (C) au point d'abscisse 1.

Partie C: Etude de l'équation "f( x ) = 0 , x > 0"

1: a : Montrez que l'équation "f( x ) = 0 , x > 0" admet exactement deux solutions que l'on notera a et b avec a<b .

b : Justifiez les encadrements suivants: 0,4358 < a < 0,4359 et 2,1712 < b < 2,1713.

c : Donnez en fonction de a et b le tableau de signes de f( x ) sur ]0;+



^[

2: On pose alors pour x > 0 ,

2 3

ln( )

( ) 2

2 6

x x

F x    x

a : Calculez la fonction dérivée de F sur ]0;+



^[.

b : Que pouvez-vous remarquer?

c : Quel est le tableau de variations de F sur ]0;+



[ . Justifiez votre réponse!

PROBLÈME 3

Dans tout le problème, le plan P est rapporté à un repère orthogonal _(O;^_i;^_j)d'unité graphique 2 cm.

Soit f la fonction définie sur ^]0;[par 2 ln

( ) x x

f x x

   Partie A

1. Il semble que l'axe des ordonnées soit asymptote à la courbe C . Le prouver par le calcul.

2. a) Vérifier que pour tout x de^]0;^[,

x x x x

f 2 ln

1 )

(   

b) Déterminer la limite de f en

 

^.

c) En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C. Donner son équation et la tracer sur la page 3. a) Prouver que, pour tout x de^]0;^[ 1 ₂ln

) (

' x

x x

f  

 .

b) Montrer que f ' (x) s'annule en changeant de signe en e^1.

c) Etablir le tableau de variation de f. Dans ce tableau, on donnera la valeur exacte du maximum de f.

d) Tracer La courbe représentative C de la fonction f dans le repère _(O;^_i;^_j) Partie B

1.Soit g la fonction définie sur ]0;[par

x x x

g 2

)

(   et H la courbe représentative de g . a) Etudier rapidement la fonction g sur ^]0;[ (dérivée, limites, tableau de variation).

b) Donner les équations des deux asymptotes de la courbe H . 2. a) Calculer f (x) g(x) et étudier son signe.

b) Montrer que les deux courbes C et H se coupent en un point K d'abscisse 1.

c) Etudier la position relative des deux courbes C et H . Placer le point K et construire la courbe H dans le repère précédent.

Partie C

1. Soit u la fonction définie sur ^]0;^[par ( ) ¹(ln )²

u x 2 x . Vérifier que u est une primitive de x

x ln sur ^]0;[.

soit ^{A( ) 4 ( ) }



^{u u(1)}



. On note A() l'aire du domaine limité par les courbes C et H et par les droites d'équation x =1 et x =  . Calculer A() en cm ².

3. Résoudre l’équation A()= 8 cm². Hachurer l'aire correspondante sur le graphique

PROBLEME 4

On considère la fonction g définie sur ]0.[, dont la représentation graphique ( C ) obtenue sur l'écran d'une calculatrice est donnée sur la figure (1) ci-contre.

On précise que la courbe ( C ) ne coupe l'axe des abscisses qu'en deux points et qu'elle admet l'axe des ordonnées et la droite (  ) qui est parallèle à l'axe des abscisses comme asymptotes : I - A partir de cette représentation graphique : Déterminer :

a) la limite de g(x) lorsque x tend vers 0,

b) la limite de g(x) lorsque x tend vers l'infini;

2 - Dresser un tableau donnant le signe de g(x) lorsque x décrit l'intervalle ^]0.[ II - On admet que ( ) ² ₂

x c bx x ax

g    où a , b et c sont trois nombres réels.

1 - En calculant la limite de ² ₂ x

c bx ax  

lorsque x tend vers l'infini, montrer que a = 1.

2 - Lire g(1) et g(3) sur le graphique et en déduire un système de deux équations permettant d'obtenir b et c.

3 - Résoudre ce système et exprimer g(x) en remplaçant a, b et c par leur valeurs.

PARTIE B : Etude d'une fonction

I - On considère la fonction f définie sur ^]0.[par x x x x

f 34ln  )

( 1 - a) En mettant

x

1 en facteur dans l'expression de f(x), montrer que la limite de ( )f x lorsque x tend vers

 

^est

égale à

 

^.

b) En mettant x

1 en facteur dans l'expression de ( )f x , montrer que la limite de ( )f x lorsque x tend vers 0 est égale à

 

2 - a) Calculer f '(x) et montrer que f '(x) = g(x).

b) Utiliser les résultats de la partie A pour en déduire le tableau de variation de f.

c) Calculer les valeurs exactes de f (1) et f (3).

II - En utilisant le tableau de variation de f, justifier que l'équation f (x) = 0 1 - a) n'admet pas de solution dans l'intervalle ] 0 ; 3 ] ,

b) admet une solution unique notée , dans l'intervalle [3 ; 10] , c) n'admet pas de solution dans l'intervalle ]10 ;

 

[ ,

2 - Compléter le tableau (document à rendre avec votre copie) et en déduire un encadrement d'amplitude 1^ de .

Tableau à compléter

2 3

0 1

1

x 9,15 9,16 9,17 9,18 9,19 9,20 9,21 9,22 9,23 9,24 9,25 f(x)

On donnera les valeurs arrondies de f(x) au millième près.

PARTIE C : Calcul d'aires

1- Montrer que f( 3)2ln3 (détailler les calculs sur votre copie).

2- Le tracé de la courbe (C) représentant g dans un repère orthogonal ( ; ; )O i j 

est donné sur la figure (2).

