1S2 : contrôle (1 h) (angles et produit scalaire)
I
Donner une équation de la droite (d) passant par A(1 ; -2) et de vecteur normal−→n(1 ; 3).
II
Donner une équation du cercle C de centre Ω(1 ; 3) et de rayon 2.
III
L’équationx2+y2−6x+8y+16=0 est-elle l’équa- tion d’un cercle ?
Si c’est le cas, préciser les coordonnées du centre et du rayon de ce cercle.
IV
1. Rappeler la définition de la mesure principale d’un angle.
2. Donner la mesure principale de 185π 6 .
V
Soient les points A(1 ; 2), B(-1 ; 4) et C(3 ; -1).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs−→
AB et−→
AC.
2. Calculer le produit scalaire −→AB.−→AC et les lon- gueurs AB et AC.
3. En déduire la mesure principale de l’angle
³−→
AB ; −→
AC
´ .
VI
Dans un repère orthonormal ³ O; −→
i ; −→ j ´
, les points A et B ont pour coordonnées cartésiennes A³
−2p 3 ;−2´
et B(−3 ; 3p 3).
1. Déterminer les coordonnées polaires de A et B dans le repère polaire
³ O ;−→
i
´ . 2. Placer les points A et B
3. Déterminer une mesure de l’angle³−→
OA ;−→
OB´ . 4. En déduire la nature du triangle OAB.
VII
Soitx∈ iπ
2 ; π h
tel que sin(x)=1 4. 1. Calculer cos(x).
2. En déduire les valeurs de cos(x+π), sin(π−x), cos
³π 2−x
´ et sin
³π 2+x
´ .
VIII
Soit un carré ABC D. Les droites (EG) et (F H) se coupent enI. Les carrésDF I G etI E B H ont pour cô- tésDF =aetHB=b(voir figure).
Les droites (B F) et (DE) se coupent enJ.
A B
C D
G I
F
E
H J
b
a
b
1. Calculer en fonction dea etb les produits sca- laires suivants :
−→E F.−−→
E D; −→
F E.−→
F B; −→
B F.−−→
DE; −→
AF.−−→
DE; −→
AE.−→
−→ B F AI.−→
E F;−→
AE.−→
AF; −→
E A.−→
E F; −→
F A.−→
F E.
On vérifiera en particulier que −→AF.−−→DE = 0,
−→AE.−→
B F =0 et −→ AI.−→
E F = 0. On pourra admettre ces résultats pour la suite.
2. Montrer que J est l’orthocentre du triangle AE F. En déduire que les points A, I et J sont alignés.
3. Calculer l’aire du triangleAE F en fonction dea etb.
4. Calculer la longueur AK en fonction de a etb, K étant le projeté orthogonal deAsur (E F).
