1S2 : Produit scalaire : TD n
o5
I Mesure de la hauteur de la Tour Eiffel
Voir exercice no94 page 215.
II Formule de Héron
On désigner parS l’aire d’un triangleABCet parpson demi-périmètre :p=a+b+c
2 .
1. En utilisant les relations d’Al-Kashi, montrer que 1+cosAb=2p(p−a)
bc et 1−cosAb=2(p−b)(p−c)
bc .
2. En déduire la valeur de sinA en fonction deb p,a,bet c.
3. En déduire la formule de Héron : S =
q
p(p−a)(p−b)(p−c).
4. (a) Calculer l’aire d’un triangle équilatéral de côté 6.
(b) Calculer l’aire d’un triangle isocèle de sommet AavecAB=6 etBC=8.
Héron d’Alexandrie ou Héron l’Ancien est un ingénieur, un mécanicien et un mathématicien grec du 1ersiècle après J.-C.
III
Simplifier les expressions suivantes : a) cos 4xcos 5x+sin 4xsin 5x
b) sin 5xcos 7x−sin 7xcos 5x IV
On donne cosa= −1
3aveca∈[−π; 0].
Calculer sin 2aet cos 2a.
V
Les réelsaetbvérifient les conditions : cosa=3
5eta∈ i
0;π 2 h
; sinb= 1 p3 etb∈
iπ 2;π
h .
1. Calculer : sina; cosb; cos(a+b) ; cos(a−b) ; sin(a+ b) ; sin(a−b)
2. Calculer : cos 2a; sin 2a; cos 2b; sin 2b
1S2 : Produit scalaire : TD n
o5
I Mesure de la hauteur de la Tour Eiffel
Voir exercice no94 page 215.
II Formule de Héron
On désigner parS l’aire d’un triangleABCet parpson demi-périmètre :p=a+b+c
2 .
1. En utilisant les relations d’Al-Kashi, montrer que 1+cosAb=2p(p−a)
bc et 1−cosAb=2(p−b)(p−c)
bc .
2. En déduire la valeur de sinA en fonction deb p,a,bet c.
3. En déduire la formule de Héron : S =
q
p(p−a)(p−b)(p−c).
4. (a) Calculer l’aire d’un triangle équilatéral de côté 6.
(b) Calculer l’aire d’un triangle isocèle de sommet AavecAB=6 etBC=8.
Héron d’Alexandrie ou Héron l’Ancien est un ingénieur, un mécanicien et un mathématicien grec du 1ersiècle après J.-C.
III
Simplifier les expressions suivantes : a) cos 4xcos 5x+sin 4xsin 5x
b) sin 5xcos 7x−sin 7xcos 5x IV
On donne cosa= −1
3aveca∈[−π; 0].
Calculer sin 2aet cos 2a.
V
Les réelsaetbvérifient les conditions : cosa=3
5eta∈ i
0;π 2 h
; sinb= 1 p3 etb∈
iπ 2;π
h .
1. Calculer : sina; cosb; cos(a+b) ; cos(a−b) ; sin(a+ b) ; sin(a−b)
2. Calculer : cos 2a; sin 2a; cos 2b; sin 2b