(Document à rendre avec votre copie).

a) Soit D le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe (C) d'une part et les droites d'équations : x =1 et x = 3 d'autre part.

Calculer la valeur exacte de son aire A exprimée en unités d'aires. ( On rappelle que g = f ' )

b) Tracer la droite (D) d'équation x = ³et montrer qu'elle partage le domaine D en deux domaines d'aires égales.

PROBLEME 5

Partie A : Etude du signe de g x( )x³ 1 2lnx

Soit g la fonction définie sur



^{0 ;}



par g x( )x³ 1 2lnx. ( ln x désigne le logarithme népérien de x) 1. Calculer g'(x) et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variation de la fonction g. (Les limites ne sont pas demandées). Calculer g(1).

3. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) sur l'intervalle



0 ;



. Partie B : On considère la fonction f définie sur



0 ;



par : f x( ) x 1 ^ln₂x

   x .

On appelle (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal



^{O i j; ; }



.( unités :3 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

1.a Déterminer lim ( )_x f x

 . lim ( )₀

x f x



1.b Montrer que la droite (D) d'équation y x 1est asymptote oblique à (C ).

Y a-t-il une autre asymptote à (C ) ? Si oui, donner son équation.

1.c Calculer '( )f x et montrer que l'on peut écrire ^{f x'( ) g x( )}₃

 x

1.d En utilisant les résultats précédents, déterminer le signe de f '(x), puis dresser le tableau de variation de f.

1.e Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote (D ) et la courbe (C ).

Etudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (D ).

1.f Tracer dans le repère



^{O i j; ; }



la courbe (C ) et les droites (D ).

2.a Montrer que la fonction H définie par : ^{H x( ) 1}



^{1 lnx}



x

  est une primitive de la fonction h définie sur



^{0 ;}



par : ln₂

( ) x

h x  x .

2.b Soit le domaine plan limité par (D ), (C ) et les droites d'équation x = 1 et x e. Hachurer ;

calculer la valeur exacte de l'aire, en cm², de ; en donner une valeur approchée au mm² Problème6

Le but du problème est d'étudier la position relative de deux courbes et de calculer l'aire du domaine plan compris entre ces dernières. Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( ; ; )O i j 

d'unités graphiques 5cm sur l'axe des abscisses et 4cm sur l'axe des ordonnées.

Sur la feuille réponse ci-jointe (cf. en dernière page), ont été tracées les courbes représentatives C et



respectivement des deux fonctions f et g , définies pour tout réel x de l'intervalle ]0, 3], Par : f (x) = x – ln x et g(x) = x  ( ln x )²

Partie 1 : Étude des fonctions f et g .

1. (a) Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe C ? (b) On désigne par f' la fonction dérivée de f sur ] 0, 3].

Calculer f '(x) et dresser le tableau de variation de f sur ] 0 , 3].

2. On désigne par g ' la fonction dérivée de g sur ] 0, 3]. Calculer g '( x ). En admettant que ( x 2ln x ) est positif sur ] 0 , 3] , en déduire que g est strictement croissante sur ] 0 , 3].

3. Désigner sur la feuille-réponse (cf. ci-dessous), la courbe C et la courbe



^.

Partie 2 : Position relative des deux courbes.

1. (a) Résoudre sur ]0, 3], l'équation g( x ) = f (x).

(b) En déduire les coordonnées des points d'intersection M et N des courbes C et



.

Placer M et N sur la feuille-réponse.

2. (a) Résoudre sur ]0, 3], l'inéquation g(x)  f(x).

(b) En déduire la position relative des courbes C et  sur l'intervalle [1 , e].

Partie 3: Calcul d'une aire.

On désigne par D l'ensemble des points M( x , y) du plan tels que : 1 xe et f(x) y g(x) et par A son aire exprimée en cm². On admet que, en unités d'aire, on a:

1^e( ( )g x  f x dx( ))



^.

1. Hachurer D sur la feuille-réponse.

2. Soit la fonction H définie sur [1, e]

par: H(x) = x( ln x)² + 3 x ln x 3x.

a) Vérifier que la fonction H est une

primitive de la fonction ( g –f ) sur [1, e].

b) Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de A.

c) En donner une valeur approchée au mm² près par excès

.

PROBLEME 7

Partie A

On considère la fonction g définie sur l'intervalle I = ] 0; +



^{[ par :} g x( ) 4 lnx x ²6 ( où ln désigne le logarithme népérien).

1.a. Calculer g x'( ) pour tout ^x



^{0 ;}



^.

b. Montrer queg x'( ) 0 sur I pour la seule valeur x 2^. c. Etudier le signe de g x'( ) sur I.

d. montrer que le tableau de variation de la fonction g est donné par

2. a. Calculer la valeur exacte de ^g

 

^{2 .}

b. Montrer que g est fonction positive sur l’intervalle I

x 0 2 +



g’(x)  0 +

g(x)

 

²

g

c. Etudier les limites de g(x) en 0 et en , et donner le tableau de variation complet de la fonction g.

Partie B

On se propose d’étudier la fonction f définie sur ] 0 ; +[ par : 1 ln

( ) 4 2

x x

f x   x x On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; ; )^{ }i j ^d’unités graphiques : 4 cm .

1. Calculer lim ( )₀

x _ f x

 . En déduire l’existence d’une asymptote que l’on précisera.

3. Calculerlim ( )

x f x

 . (Etudier la limite de la fonction f lorsque x tend vers).

