Probabilités S 1
Probabilités
Pour reprendre contact n°1 à 5 p 201
I. Variable aléatoire discrète A. Définition
Définition
est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire discrète définie sur est une fonction qui, à chaque issue de , associe un nombre réel.
Notations
Une variable aléatoire est généralement notée 𝑋, 𝑌, 𝑍 … Lorsque 𝑥 désigne un nombre réel, l’événement « 𝑋 prend la valeur 𝑥 » est noté (𝑋 = 𝑥).
Exemple
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note les côtés obtenus : P ou F.
L’ensemble des issues est ={(P ; P), (P ; F), (F ; P), (F ; F)}
On gagne 5 € à chaque fois que pile sort et on perd 2 € à chaque fois que face sort.
On définit alors une variable aléatoire 𝑋 sur qui prend les valeurs −4; 3 et 10.
L’événement (𝑋 = 3) est réalisé par les issues (F ; P) et (P ; F)
B. Loi de probabilité Définition
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues.
X est une variable aléatoire définie sur et ’={𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} est l’ensemble des valeurs prises par X.
Lorsqu’on associe à chaque valeur 𝑥𝑖, la probabilité de l’événement (𝑋 = 𝑥𝑖), on définit une loi de probabilité sur ’. Cette loi s’appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque
On présente souvent la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X à l’aide d’un tableau.
Valeur de X 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 P(X=𝒙𝒊) 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛 𝒑𝟏+ 𝒑𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏 = 𝟏
Exemple
Dans l’exemple précédent, la probabilité de l’événement (𝑋 = −4) est la probabilité de l’issue (F ; F) donc 𝑃(𝑋 = −4) =1
4.
La probabilité de l’événement (𝑋 = 3) est la probabilité des issues (F ; P) et (P ; F) donc 𝑃(𝑋 = 3) =1
4+1
4= 1
2.
La probabilité de l’événement (𝑋 = 10) est la probabilité de l’issue (P ; P) donc 𝑃(𝑋 = 10) = 1
4. La loi de probabilité de la variable X est résumée dans le tableau suivant :
Valeur de X −3 4 10 P(X=𝒙𝒊) 1
4 1 2
1 4 Exercices n°11 à 17 p 213 – 214
Probabilités S 2 II. Paramètres d’une variable aléatoire
A. Espérance, variance et écart-type Définition
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues.
X est une variable aléatoire définie sur dont la loi de probabilité est résumée dans le tableau suivant : Valeur de X 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
P(X=𝑥𝑖) 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté E(X) , défini par : 𝑬(𝑿) = 𝒑𝟏𝒙𝟏+ 𝒑𝟐𝒙𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏𝒙𝒏
La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté V(X) , défini par : 𝑽(𝑿) = 𝒑𝟏(𝒙𝟏− 𝑬(𝑿))² + 𝒑𝟐(𝒙𝟐− 𝑬(𝑿))² + ⋯ + 𝒑𝒏(𝒙𝒏− 𝑬(𝑿))²
L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté 𝜎(X) , défini par : 𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)
Exemple
On reprend la variable aléatoire de la première partie.
𝐸(𝑋) =1
4× (−4) +1
2× 3 +1
4× 10 = 3 (euros) V(X)= 1
4× (−4 − 3)2+1
2× (3 − 3)2+1
4× (10 − 3)2 =49
2
𝜎(𝑋) = 7√2
2 ≈ 4,95 (euros)
𝐸(𝑋) = 3 signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu, un joueur peut espérer gagner 3 € en moyenne.
Remarques
L’espérance et l’écart-type sont exprimés dans la même unité que les valeurs 𝑥𝑖 prises par X.
Un jeu est dit équitable lorsque 𝑬(𝑿) = 𝟎
B. Propriétés de l’espérance et de la variance.
X est une variable aléatoire, 𝑎, 𝑏 sont des nombres réels. Les variables aléatoires 𝑎𝑋 et 𝑎𝑋 + 𝑏 ont les lois de probabilités données dans le tableau ci-contre.
