DM N° TERMINALE STI- STL MATHEMATIQUES 2008-2009 Exercice
On considère la fonction définie sur ]0;[par f x( )x2 2 2lnx et on note (C f )sa courbe représentative.
a) Déterminerxlim ( )0 f x ;
b) Montrer que pour tout x de ]0;[, 2 22 ln2
( ) 1 2 x
f x x
x x
. En déduire xlim f x( ) ;
c) Préciser les éventuelles asymptotes à (C f );
Calculer f ’(x) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de f ;
Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans l’intervalle]0;[. Donner un encadrement d’amplitude102de ces solutions que l’on nommera et . Déduire des questions 2°) et 3°) le signe de f (x) lorsque x Î ]0;[ ;
Problème :
On se propose d’étudier la fonction f définie sur ]0;[par : ln 2 1
( ) 2
x x
f x x x
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; ; )O i j
. (unité graphique : 2 cm)
PARTIE A
On introduit la fonction g définie sur ]0;[par : g x( )x2 3 2lnx.
1. Etudier le sens de variation de la fonction g (on ne demande pas les limites en 0 et en +).
2. En déduire le signe de g x( ) sur ]0;[. PARTIE B : Etude de la fonction f
1. Calculer f(1), et montrer que 2 1
( ) 2
f e e
e
.
2. Calculer xlim ( )0 f x . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 3. Calculer xlim f x( )
4. Montrer que pour tout x de ]0;[: '( ) ( )2 2 f x g x
x . En déduire le sens de variation de f.
5. Montrer que l’équation f x( ) 2 admet une unique solution appartenant à]3; 4[. Donner une valeur approchée à 102 près de .
6. Montrer que pour tout xÎ]0;[ , 1 ln
( ) 2 2
x x
f x x x .
Déterminer alors 1
lim ( ) 2
x f x x
. Interpréter graphiquement ce résultat.
7. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d’abscisse 1.
8. Tracer C , (T) et les asymptotes à la courbe C dans le repère ( ; ; )O i j
d’unité graphique 2 cm.
Partie C :
Soir F la fonction définie sur l'intervalle ]0;[ par 1 2 1 1 2
( ) ln (ln )
4 2 2
F x x x x
1- Déterminer la fonction dérivée F'de F sur l’intervalle]0;[ . 2. Calculer le nombre A 4 [ ( )F e F(1)]. Donner la valeur exacte . Exercice 1 :
a)xlim ( )0 f x car lim (0 2) 2
x x
. et xlim ln0 x , donc xlim ( )0 f x
b) 2 22 ln2 2
1 2 x 2 2ln
x x x
x x
et 2ln2x 2 lnx
x x
x
2 2
2 2ln 2 ln
lim 0 lim lim lim 0
x x x x
x x
x x
x x
, donc 22 ln2
lim 1 2 1
x
x
x x
donc xlim f x( )
c) Commexlim ( )0 f x , alors la courbe (C f ) admet une asymptote au voisinage de 0 d’équation : 0
x . ( c’est-à-dire l’axe des ordonnées ).
2 2 2 2 2( 1)( 1)
'( ) 2 x x x
f x x
x x x
Sur l’intervalle ]0;1[, f est strictement décroissante et f x( ) change de signe sur l’intervalle ]0;1[, lim ( )0
x f x
et f (1) = 1. Donc l’équation f (x) = 0 admet une solution unique sur ]0;1[.
(0,3) 0, 497
f et f(0, 4) 0,0074, donc 0,3 0, 4; f(0,395) 0,0137 …. et
(0,396) 0,9168
f donc 0,395 0,396. Sur l’intervalle ]1;[, f est strictement croissante et
( )
f x change de signe , f (1) = 1
et xlim f x( ) . Donc l’équation f (x) = 0 admet une solution unique sur ]1;[. (1, 7) 0,1712
f …. Et f(1,8) 0,0644 donc 1,7 1,8; f(1,77) 0,0009 et (1,78) 0,0151
f donc 1,77 1, 78.
x 0 +
f (x) + 0 0 + Problème :
f est la fonction définie sur ]0;[par : ln 2 1
( ) 2
x x
f x x x
PARTIE A
g est la fonction définie sur ]0;[par : g(x) = x² + 3 – 2 ln x.