2 3

2

0 1

1

x y

4.soit ( la droite d’équation

4

y  x

. On considère la fonction h définie sur ]0 ; +[ par ( ) ( ) 4 h x  f x x. a. Démontrer que ( est asymptote à la courbe C.

b. Calculer les coordonnées du point d’intersection de C et  c. Etudier la position relative de C et  sur ]0 ; +[

5. a. Calculer f ’(x) pour tout ^x



^{0 ;}



. f ’ est la fonction dérivée de la fonction f

b. Vérifier que pour tout x de ]0 ; +[ : f ’(x) =

( )

₂

4 g x

x

^.

c. Déduire de la partie A le sens de variation de f sur ]0 ; +[.

6. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe C au point A d’abscisse 1.

7. Tracer C , (T ) et les asymptotes à la courbe C dans le repère (O ; ; )^{ }i j ^. 8. Démontrer qu’il existe un seul réel  de l’intervalle



1; 2 tel que



f( ) 0



 .

à l’aide de la calculatrice et en justifiant votre réponse Donner une valeur approchée de  à10^3près.

Partie C :

Soit k la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par k x( ) (ln ) x ² 1. On désigne par k’ la fonction dérivée de la fonction k .

Calculer k’(x) pour tout réel x de l’intervalle ] 0 ; + [.

2. En déduire une primitive H de la fonction h sur l’intervalle ] 0 ; + [ qui s’annule quand x vaut 1 . 3. Résoudre dans  l’équation u u(  1) 0,et en déduire les solutions de H(x) =0 dans l'intervalle I.

4/ On considère la fonction h définie sur ]0 ;  [ par

1 ln

( ) 2

h x x

x x

  

. a. En remarquant que

ln x

x

est de la forme u’(x).u(x), déterminer une primitive H de h.

b. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limitée par la courbe C , la droite D et les droites d'équation x e^{et x = e.}

c. Calculer en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe C , la droite D et les droites d'équation x eet x = e. Donner la valeur exacte .

PROBLÈME 8 Partie A

1) On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] 0; +



^{[ par :} f x( )ax²bx2lnx, où a et b sont deux nombres réels. On appelle C la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère

orthogonal ( ; ; )O i j 

d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Sachant que la courbe C passe par le point A ( 1 ; 2

13) et que le coefficient directeur de la tangente en A est égal à 6, Déterminer les valeurs des nombres a et b.

2) Pour la suite du problème, on prendra f x x x 9x 2

ln 5 2 )

(   ²  .

a) Déterminer la limite en 0 de la fonction f. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

b) Vérifier que l'on peut écrire : 



 



  

 x x

x x x

f 9

2 5 2ln

)

( ² . En déduire la limite en +



de la fonction f.

Partie B

1) On désigne par f ' la fonction dérivée de J sur l'intervalle ] 0 ; +



^[.

a) Calculer f '(x).

b) Étudier le signe de f’ ( x) .

c) Dresser le tableau de variation de la fonction J sur l'intervalle ] 0; +



^[

2) a) Démontrer que, dans l'intervalle [3; 4], l'équation f(x) = 0 admet une unique solution, notée  . b) Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 0,01 de  .

3) Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbe C au point d'abscisse 1.

4) Tracer dans le repère ( ; ; )O i j 

la droite D et la courbe C.

Partie C

1) On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +



[ par : g(x) = x ln x  x . Expliciter la dérivée g' de la fonction g.

2) Déduire de la question précédente une primitive F de la fonction J sur l'intervalle ] 0 ; +



^[.

3) On appelle A la partie du plan située entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations x =  et x = 5 ( est défini à la question B. 2).Hachurer sur la figure la partie A.

b) On désigne par A l'aire, en unités d'aire, de la partie A. Calculer A en fonction de  puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée de .

Problème 9

Partie A On considère la fonction g définie sur ] 0 ;^

[ par

g x( ) 2x² 1 lnx

. 1. Calculer

g x'

  pour tout x de ]0 ;

^

[. Étudier son signe sur ] 0 ;

^

[.

2. Dresser le tableau de variations de g sur ]0 ;

^

[. (On ne demande pas les limites de g aux bornes de son ensemble de définition).

3. En déduire que pour tout x de ]0 ; [, ( ) 0g x  .

Partie B Soit f la fonction définie sur ] 0 ; [ par 1 ln

( ) 1

2 f x x x

     x .

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal ( ; , )O i j 

d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Calculer la limite de f en .

c. Démontrer que la droite  d’équationy  x 1est asymptote à la courbe C.

d. Étudier la position relative de C et  sur ]0 ; ^[.

2. a. Calculer ^f'

 

^x pour tout x0. Vérifier que pour tout x de ]0 ; ^[, ( )₂ '( ) 2 f x g x

 x . c. Déduire de la partie A. le tableau de variations de f sur ]0 ; [.

d. Calculer f(1). En déduire le signe de f sur ]0 ; [.

3. Dans le plan muni du repère ( ; , )O i j 

, tracer la droite  et la courbe C.

Partie C

1. Vérifier que la fonction F définie sur ]0 ; [ par ^{( ) 1 2 1}



^ln



²

2 4

F x   x  x x est une primitive de f.

2. a. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x = e.

b. Calculer la valeur exacte de l’aire en cm²,de la partie E, puis en donner la valeur arrondie au mm² près.

Partie D

1. Résoudre l’équation '( )f x  1

En déduire l’existence d’une unique tangente T à C parallèle à , préciser les coordonnées du point de contact J et l’équation de cette tangente T . Tracer T dans le repère précédent.

2. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. M et N sont les points d’abscisse x situés respectivement sur C et sur . a. Préciser, en fonction de x, la valeur de la distance MN.

b. Etudier sur [1 ; [ les variations de la fonction h définie sur [1 ; [ par 1 ln ( ) 2 h x x

  x .

c. Déduire des questions précédentes que la distance MN est maximale lorsque M est en J et préciser la valeur de cette distance maximale.

Problème10

Soit g la fonction définie sur ^]0;[par g(x)xlnx ( où ln désigne le logarithme népérien).

1. Résoudre dans l'intervalle ^]0;[l'équation g(x) 0. 2. Résoudre dans l'intervalle ^]0;^[l'inéquation g(x)0. Partie II

Soit f la fonction définie sur ^]0;[par 3 ² 1 ²

( ) ln

4 2

f x   x  x x.

On appelle G la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

(unités : 2cm).

1. Déterminer lim f(x)

x etlim ( )

0 f x

x .

2. Montrer que f'(x) g(x). Utiliser les résultats de la partie I pour établir le tableau de variation de f.

3. Calculer f(e^3/2). On fera apparaître le détail des calculs.

4. Soit A le point d'abscisse 1 de G. Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe G.

5.Tracer dans un repère ( ; ; )O i j 

la tangente (T) ainsi que la partie de la courbe G relative à l'intervalle ]0;6].

6. Soit F la fonction définie sur ^]0;[par ^{3 3} 36 ln 11 6 ) 1

(x x x x

F   .

a. Montrer que F est une primitive de f sur ^]0;[.

b. Calculer en cm² l'aire du domaine limité dans le repère ( ; ; )O i j 

par la courbe G, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e. On en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-2 près.

Problème 11

PARTIE A Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ] 0; +



^{[ par: g x( )ln}_x^xe

On note Cg la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

I. Déterminer les limites de g en 0 et en +



. Que peut-on en déduire pour C g ?

2. Déterminer, à l'aide de la dérivée g', le sens de variation de g. Dresser le tableau de variation de g.

3. Résoudre dans ] 0 ; +



[ l'équation g(x) = e.

4. Calculer g(

e

1 ) .En déduire, pour tout x appartenant à ]0; +



[. le signe de g(x).

5. Tracer C g en indiquant les asymptotes et tangentes horizontales éventuelles. Faire apparaître sur le graphique le résultat de la question 3.

PARTIE B Étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative Soit f la fonction définie sur ] 0; +



^{[ par 1}₂^{(lnx)2 exe}

On note C f la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

(Unités graphiques: 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée).

1. Soit x appartenant à ]0 ; +



[. Vérifier que f '(x) =g(x).

2. Déterminer les limites de f en 0 et en +



^.

3. Dresser le tableau de variations de f.

4. Déterminer une équation de la tangente (T ) à C f en son point I d'abscisse1 .Préciser la position de C f

par rapport à (T ).

5. Tracer (T ) et C f

Exercice 12 PARTIE A

La fonction g est définie, sur l'intervalle _



 



 1 ;

e , par : 2

( ) x 1 ln

g x x

 e   1. (a) Calculer g'(x), où g' désigne la fonction dérivée de g.

Etudier son signe et en déduire le sens de variation de g.

(b) Calculer la limite de g lorsque x tend vers +



. (On pourra écrire : 2 1 ln

( ) x

g x x

e x x

 

    

 

(c) Calculer

^g  ^{1/ e} 

^{et g e}



^{/ 2}



. (d) Dresser le tableau de variation de g.

2. (a) Calculer g(e) et justifier que g(x) 0pour x



^e.

{b) Montrer que g s'annule sur l'intervalle [ e 1 ;

2

e ] pour une valeur unique que l'on notera . Donner un encadrement de  d'amplitude 10^.

3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal _(O;^_i;^_j) (unités graphiques: 2 cm sur l'axe des abscisses, 4 cm sur l'axe des ordonnées).

(a) Tracer la courbe représentative C g de la fonction g. Placer, en particulier, les points d'abscisses  et e.

(b) Résoudre graphiquement l'inéquation: g(x)



0.

PARTIE B

La fonction f est définie. sur



1/ ;e  



par : x x e

x x

f( ) ²  ln 1. Vérifier que f '(x) = g(x). En déduire le tableau de variation de f . 2.Justifier que f est positive ou nulle sur l'intervalle



^{1/ ;e  }



. PROBLEME 12

Partie A

On considère la fonction g définie sur l'intervalle



^{0 ;}



^{par :} g x( ) ln x2x²1 ( où ln désigne le logarithme népérien).

1. Calculer g x'( ) pour tout ^x



^{0 ;}



. Etudier son signe sur ] 0; +



^[.

2. Etudier le sens de variation de la fonction g (on ne demande pas les limites en 0 et en +).

3. En déduire pour tout ^x



^{0 ;}



le signe de g(x).

Partie B

On se propose d’étudier la fonction f définie sur



^{0 ;}



^{par : f x( ) 2x 1 ln}_x^x

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( ; ; )O i j 

d’unité graphique : 2 cm . 1. Calculer f (1).

2. Calculer lim ( )₀

x _ f x

 . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 3. Calculer lim ( )

x f x

 .

4.Démontrer que la droite  d’équation y 2x1est asymptote à la courbe C.

5. Etudier la position relative de C et  sur ]0 ; +[

6. Calculer f ’(x) pour tout ^x



^{0 ;}



. f ’ est la fonction dérivée de la fonction f Vérifier que pour tout x de ]0 ; +[ : ( )₂

'( ) g x

f x  x .Déduire de la partie A le sens de variation de f sur ]0 ; +[.

7. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe C au point d’abscisse 1.

8. Tracer C , (T ) et les asymptotes à la courbe C dans le repère ( ; ; )O i j  . Partie C :

Soit h la fonction définie sur l'intervalle



^{0 ;}



^{par ( ) 1(ln )2}

h x 2 x

1.On désigne par h’ la fonction dérivée de la fonction h . Calculer h’(x) pour tout réel x de l’intervalle



^{0 ;}



^.

2. En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle



^{0 ;}



^.

3. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et le droites (d1 ) et ( d2 ) d’équations :( ) :d₁ x1 et ( ) :d₂ x e .

4.

Calculer la valeur exacte A de l'aire de ce domaine exprimée en cm².

Donner la valeur exacte .

Problème 13

On considère la fonction f définie sur ]0;[par : 1 ln

( ) x

f x x

 

et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal( ; ; )O i j 

( unité graphique : 5 cm ) Partie A : Etude de la fonction f.

1. Etudier les limites de f en 0 et en +  ( pour cette dernière on pourra remarquer que : 1 ln

( ) x

f x  x x ) 2. a. Montrer que :

ln

₂

'( ) x

f x x

 

pour tout xappartenant à ]0;[ b. En déduire le sens de variation de f . Dresser le tableau de variation de f.

Partie B : Etude de quelques points particuliers de C

1. Déterminer l'abscisse x₁ du point d'intersection M 1 de C avec l'axe des abscisses.

2. Soit 2

x 1

 e

. On note M 2 le point de C d'abscisse x₂.

Déterminer une équation de la tangente ₂ au point M 2. vérifier que ₂passe par O.

3. Indiquer l'abscissex3du point M3 de C tel que la tangente3à C en M 3 soit parallèle à l'axe des abscisses.

4. Soit f '' la fonction dérivée de f ' : calculer f ''(x) pour x appartenant à ]0;[. Déterminer le réel x₄qui annule f ''(x) . On appelle M4 le point de C d'abscisse x₄.

5. Vérifier que x₁, x₂, x₃ , x₄ sont quatre termes consécutifs d'une suite géométrique dont on indiquera la raison.

6. Placer les points M1, M2, M3 , M4 dans le repère ( ; ; )O i j 

. Construire les tangentes ₂et 3puis la courbe C.

Partie C : Calcul d'une aire

1. On note g la fonction définie sur ]0;[par : ^{g x( )}



^lnx



². Calculer la dérivée de g.

En déduire une primitive de f sur ]0;[,après avoir remarqué que : 1 ln

( ) x

f x  x x 2. Hachurer le domaine plan limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation

1

x  e

et x = 2. Calculer la valeur exacte A de l'aire de ce domaine exprimée en cm².

Problème 14

Le but du problème est d'étudier la fonction f définie sur ^]0.[par :

2 1 2ln

( ) x x

f x x

   .On note C

sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

d'unité graphique 2cm.

A. ETUDE D'UNE FONCTION AUXILIAIRE

On introduit la fonction g définie sur ^]0.[ par g x( )x² 1 lnx. 1) Etudier les variations de g (on ne demande pas la recherche de limites).

2) En déduire le signe de g sur l'intervalle^]0.^[. B. ETUDE DE f ET TRACE DE LA COURBE C.

1)a) Déterminer la limite de f en

 

^.

b) Déterminer la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.

c) Calculer f ' (x) et montrer que pour tout x de ^]0.^[ ( )₂ '( ) g x

f x  x . En déduire le signe de f'(x) 2) a) Montrer que la droite  d'équation y = x est asymptote en

 

à la courbe C.

b) Déterminer l'abscisse x_A du point A, intersection de la courbe C et de la droite  c) Etudier la position relative de C et 

3) a) Déterminer la tangente T à C au point d'abscisse x_B 1.

b) Déterminer l'abscisse x_C du point où la courbe admet une tangente T' parallèle à la droite .

4)a) Calculer l'ordonnée du point D de C d'abscisse x_D e.

b) Montrer que les abscisses x_A, x_B , x_C et x_D des points A, B, C et D sont les termes consécutifs d'une suite géométrique dont on précisera la raison.

Placer dans le repère ( ; ; )O i j 

les points A, B, C et D. Tracer les droites , T, T' puis la courbe C.

C. CALCUL D'UNE AIRE

1) Calculer la dérivé h de la fonction H définie sur ^]0.^[par H(x) = (ln x)².

2) Calculer en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe C, la droite D et les droites d'équation 1

x e et x = e.

Problème 15

Partie A

On donne dans le plan muni d'un repère orthogonal ( ; ; )O i j 

d'unités graphiques : 3 cm sur l'axe des abscisses et tT

C

2 3 4

-1

-2

0 1

1

x y

1 cm sur l'axe des ordonnées, la représentation graphique (C) d'une fonction g définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle ]1;[ainsi que deux droites (T ) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2;0) et (0; 3) . La droite (D) a pour équation y1.

1.a. Déterminer graphiquement g (2).

b. Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 2, déterminer graphiquement g' (2).

c. On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe (C).

Déterminer graphiquement la limite de g (x) quand x tend vers +  .

d. Sachant que la courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point. Etudier graphiquement le signe de la fonction g sur l'intervalle ]1;[ .

2. On définit les fonctions g1, g2, g3 sur l'intervalle ]1;[par :

₁ 1

( ) 1 g x 1

 x

 ; _{2 2}2

( ) 1

g x  x x

 et g x₃( ) ln( x1).

