Produit scalaire S 1
Produit scalaire
Pour reprendre contact n°1 à 5 p 309
I. Produit scalaire et orthogonalité A. Définitions et propriétés Définition
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs 𝑢⃗ (𝑥𝑦) et 𝑣 (𝑥′𝑦′).
Le produit scalaire de 𝑢⃗ par 𝑣 , noté 𝑢⃗ .𝑣 , est le nombre réel défini par 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑥𝑥′+ 𝑦𝑦′
Propriété
Pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 du plan, on a 𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ = 𝒗⃗⃗ . 𝒖⃗⃗ (symétrie du produit scalaire)
Pour tous vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ du plan et pour tout réel 𝛼, (bilinéarité du produit scalaire) 𝒖
⃗⃗ . (𝜶𝒗⃗⃗ ) = 𝜶 × (𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ ) 𝒖⃗⃗ . (𝒗⃗⃗ + 𝒘⃗⃗⃗ ) = 𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ + 𝒖⃗⃗ . 𝒘⃗⃗⃗
Démonstration
Avec la notation de la définition, 𝑣 . 𝑢⃗ = 𝑥′𝑥 + 𝑦′𝑦 = 𝑥𝑥′+ 𝑦𝑦′= 𝑢⃗ . 𝑣
𝑢⃗ . (𝛼𝑣 ) = 𝑥 × 𝛼𝑥′+ 𝑦 × 𝛼𝑦′= 𝛼𝑥𝑥′+ 𝛼𝑦𝑦′= 𝛼(𝑥𝑥′+ 𝑦𝑦′) = 𝛼 × 𝑢⃗ . 𝑣 On démontre de même l’autre égalité
Définition
Soit 𝑢⃗ un vecteur. Le nombre 𝒖⃗⃗ . 𝒖⃗⃗ est appelé carré scalaire de 𝑢⃗ et noté 𝒖⃗⃗ ²
Propriété (Identités remarquables) Pour tous vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 du plan,
(𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ )𝟐 = 𝒖⃗⃗ ² + 𝟐𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ² (𝒖⃗⃗ − 𝒗⃗⃗ )𝟐 = 𝒖⃗⃗ ² − 𝟐𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ² (𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ). (𝒖⃗⃗ − 𝒗⃗⃗ ) = 𝒖⃗⃗ ² − 𝒗⃗⃗ ²
Démonstration
Avec la notation de la définition, (𝑢⃗ + 𝑣 )² = (𝑢⃗ + 𝑣 ). (𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝑢⃗ ² + 𝑢⃗ . 𝑣 + 𝑣 . 𝑢⃗ + 𝑣 ² = 𝑢⃗ ² + 2𝑢⃗ . 𝑣 + 𝑣 ² car 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢⃗
On démontre de même les autres égalités.
Exercices n°16 à 19 p 326
B. Orthogonalité de deux vecteurs Définition
Deux vecteurs AB et CD sont orthogonaux si et seulement si, soit l’un des vecteurs est le vecteur nul, soit les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
Propriété
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Exercices n°20 à 24 – 26 – 27 p 326
Produit scalaire S 2 C. Application : équations de droites et de cercles
Définition
Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.
Propriété
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des réels avec (𝑎 ; 𝑏) ≠ (0 ; 0).
La droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 a pour vecteur normal 𝒏⃗⃗ (𝒂𝒃)
Toute droite de vecteur normal 𝑛⃗ (𝑎𝑏) admet une équation de la forme 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
Rappel
Une droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 admet pour vecteur directeur 𝑣 (−𝑏𝑎)
Exemple
2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 est une équation d’une droite de vecteur normal 𝑛⃗ (−12) Propriété caractéristique d’un cercle
Soit le cercle de centre (𝑎; 𝑏) et de rayon 𝑟.