1. g est dérivable sur ]0;[. 2 2 2 2
'( ) 2 x
g x x
x x
. Or x > 0 sur ]0;[
Signe de 2x² – 2 : 2x² – 2 = 2(x² – 1) = 2(x – 1)(x + 1) . Les racines de 2x² – 2 sont 1 et -1 ; donc 2x² – 2 > 0 sur ] ; 1[ ]1; [et g’(x) > 0 sur ]1 ; +[; g’(x) < 0 sur ]0 ; 1[.
g est alors strictement croissante sur ]1 ; +[ et est strictement décroissante sur ]0 ; 1[.
2. La fonction g admet alors un minimum sur ]0;[en 1.
g(1) = 1² + 3 – 2 ln 1 = 1 + 3 = 4. g(1) > 0 donc g(x) > 0 sur ]0;[. d’où PARTIE B
1. ln1 1² 1
(1) 0
1 2 1
f
; ln 2 1 1 2 1 2 1
( ) 2 2 2
e e e e
f e e e e e e
.
2. xlim ln0 x et
0
lim 1
x x d’où
0
lim ln
x
x x
. 2
lim0 1 1
x x
, d’où 2
0
lim 1 2
x
x x
. Donc xlim ( )0 f x et la droite d’équation x0x = 0 est asymptote verticale à C au voisinage de 0.
3. ln
lim 0
x
x x
et 2 1 2
lim lim lim
2 2 2
x x x
x x x
x x
. Donc xlim f x( ) . 4. f est dérivable sur ]0;[ : on a f x( )g x( )h x( ), donc f x'( )g x'( )h x'( )
x 0 1 1
2x22 + 0 0 +
x 0 1 +
2x22 0 + x 0 + + '( )
f x 0 + f x( ) +
+1
Avec ln
( ) x
g x x et 2 1
( ) 2
h x x
x
:
2 2
1 ln 1 ln
( )
x x x
g x x
x x
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2( 1) 4 2 2 2 2
'( ) 2 4 4
x x x x x x
h x x x x
2 2 2 22 4 4ln 22 2 2 2 2 6 4ln2 2 3 2ln2 ( )2
4 4 4 2 2
'( ) 1 ln x x x x x x x g x
x x
f x x x
x x x
pour tout xÎ]0;[, 2x2 0; f x'( ) est donc du signe de g x( )sur]0;[, c’est à dire f x'( ) 0 sur ]0 ; +[. Tableau de variation de f :
5°/ f est continue sur ]0;[. f est strictement croissante sur]0;[.xlim ( )0 f x et xlim f x( ) . L’équation f(x) = 2 admet alors une unique
solution sur]0;[. f(3) 1,7 ; f(4) 2, 22 ,
or 2 ] (3); (4)[Î f f donc Î]3 ; 4[. De plus f(3,56) 1,996 et f(3,57) 2,001 donc 3,57.
Pour tout xÎ]0;[, ln 2 1 ln 2 1 ln 1
( ) 2 2 2 2 2
x x x x x x
f x x x x x x x
,
Soit 1 ln
( ) ( )
2 2
x x
h x f x
x x
. Or ln
lim 0
x
x x
et 1 1 1
lim lim 0
2 2
x x xx La droite d’équation
2
y x est alors asymptote oblique à C en +.
7. Une équation de la tangente à C au point d’abscisse 1 est :y f '(1)(x 1) f(1) où 12 3 2ln1 42
2 2 ' 2
(1) 1
f
,de plus f(1) = 0 d’après la question 1. Une équation de (T ) est alors : y2(x1) soit y2x2 .
Partie C
2 2
1 1 1
( ) ln (ln )
4 2 2
F x x x x ;
1 1 1 1 1
'( ) 2 2 ln
4 2 2
1 ln
'( ) ( )
2 2
F x x x
x x
x x
F x f x
x x
x 0
'( )
f x
( ) f x
T
D C
2 3 4 5
2
-1
-2
0 1
1
x y
2 2
2 2
1 1 1
( ) ln (ln )
4 2 2
( ) 1 1
4 2 2 4
F e e e e
e e
F e
et 1 1 1 2 1
(1) ln1 (ln1)
4 2 2 4
F
2 2
4 [ ( ) (1)]
4 1 1
4
A F e F
A e e