L'une d'elles est la fonction g que l'on se propose d'identifier en utilisant les résultats de la première question.

a. Calculer g1 (2), g2 (2), g3 (2). Ces résultats permettent-ils d'éliminer une des trois fonctions ? b. Calculer lim g₁(x)

x ; lim ²( )

x g x

 ; lim g₃(x)

x . Quelle fonction peut-on alors éliminer ? c. On note g'1 et g'2 les fonctions dérivées respectives de g1 et g2. Calculer g'1 (2), g'2 (2) puis conclure.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;[ par f x( )  x 1 2lnx2ln(x1).

On note (Cf ). la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal ( ; ; )O i j  d'unités graphiques 3 cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées.

1.a. Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]1;[, 



 





 



 1 2ln 1 )

( x

x x x

f ?

b. Déterminer la limite de f en 1. Que peut-on en déduire pour la courbe (Cf ).?

2.a. Déterminer la limite de f en +  .

b. Justifiez que la droite ( ) d'équation y = x + 1 est asymptote oblique à la courbe (Cf ).

c. Montrer que pour tout x de l'intervalle ]1;[,

1 1 x

x 



. Quel est alors le signe de

ln 1 x x

 

  

 

^? d. En déduire la position de la courbe (C f ) par rapport à la droite ( ).

3.a. Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f et vérifier que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]1;[, f ' (x) = g (x) où g est la fonction trouvée dans la partie A.

b. à l'aide des résultats graphiques obtenus dans la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction f.

Partie C

1°/Montrer que, sur l'intervalle ]1;[, la fonction H définie par :H(x) = x ln x  (x  1) ln (x  1) est une primitive de la fonction h définie par h(x) = ln x  ln (x  1) sur cet intervalle.

2.a. Construire la courbe (Cf ), la droite ( ) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite ( ), la courbe (Cf ) et les droites d'équation x = 2 et x = 3.

b. On désigne par A la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan hachurée précédemment.

Donner la valeur exacte de A puis une valeur décimale approchée à 10^2près par excès.

PROBLEME-16 Partie A

On considère la fonction g définie sur l'intervalle I = ] 0; +



^{[ par : ( ) ln 1 9 2}

g x  x 2x ( où ln désigne le logarithme népérien).

1. Calculer g x'( ) pour tout ^x



^{0 ;}



. Etudier son signe sur ] 0; +



^[.

2. Etudier le sens de variation de la fonction g (on ne demande pas les limites en 0 et en +).

3. En déduire pour tout ^x



^{0 ;}



le signe de g(x).

Partie B

On se propose d’étudier la fonction f définie sur ] 0 ; +[ par : 2ln

( ) 9 5 x

f x x

    x

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; ; )i j 

d’unités graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

1. Calculer lim ( )₀

x _ f x

 . En déduire l’existence d’une asymptote que l’on précisera.

3. Calculerlim ( )

x f x

 . (Etudier la limite de la fonction f lorsque x tend vers).

4.soit ( la droite d’équation y 9x5. On considère la fonction h définie sur ]0 ; +[ par h x( ) f x( ) ( 9  x5).

a. Démontrer que ( est asymptote à la courbe C.

b. Calculer les coordonnées du point d’intersection de C et  c. Etudier la position relative de C et  sur ]0 ; +[

5. a. Calculer f ’(x) pour tout ^x



^{0 ;}



. f ’ est la fonction dérivée de la fonction f b. Vérifier que pour tout x de ]0 ; +[ : f ’(x) =

2 ( ) g x

₂

x

^.

c. Déduire de la partie A le sens de variation de f sur ]0 ; +[.

6. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe C au point A d’abscisse 1.

7. Tracer C , (T ) et les asymptotes à la courbe C dans le repère (O ; ; )i j 

. 8. Démontrer qu’il existe un seul réel  de l’intervalle ^_¹₂ ^{; 1}_

  tel que f( ) 0



 _. Donner un encadrement de  d’amplitude 10^2

Partie C :

Soit h la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par h x( ) (ln ) x ² 1.On désigne par h’ la fonction dérivée de la fonction h .

Calculer h’(x) pour tout réel x de l’intervalle ] 0 ; + [.

2. En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle ] 0 ; + [.

3. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et le droites (d1 ) et ( d2 ) d’équations :( ) :d₁ x1 et ( ) :d₂ x e .

4. Calculer la valeur exacte A de l'aire de ce domaine exprimée en cm².. Donner la valeur exacte . Problème 17

Le plan P est muni d'un repère orthonormal ( ; , )O i jr r

d'unité graphique 2 cm. On s'intéresse dans ce problème à une fonction f définie sur l'intervalle ]0;[.On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan P.

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0;[par : g x( )x² 1 lnx . On désigne par g' la fonction dérivée de la fonction g.

1. Calculer g'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;[ . En déduire le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0;[.

2. Calculer g(1) et en déduire l'étude du signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0;[. Partie B : Détermination de l'expression de la fonction f

On admet qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout nombre réel x appartenant à ]0;[,

ln

( ) x

f x a x b

   x . on désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f.

1.Calculer f '(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;[.

2. Sachant que la courbe Cf passe par le point de coordonnées (1; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres a et b.

Partie C : Etude de la fonction f

On admet désormais que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;[, ln

( ) 1 x

f x x

   x 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en 0 et donner une interprétation graphique de cette limite.

b. Déterminer la limite de la fonction f en .

2. a. Vérifier que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;[, ( )₂ '( ) g x f x  x b. Etablir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0;[. c. En déduire le signe de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0;[.