Un point 𝑀(𝑥; 𝑦) appartient à si et seulement si (𝒙 − 𝒂)𝟐+ (𝒚 − 𝒃)𝟐= 𝒓² On dit que (𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟² est une équation du cercle .
Propriété caractéristique d’un cercle
Un point 𝑀 appartient au cercle de diamètre [𝐴𝐵] si et seulement si 𝑴𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 Exercices n°29 à 33 – 37 à 43 p 327
II. Norme d’un vecteur et applications Définition
Soit 𝑢⃗ un vecteur et deux points 𝐴 et 𝐵 tels que 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
On appelle norme de 𝑢⃗ le réel positif ou nul, noté ‖𝑢⃗ ‖ défini par ‖𝑢⃗ ‖ = 𝐴𝐵
Propriétés
Dans un repère orthonormé du plan, si 𝑢⃗ (𝑥𝑦) alors ‖𝑢⃗ ‖ = √𝑥² + 𝑦²
Pour tout vecteur 𝑢⃗ , 𝑢⃗ ² = ‖𝑢⃗ ‖². En particulier 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ² = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖² = 𝐴𝐵²
Pour tout vecteur 𝑢⃗ et tout réel 𝑘, ‖𝑘𝑢⃗ ‖ = 𝑘 × ‖𝑢⃗ ‖
Démonstration
Soit 𝑀(𝑥 ; 𝑦) tel que 𝑢⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Alors ‖𝑢⃗ ‖ = 𝑂𝑀 = √𝑥² + 𝑦² et 𝑢⃗ ² = 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = 𝑥² + 𝑦² = ‖𝑢⃗ ‖² De plus ‖𝑘𝑢⃗⃗⃗⃗ ‖ = √𝑘²𝑥² + 𝑘²𝑦² = √𝑘²√𝑥² + 𝑦² = 𝑘 × ‖𝑢⃗ ‖
Propriété
Si 𝑢⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs colinéaires non nuls de même sens, 𝑢⃗ . 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖ × ‖𝑣 ‖
Si 𝑢⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs colinéaires non nuls de sens opposés, 𝑢⃗ . 𝑣 = −‖𝑢⃗ ‖ × ‖𝑣 ‖
Démonstration
Voir exercice 58 p 329
Propriété
Si 𝑢⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs du plan, alors 𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ =𝟏
𝟐[‖𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ‖² − ‖𝒖⃗⃗ ‖𝟐− ‖𝒗⃗⃗ ‖²]
Exercices n°47 à 52 p 328 - 329
Produit scalaire S 3
Théorème de la médiane
Soient A et B deux points du plan et I le milieu de [AB]
Pour tout point M du plan, 𝑴𝑨² + 𝑴𝑩² = 𝟐𝑴𝑰² +𝑨𝑩²
𝟐
Démonstration
Voir exercice 58 p 329
Exercices n°59 à 64 p 330
III. Autres expressions du produit scalaire A. Autres expressions
Propriété
Si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont trois points du plan avec 𝐴 ≠ 𝐵 et 𝐴 ≠ 𝐶. Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite AB, alors :
Conséquence
On peut en déduire que si 𝐴 ≠ 𝐵, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶′𝐷′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où C’ et D’ sont les projetés orthogonaux de C et D sur (AB)
Démonstration
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . (𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Or 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 par définition de H (orthogonalité) Donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Si 𝐻 = 𝐴, alors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 car 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux. D’autre part, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 car 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
Donc l’égalité 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐻 est vérifiée.
Si 𝐻 appartient à ]𝐴𝐵), 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires non nuls de même sens, donc
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐻. Donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐻 est vérifiée.
Si 𝐻 n’appartient pas à [𝐴𝐵), 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires non nuls de sens opposés, donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = − 𝐴𝐵 × 𝐴𝐻. Donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵 × 𝐴𝐻 est vérifiée.
