Sens de variation d’une fonction S 1
Sens de variation d’une fonction
Pour reprendre contact n°1 – 2 – 3 – 4 p 99
I. Signe de la dérivée et variations
A. Du sens de variation au signe de la dérivée Propriétés
𝑓 est une fonction dérivable dur un intervalle 𝐼
(1) Si 𝑓 est croissante sur 𝐼, alors pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝒇’(𝒙) ≥ 𝟎 (2) Si 𝑓 est constante sur 𝐼, alors pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝒇’(𝒙) = 𝟎 (3) Si 𝑓 est décroissante sur 𝐼, alors pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝒇’(𝒙) ≤ 𝟎
Démonstration
𝑥 est un nombre de l’intervalle 𝐼 et ℎ est un nombre réel non nul tels que 𝑥 + ℎ ∈ 𝐼 (1) 𝑓 est croissante sur 𝐼, donc
Si ℎ > 0, alors 𝑥 + ℎ ≥ 𝑥 et 𝑓(𝑥 + ℎ) ≥ 𝑓(𝑥), c’est-à-dire 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ≥ 0
Si ℎ < 0, alors 𝑥 + ℎ ≤ 𝑥 et 𝑓(𝑥 + ℎ) ≤ 𝑓(𝑥), c’est-à-dire 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ≤ 0 Dans les deux cas, 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) et ℎ sont du même signe, donc 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ ≥ 0
𝑓 est dérivable en 𝑥, donc 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ tend vers le nombre réel 𝑓′(𝑥) lorsque ℎ tend vers 0.
Si l'on donne à ℎ des valeurs proches de 0, alors 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ prend des valeurs positives.
On admet que sa limite en 0 est aussi positive, c’est-à-dire que 𝑓′(𝑥) ≥ 0 (2) 𝑓 est constante sur 𝐼, donc 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥)et 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ = 0, ainsi 𝑓′(𝑥) = 0
(3) On démontre cette fois, comme dans le (1) que 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) et ℎ sont de signes contraires, donc
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ ≤ 0. On admet que sa limite en 0 est négative, c’est-à-dire que 𝑓′(𝑥) ≤ 0 Exercices n°14 à 18 p 114 – 115
B. Du signe de la dérivée au sens de variation Propriétés
𝑓 est une fonction dérivable dur un intervalle 𝐼
(1) Si pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝒇’(𝒙) ≥ 𝟎, alors 𝑓 est croissante sur 𝐼.
(2) Si pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝒇’(𝒙) = 𝟎, alors 𝑓 est constante sur 𝐼.
(3) Si pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝒇’(𝒙) ≤ 𝟎, alors 𝑓 est décroissante sur 𝐼.
Exercices n°19 à 29 – 30 à 38 p 115 – 117
Sens de variation d’une fonction S 2 II. Extremum d’une fonction
A. Extremum local d’une fonction Définitions
Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie 𝐷 de R, 𝑚 et 𝑀 des réels.
𝑀 est le maximum de 𝒇 sur 𝑫 si et seulement si :
𝒇(𝒙) ≤ 𝑴 pour tout 𝑥 de 𝐷, et il existe un réel 𝛼 dans 𝐷 tel que 𝒇(𝜶) = 𝑴
𝑚 est le minimum de 𝒇 sur 𝑫 si et seulement si :
𝒇(𝒙) ≥ 𝒎 pour tout 𝑥 de 𝐷, et il existe un réel 𝛼 dans 𝐷 tel que 𝒇(𝜶) = 𝒎
On appelle extremum de 𝒇 sur 𝑫 son maximum ou son minimum (s’il existe).
Si 𝑚 ou 𝑀 est un extremum de 𝑓 sur un intervalle ouvert 𝐼 contenu dans 𝐷, on dit que 𝑚 ou 𝑀 est un extremum local de 𝑓 sur 𝐷.
Exemple
La courbe ci-contre est la représentation d’une fonction 𝑓 définie sur 𝐼 = [−4 ; 5]
Le maximum de 𝑓 sur 𝐼 est 5, atteint en 𝑥 = 2 car 𝑓(𝑥) ≤ 5 pour tout 𝑥 de 𝐼 et 𝑓(2) = 5.
Le minimum de 𝑓 sur 𝐼 est −4, atteint en 𝑥 = 5 car 𝑓(𝑥) ≥ −4 pour tout 𝑥 de 𝐼 et 𝑓(5) = −4.
Les extrema de 𝑓 sur 𝐼 sont donc 5 et −4.
𝑓 admet aussi un minimum local −3 qui est le minimum de 𝑓 sur ] − 4; 2[, atteint en 𝑥 = −2
Remarque
Une fonction peut ne pas avoir d’extremum sur un intervalle, c’est le cas de 𝑓: 𝑥 ↦ 2𝑥 par exemple.
Exercices n°39 – 40 – 41 - 42 p 117 - 118
B. Extremum local et dérivée Propriété (admise)
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑥0 est un nombre réel de 𝐼.
Si 𝑓(𝑥0) est un extremum local, alors 𝒇′(𝒙𝟎) = 𝟎
Remarques
Si 𝑓(𝑥0) est un extremum local, alors la courbe représentative de f admet au point d’abscisse 𝑥0 une tangente
« horizontale ».
La réciproque de cette propriété est fausse.
Par exemple, si la fonction 𝑓 est définie sur R par 𝑓(𝑥) = 𝑥3 alors 𝑓′(0) = 0 et 𝑓(0) = 0 n’est pas un extremum local de 𝑓.
Propriété (admise)
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑥0 est un nombre réel de 𝐼 qui n’est pas une extrémité de 𝐼.
Si 𝑓′ s’annule en 𝒙𝟎, en changeant de signe, alors 𝒇(𝒙𝟎) est un extremum local de 𝑓.
Tableau de variation
Exercices n°43 – 44 – 47 p 118 – 119 Exercices n°74 – 75 – 76 p 122 DM n°79 p 123