3. On considère la droiteDd'équation y x 1.

a. Justifier que la droiteDest asymptote à la courbe Cf .

b. Etudier les positions relatives de la courbeCf et de la droite D.

c. Tracer la droite D et la courbe C dans le plan P muni du repère ( ; , )O i jr r Partie D : Calcul d'aire

On note A la mesure, exprimée en cm², de l'aire de la partie du plan P comprise entre la courbe Cf , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 1 et x = e.

1. On considère la fonction H définie sur l'intervalle ]0;[par ^{H x( )}



^lnx



^2.

On désigne par H ' la fonction dérivée de la fonction H.

a. Calculer H'(x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;[. b. En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0;[ 2. Calculer A. Donner la valeur de A , arrondie au mm².

Problème 18

Partie A . Soient a et b deux nombres réels.

On considère la fonction numérique f définie, pour tout nombre réel x_{de ]0;}[, par : f x( )x²ax b 2lnx. On note Cfla courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal ( ; , )O i jr r

(unité graphique : 2 cm). Soit A le point de coordonnées (1 ; 3).

Calculer les valeurs respectives des nombres réels a et b pour que, d'une part la courbe Cfpasse par le point A et que, d'autre part, la tangente à cette courbe au point A admette un coefficient directeur égal à 0.

Partie B

Dans toute la suite du problème, on étudiera la fonction numérique f définie, pour tout nombre réel xde ]0;[, par : f x( )x² 4 2lnx.

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe Cf? 2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel xde ]0;[, on a 4 ln

( ) 2 x

f x x x

x x

 

    . b) En déduire la limite de la fonction f en .

3. Déterminer la fonction dérivée f 'de la fonction f .Vérifier que 2( 1)( 1)

'( ) x x

f x x

 

 .

4. Étudier le signe de la fonction f 'sur I et dresser le tableau de variations de la fonction f sur ]0;[. 5. Déterminer le signe de f x( )quand le nombre réel xappartient à l'intervalle[1;2] .

6. Tracer la courbe Cfdans le repère ( ; , )O i jr r . Partie C

Soit H la fonction numérique définie, pour tout nombre réel xde I, par :H x( )xlnx x .

1. Calculer H x'( )oùH'désigne la fonction dérivée de H. En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0;[. 2. On appelle la partie du plan limitée par la courbeCf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x1etx2. Hachurer . Calculer la valeur exacte de l'aire de en unités d'aire, puis en cm².

P

ROBLÈME 19

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit

^g

la fonction définie sur

]0;[

par

^{g x}

 

^{x28lnx8}

^.

1. a. Calculer

^{g x'}

  .

b. Étudier le signe de

^{g x'}

  .

c. Dresser le tableau de variations de g (l’étude des limites de g n’est pas demandée).

2. Donner une valeur approchée de

g(2)

à 10

⁻²

près, en déduire le signe de g(x) sur

]0;[

.

Partie B : étude et représentation graphique d’une fonction

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( ; , )O i jr r

, unité graphique 1 cm.

Soit f la fonction définie sur

^]0;[

par ^{f x}   ^x

²

^{3 x 8ln x}

x

 

 et

C

sa représentation graphique dans le repère

( ; , )O i jr r

.

1. Montrer que pour tout réel x de

^]0;[

on a : ^{f x}   ^{x 3 8ln x}

   x . 2. a. Déterminer les limites en 0 et en



de

^{f x}

  .

b. En déduire l’existence d’une asymptote a la courbe

C

, et en donner une équation.

3. a. Déterminer la dérivée f ’ de f sur

^]0;[

.

b. Vérifier que pour tout réel x de

^]0;[

on a :    

' g x

2

f x

 x et en déduire le signe de

^{f '}

 

^x

. c. Dresser le tableau de variations de f.

4. Soit D la droite d’équation y = x − 3.

a. Montrer que D est asymptote à

C

en



.

b. Calculer les coordonnées du point d’intersection A de

C

et de D.

c. Étudier la position relative de

C

et de D.

5. Tracer dans le repère

( ; , )O i jr r

la courbe

C

et la droite D.

Partie C : calcul d’une aire

1. Soit h la fonction définie sur

^]0;[

par ^{h x}   ^{ln x}

 x .

a. Vérifier qu’une primitive de h sur

^]0;[

est la fonction H définie par   ¹  ^ln 

²

H x  2 x .

b. En déduire une primitive de f sur

^]0;[

.

2. a. Hachurer la partie du plan limitée par la courbe

C

et la droite D, et les droites d’équation x = 1 et x = 5.

b. Calculer en cm

²

l’aire de la partie du plan hachurée ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée a 10

⁻²

près.

Problème -20 Partie A

Soit

^g

la fonction définie sur l’intervalle

^{I ]0;[}

par ^{g x ( )  x}

²

^{ 2ln}   ^{x  4} et dont la représentation graphique est donnée ci-après.

1. Soit

g'

la dérivée de

^g

sur l’intervalle I. Montrer que

²

1 '( ) 2 x

g x x

  . 2. Dresser le tableau de variation de

^g

sur I

3. En déduire le signe de

^{g x( )}

sur I.

Partie B

Soit

^f

la fonction définie sur l’intervalle I , par 1 1 ln( ) 1

( ) 2 2

f x x x

x

   

On note  

^C

la courbe représentative de la fonction

^f

dans le plan muni d’un repère orthonormal

( ; , )O i j 

. 1. a . Etudier la limite de

^f

en 0 et en déduire l’existence d’une asymptote à la courbe  

^C

.

b. Etudier la limite de

^f

en



en remarquant que 1 1 1 ln( )

( ) 2 2

f x x x

x x

    .