𝑋 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
𝑎𝑋 𝑎𝑥1 𝑎𝑥2 … 𝑎𝑥𝑛 𝑎𝑋 + 𝑏 𝑎𝑥1+ 𝑏 𝑎𝑥2+ 𝑏 … 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏
P(X=𝑥𝑖) 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
Propriétés
X est une variable aléatoire. Pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑏,
𝑬(𝒂𝑿 + 𝒃) = 𝒂𝑬(𝑿) + 𝒃 et 𝑽(𝒂𝑿) = 𝒂²𝑽(𝑿)
Remarque
On en déduit que lorsque 𝑏 = 0, 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋)
Démonstration
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑝1(𝑎𝑥1+ 𝑏) + 𝑝2(𝑎𝑥2+ 𝑏) + ⋯ + 𝑝𝑛(𝑎𝑥𝑛 + 𝑏) = 𝑎 (𝑝1𝑥1+ 𝑝2𝑥2 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑥𝑛) + 𝑏 (𝑝1+ 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛) = 𝑎 𝐸(𝑋) + 𝑏 car 𝒑𝟏+ 𝒑𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏 = 𝟏
𝑉(𝑎𝑋) = 𝑝1(𝑎𝑥1− 𝐸(𝑎𝑋))² + 𝑝2(𝑎𝑥2 − 𝐸(𝑎𝑋))² + ⋯ + 𝑝𝑛(𝑎𝑥𝑛 − 𝐸(𝑎𝑋))²
= 𝑝1(𝑎𝑥1 − 𝑎𝐸(𝑋))² + 𝑝2(𝑎𝑥2 − 𝑎𝐸(𝑋))² + ⋯ + 𝑝𝑛(𝑎𝑥𝑛− 𝑎𝐸(𝑋))²
= 𝑎²[𝑝1(𝑥1− 𝐸(𝑋))² + 𝑝2(𝑥2− 𝐸(𝑋))² + ⋯ + 𝑝𝑛(𝑥𝑛 − 𝐸(𝑋))²]
= 𝑎2𝑉(𝑋)
Exercices n°18 – 19 – 20 – 22 à 26 – 28 – 32 – 33 p 214 à 216
Probabilités S 3 III. Répétition d’expériences identiques et indépendantes
A. Expériences identiques et indépendantes
Il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois.
Ces expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque l’issue de l’une quelconque de ces expériences ne dépend pas de l’issue des autres expériences.
Exemple
On lance trois fois de suite un dé équilibré. Le numéro obtenu lors d’un lancer ne dépend pas du numéro obtenu aux deux autres lancers.
Par exemple, les listes (4 ; 5 ; 3) et (6 ; 2 ; 6) sont des issues de cette répétition.
B. Modélisation d’une répétition Propriété
Dans le cas d’une répétition d’expériences aléatoires identiques et indépendantes, une issue est une liste de résultats. On représente cette répétition par un arbre pondéré.
La probabilité d’un événement correspondant à un chemin sur l’arbre est obtenue en multipliant les probabilités portées sur les branches de ce chemin
La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est obtenue en ajoutant les probabilités des événements correspondants à chaque chemin puisque ceux-ci sont incompatibles.
Exemple
Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires.
On tire successivement deux boules avec remise.
Il s’agit donc d’une répétition de deux expériences identiques et indépendantes.
Cette répétition peut être représentée par l’arbre pondéré ci-contre.
Les issues de la répétition sont les listes (R ; R), (R ; V), (R ; N), (V ; R), (V ; V), (V ; N), (N ; R), (N ; V), (N ; N). La probabilité de la liste (R ;N), par exemple, est égale au produit
4 9×2
9= 8
81
C. Un exemple de variable aléatoire
Dans l’exemple précédent, à chaque issue de la répétition, on associe le nombre de boules rouges obtenues.
On définit ainsi une variable aléatoire qui prend les valeurs 0 ;1 et 2.
Par exemple, l’événement (X=1) est réalisé par les issues (R ; V), (R ; N), (V ; R), (N ; R).
Donc 𝑃(𝑋 = 1) =4
9×3
9+4
9×2
9+3
9×4
9+2
9×4
9= 40
81
On calcule de même 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑃(𝑅; 𝑅) =4
9×4
9=16
81. Pour calculer 𝑃(𝑋 = 0), on peut procéder de même ou ainsi : 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑃(𝑋 = 1) − 𝑃(𝑋 = 2) = 1 −40
81−16
81= 25
81
𝒙𝒊 0 1 2
P(X=𝒙𝒊) 25 81
40 81
16 81
Exercices n°35 à 38 - 40 à 42 – 44 – 45 p 217 – 219 Exercices n°65 – 66 – 69 – 70 p 222 – 224