Propriété
Si 𝑢⃗ et 𝑣 sont deux vecteurs non nuls, 𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ = ‖𝒖⃗⃗ ‖ × ‖𝒗⃗⃗ ‖ × 𝒄𝒐𝒔(𝒖⃗⃗ , 𝒗⃗⃗ ) Si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont trois points distincts, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩 × 𝑨𝑪 × 𝐜𝐨𝐬 𝑩𝑨𝑪̂
Démonstration
On a 𝑢⃗ ≠ 0 et 𝑣 ≠ 0 donc 𝐴 ≠ 𝐵 et 𝐴 ≠ 𝐶. On peut donc appliquer la propriété précédente.
Si 𝐻 ∈ [𝐴𝐵), 𝐴𝐻 = 𝐴𝐶 × cos(𝑢⃗ , 𝑣 ) donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × cos(𝑢⃗ , 𝑣 )
Si 𝐻 ∈ [𝐴𝐵), 𝐴𝐻 = 𝐴𝐶 × cos(𝜋 − (𝑢⃗ , 𝑣 )) = −𝐴𝐶 × cos(𝑢⃗ , 𝑣 ) . donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵 × 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × cos(𝑢⃗ , 𝑣 )
Dans les deux cas, 𝑢⃗ . 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖ × ‖𝑣 ‖ × 𝑐𝑜𝑠(𝑢⃗ , 𝑣 )
Exercices n°65 à 69 – 71 – 73 – 74 p 330 – 331 Exercices n°75 à 80 – 81 – 82 – 84 à 88 p 330 – 331
Produit scalaire S 4 B. Formules d’addition des cosinus et sinus
Propriétés : Formules d’addition Quels que soient les réels 𝑎 et 𝑏
𝐜𝐨𝐬(𝒂 − 𝒃) = 𝐜𝐨𝐬 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒃 + 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒃 (𝟏) 𝐜𝐨𝐬(𝒂 + 𝒃) = 𝐜𝐨𝐬 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒃 − 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒃 (𝟐) 𝐬𝐢𝐧(𝒂 − 𝒃) = 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒃 − 𝐬𝐢𝐧 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒂 (𝟑) 𝐬𝐢𝐧(𝒂 + 𝒃) = 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒃 + 𝐬𝐢𝐧 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒂 (𝟒) Démonstration
Les autres égalités ont été démontrées dans le chapitre trigonométrie.
C. Calculs des côtés et des angles d’un triangle
Dans un triangle ABC, on adopte les notations simplifiées pour désigner les angles et les longueurs d’un côté.
𝑎 = 𝐵𝐶, 𝑏 = 𝐶𝐴, 𝑐 = 𝐴𝐵, 𝐴̂ = 𝐵𝐴𝐶̂, 𝐵̂ = 𝐶𝐵𝐴̂, 𝐶̂ = 𝐴𝐶𝐵̂
Propriété : Formules d’Al-Kashi Pour tout triangle ABC,
𝒂² = 𝒃² + 𝒄² − 𝟐𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨̂ 𝒃² = 𝒂² + 𝒄² − 𝟐𝒂𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑩̂ 𝒄² = 𝒂² + 𝒃² − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝑪̂
Démonstration
𝑎² = 𝐵𝐶² = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ² = (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )2 = 𝐵𝐴² + 𝐴𝐶² + 2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐴² − 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Comme 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × cos 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝑐 × 𝑏 × cos 𝐴̂, on en déduit que 𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐 cos 𝐴̂
Propriété :
Si 𝑆 est l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶
𝑺 =𝟏
𝟐𝒃𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝑨̂ =𝟏
𝟐𝒂𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝑩̂ =𝟏
𝟐𝒂𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝑪̂
Propriété : Formules des sinus
𝐬𝐢𝐧 𝑨̂
𝒂 =𝐬𝐢𝐧 𝑩̂
𝒃 =𝐬𝐢𝐧 𝑪̂ 𝒄
Exercices n°91 à 96 p 332 – 333 Exercices n°144 à 150 p 338 – 339