2. On note

^{f '}

la dérivée de

^f

a. Montrer que pour tout nombre réel

^x

de l’intervalle I ,

^{'( ) ( )}₂ 2 f x g x

 x

b. En utilisant la partie A donner le signe de

^{f x'( )}

.

En déduire que la fonction

^f

est croissante sur I.

c. Calculer

^f(1)

et en déduire le signe de

^{f x( )}

sur I.

3. Construire sur une feuille de papier millimétré , la courbe  

^C

dans le repère

( ; , )O i j 

en prenant comme unité graphique 2 cm ..

Partie C

On considère la fonction

F

, définie et dérivable sur l’intervalle I, d’expression :

^{( ) 1 2 1 1}



^{ln( ) 1}



²

4 2 2

F x  x  x x 

.

1. Vérifier que la fonction

F

est une primitive de la fonction

^f

définie à la partie B 2. Dans le repère

( ; , )O i j 

, tracer la droite

^{( )}

d’équation

^{x e}

.

Hachurer la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et délimitée par  

^C

et

( )

. 3. Que représente le nombre

^A4_^{F e}

 

^F

 

^{1 }_

.

Calculer la valeur exacte de

A

, puis sa valeur arrondie au centième .

PROBLÈME 21

Le but du problème est l’étude de la fonction numérique f définie sur l’intervalle ]0 ;

^

[ par :   ¹

²

^{1 ln}

2 f x x x

   x , où ln x désigne le logarithme népérien de x. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal

^{( ; , )O u v }

d’unité graphique : 2 cm.

Partie A

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;

^

[ par :

^{g x( )x3 1 lnx}

.

1. Étudier les variations de la fonction g. Les limites aux bornes ne sont pas demandées.

2. Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie B

1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle ]0 ;

^

[. En déduire l’existence d’une droite asymptote à la courbe C que l’on précisera.

2. Démontrer que    

' g x

2

f x

 x . En déduire le tableau de variations de la fonction f.

3. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;

^

[ par :   ¹

²

¹

h x  2 x  . Construire sa courbe représentative P dans le repère

^{( ; , )O u v }

.

a. Déterminer la limite de [f(x) − h(x)] en

^

. b. Déterminer le signe de [f(x) − h(x)].

Que peut-on en déduire pour la position relative des deux courbes C et P ? 4. Tracer la courbe C sur la feuille ci-après (à rendre avec la copie).

Partie C

1. Déterminer une primitive de la fonction : 1 ln

x x

 x sur l’intervalle ]0 ;

^

[.

2. On appelle S l’aire en cm

²

, de la partie du plan limitée par les deux courbes C et P et les droites d’équations x =1 et x = 4. Donner la valeur exacte de S puis la valeur arrondie au mm

²

.

PROBLÈME 22

La fonction f est définie sur l’intervalle

^]0;[

par ( ) ln c f x a x bx

   x où a, b et c sont trois nombres réels à déterminer. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

On a représenté la fonction f sur la feuille annexe dans un repère orthonormal

( ; , )O i j 

d’unité graphique 2 cm. On note C la courbe représentative de cette fonction f .

On note T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1. La tangente T passe par l’origine O du repère.

La tangente à la courbe C au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses.

PARTIE A :Recherche de l’expression de ^{f x( )}

1. Préciser (sans justifier) les valeurs de

^f(1)

,

^{f '(1)}

et

^{f '(2)}

.

2. Déterminer

^{f x'( )}

, en fonction de la variable x et des nombres réels a, b et c.

3. Exprimer

^f(1)

,

^{f '(1)}

et

^{f '(2)}

en fonction des nombres réels a, b et c.

4. En utilisant les réponses aux questions 1.et 3., montrer que les nombres réels a, b et c sont solutions du système S suivant :

1 1

2 4 0

b c a b c

a b c

  

   

    



5. Résoudre le système S. En déduire une expression de f (x).

PARTIE B : Étude de la fonction f

Dans la suite du problème la fonction f est définie sur l’intervalle ]0 ; ∞[ par : 4

( ) 8ln 3

f x x x

   x 1. Déterminer par calculs la limite de f en +∞ (on peut factoriser f (x) par x).

2. On rappelle que : lim ln

₀

0

x

x x



 . En écrivant f (x) sous la forme : ^{f x ( )  1} _x  ^{8 ln x x  3 x}

²

^{ 4}  ^,

déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Déterminer

^{f x'( )}

et vérifier que pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; ∞[ : (3 2)(2

₂

)

'( ) x x

f x x

 



a. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f (justifier avec soin le signe de

^{f x'( )}

.) b. Montrer que, sur l’intervalle [4 ; 5] l’équation

^{f x( ) 0}

a une unique solution. notée  . c. Justifier l’encadrement de la solution  d’amplitude

₁₀^2

suivant :

^4,07 



^{4, 08}

.

Partie C : calcul d’une aire

1. Soit

F

la fonction définie sur

^]0;[

par 3

²

( ) (8 4) ln 8

F x  x  x  x  2 x . Calculer

^{F x'( )}

et en déduire une primitive de f sur

^]0;[

.

2. a. Hachurer la partie du plan limitée par la courbe C et les droites d’équation x = 1 et x =3.

b. Calculer en cm

²

l’aire de la partie du plan hachurée ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée a 10

⁻²

près.

Annexe – Problème