Dérivation Pour reprendre contact n°1

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Dérivation

Pour reprendre contact n°1 – 2 – 3 – 4 p 73

I. Nombre dérivé et tangente A. Taux d’accroissement Définition

𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼 ; 𝑎 et 𝑎 + ℎ sont deux nombres réels de 𝐼 avec ℎ ≠ 0.

Le taux d’accroissement de 𝒇 entre 𝒂 et 𝒂 + 𝒉 est le rapport 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉

B. Nombre dérivé d’une fonction en un point Définition

𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼 ; 𝑎 et 𝑎 + ℎ sont deux nombres réels de 𝐼 avec ℎ ≠ 0.

Dire que 𝑓 est dérivable en 𝑎 signifie que lorsque ℎ tend vers 0, le taux d’accroissement 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 tend vers un réel , ce que l’on note

est appelé le nombre dérivé de 𝒇 en 𝒂 et on le note 𝒇’(𝒂)

Notation

se lit limite de 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 quand h tend vers 0.

Exercice résolu n°1 p 77 Exercices n°20 à 24 p 88 – 89

C. Tangente à la courbe représentative d’une fonction Interprétation graphique

Définition

Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎, 𝐶_𝑓 sa courbe représentative et 𝐴 le point de 𝐶_𝑓 d’abscisse 𝑎.

La tangente à la courbe 𝑪_𝒇 au point 𝑨 est la droite passant par 𝐴 et dont le coefficient directeur est 𝑓’(𝑎).

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒉

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)

𝒉 =

(2)

Propriété

Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎, 𝐶_𝑓 sa courbe représentative et 𝐴 le point de 𝐶_𝑓 d’abscisse 𝑎.

La tangente à la courbe 𝐶_𝑓 au point 𝐴 a pour équation : 𝒚 = 𝒇’(𝒂) (𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

Démonstration (voir p 76)

La tangente T à 𝐶_𝑓 en 𝐴 a une équation de la forme 𝑦 = 𝑓’(𝑎) 𝑥 + 𝑏.

𝐴(𝑎 ; 𝑓(𝑎)) appartient à T donc 𝑓(𝑎) = 𝑓’(𝑎) 𝑎 + 𝑏. D’où 𝑏 = 𝑓(𝑎) − 𝑎𝑓’(𝑎) Donc on a 𝑦 = 𝑓’(𝑎)𝑥 + 𝑓(𝑎) − 𝑎𝑓’(𝑎) = 𝑓^′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

Exercice résolu n°2 p 77 Exercices n°25 à 35 p 89 - 90

D. Fonction dérivée Définition

𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼.

Dire que 𝒇 est dérivable sur 𝑰 signifie que 𝑓 est dérivable en tout nombre réel de 𝐼.

La fonction dérivée de 𝑓 est la fonction qui, à tout nombre réel 𝑎 de I, associe 𝑓’(𝑎).

Elle est définie sur 𝐼 par 𝑓’ : 𝑎 ↦ 𝑓’(𝑎)

Remarque

Dans l’écriture de la fonction, le nom de la variable n’a pas d’importance, on peut autant écrire : 𝑓’ : 𝑎 ↦ 𝑓’(𝑎) 𝑓’ : 𝑡 ↦ 𝑓’(𝑡) 𝑓’ : 𝑥 ↦ 𝑓’(𝑥)

Le nom est souvent choisi d’après le contexte, la variable t représente en général le temps.

Exercices n°36 – 37 p 90

II. Dérivées des fonctions usuelles

A. Fonctions constantes 𝒙 ↦ 𝒌 avec 𝒌 ∈ R Propriété

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒌

𝑓 est dérivable sur R et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟎

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =^𝒌−𝒌

𝒉 = 𝟎 qui tend vers 0 quand ℎ tend vers 0.

Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 0

B. Fonctions identité Propriété

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟏

Démonstration

𝒉 =^{𝒂+𝒉−𝒂}

𝒉 =^𝒉

𝒉= 𝟏 qui tend vers 1 quand ℎ tend vers 0.

Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 1

(3)

C. Fonctions carré Propriété

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙²

𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟐𝒙

Démonstration

𝒉 =^{(𝒂+𝒉)²−𝒂²}

𝒉 =𝒂²+𝟐𝒂𝒉+𝒉²−𝒂²

𝒉 =^{𝟐𝒂𝒉+𝒉²}

𝒉 = 𝟐𝒂 + 𝒉 qui tend vers 2𝑎 quand ℎ tend vers 0. Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 2𝑎

D. Fonctions carré Propriété

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟑

𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟑𝒙^𝟐

Démonstration

𝒉 =^(𝒂+𝒉)^𝟑^−𝒂^𝟑

𝒉 =^{(𝒂+𝒉)(𝒂}²^{+𝟐𝒂𝒉+𝒉}²^)−𝒂^𝟑

𝒉

=^𝒂^𝟑^+𝟐𝒂²^{𝒉+𝒂𝒉}²^+𝒂²^{𝒉+𝟐𝒂𝒉}²^+𝒉^𝟑^−𝒂^𝟑

𝒉

=𝟑𝒂²𝒉+𝟑𝒂𝒉²+𝒉^𝟑

𝒉 = 𝟑𝒂² + 𝟑𝒂𝒉 + 𝒉^𝟐 qui tend vers 3𝑎² quand ℎ tend vers 0.

Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 3𝑎²

E. Fonctions puissances 𝒙 ↦ 𝒙^𝒏, avec 𝒏 entier, 𝒏 ≥ 𝟐 Propriété (admise)

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝒏

𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝒏𝒙^𝒏−𝟏

F. Fonctions inverse Propriété

𝑓 est la fonction définie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 𝒇(𝒙) =^𝟏

𝒙

𝑓 est dérivable sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = − ^𝟏

𝒙²

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 ≠ 0 et ℎ ≠ 0 et 𝑎 + ℎ ≠ 0, on a

𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =

𝟏 𝒂+𝒉−^𝟏

𝒂

𝒉 =

𝒂−(𝒂+𝒉) 𝒂(𝒂+𝒉)

𝒉 =

−𝒉 𝒂(𝒂+𝒉)

𝒉 = ^−𝟏

𝒂(𝒂+𝒉) qui tend vers −¹

𝑎² quand ℎ tend vers 0.

Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ R* et 𝑓’(𝑎) = −_𝑎²¹

G. Fonctions racine carrée Propriété

𝑓 est la fonction définie sur [0; +∞[ par 𝒇(𝒙) = √𝒙

𝑓 est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = ^𝟏

𝟐√𝒙

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0 et 𝑎 + ℎ ≠ 0, on a

𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =^{√𝒂+𝒉−√𝒂}

𝒉 =(√𝒂+𝒉−√𝒂)(√𝒂+𝒉+√𝒂)

𝒉(√𝒂+𝒉+√𝒂) = ^{(𝒂+𝒉)−𝒂}

𝒉(√𝒂+𝒉+√𝒂)= ^𝒉

𝒉(√𝒂+𝒉+√𝒂)= ^𝟏

√𝒂+𝒉+√𝒂 qui tend vers ¹

2√𝑎 quand ℎ tend vers 0.

Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ ]0; +∞[ et 𝑓’(𝑎) = ¹

2√𝑎

Exercices n°38 – 39 – 40 – 41 – 42 – 43 p 90 – 91

(4)

III. Dérivées et opérations sur les fonctions

A. Somme de fonctions et produit par un réel Propriété

Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 dérivables sur 𝐼 alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = 𝒖’(𝒙) + 𝒗’(𝒙)

Pour tout 𝑎 de 𝐼, on a 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)+𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)−𝑣(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)

ℎ +𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ

Or 𝑢 et 𝑣 sont dérivables en 𝑎, donc 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)

ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 et 𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎)

ℎ tend vers 𝑣’(𝑎) quand ℎ tend vers 0

Donc 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) + 𝑣′(𝑎) quand ℎ tend vers 0 Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ 𝐼 et 𝑓’(𝑎) = 𝑢^′(𝑎) + 𝑣′(𝑎)

Propriété

Si 𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥) avec 𝑢 dérivable sur 𝐼 alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) =𝒖’(𝒙)

ℎ =^^{𝑢(𝑎+ℎ)−}^^𝑢(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ

Or 𝑢 est dérivable en 𝑎, donc 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)

ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 Donc 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ 𝐼 et 𝑓’(𝑎) =𝑢^′(𝑎)

Définition et Propriété

Une fonction 𝑓 définie sur R est une fonction polynôme si 𝑓(𝑥) peut s’écrire comme la somme de termes de la forme 𝑘𝑥^𝑛, 𝑛 ∈ N et 𝑘 constante réelle.

Toutes les fonctions polynômes sont dérivables sur R Démonstration

C’est une conséquence des deux propriétés précédentes.

Exercices n°45 à 48 p 91

B. Produit, inverse et quotient de fonctions Propriété

Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 dérivables sur 𝐼 alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = 𝒖’(𝒙)𝒗(𝒙) + 𝒖(𝒙)𝒗’(𝒙)

Démonstration (voir p 82) à connaître

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎) ℎ

On ajoute et on retranche 𝑢(𝑎)𝑣(𝑎 + ℎ) pour faire apparaître les quotients 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)

ℎ et 𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎+ℎ)+𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎) ℎ

=𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)

ℎ +𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎) ℎ

=𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)

ℎ 𝑣(𝑎 + ℎ) + 𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ

Si on admet que 𝑣(𝑎 + ℎ) tend vers 𝑣(𝑎) quand ℎ tend vers 0, 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ tend vers 𝑢’(𝑎)𝑣(𝑎) + 𝑢(𝑎)𝑣’(𝑎) Donc 𝑓 est dérivable en 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 𝑢’(𝑎)𝑣(𝑎) + 𝑢(𝑎)𝑣’(𝑎)

Remarque : Si 𝒗(𝒙) = (constante), alors 𝒗’(𝒂) = 𝟎 et on retrouve 𝒇’(𝒂) = 𝒖’(𝒂)

Exercice n°49 p 91

(5)

Propriété Si 𝑓(𝑥) = ¹

𝑢(𝑥) avec 𝑢 dérivable sur 𝐼 et si 𝑢(𝑥) ≠ 0, alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = − ^{𝒖’(𝒙)}

[𝒖(𝒙)]²

Si 𝑓(𝑥) =^𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 dérivables sur 𝐼 et si 𝑣(𝑥) ≠ 0alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) =𝒖’(𝒙)𝒗(𝒙) − 𝒖(𝒙)𝒗’(𝒙)

[𝒗(𝒙)]²

Démonstration Exercice n°95 p 96

Exercices n°50 – 51 p 91

Définition et Propriété

Toutes les fonctions de la forme 𝑥 ↦^𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) où u et v sont des fonctions polynômes s’appellent des fonctions rationnelles.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Démonstration

C’est une conséquence des deux propriétés précédentes.

Exercices n°52 – 53 – 54 p 91

Exercices n°56 – 57 – 58 – 59 – 60 p 92 – 93 Exercices n°66 - 67 p 93

DM n°96 – 97 p 96 – 97