1S2-Suites-TD n

1S2-Suites-TD n

3

I

Parmi les suites suivantes dont on donne le terme général, déterminer celles qui sont géométriques. Justifier la réponse.

a) u_n=3× µ3

5

¶n

b) u_n=3ⁿ n

c) u_n=3ⁿ⁺¹ 2ⁿ d) u_n=2ⁿ+2ⁿ⁺¹

II

Calculer les sommes suivantes : a) S=1+2+4+8+16+32+ · · · +1024 b) S=1−1

2+1 4−1

8+ · · · + 1 1024 c) S=2

3+3 2+

µ2 3

¶2

+ µ3

2

¶2

+ · · · + µ2

3

¶10

+ µ3

2

¶10

III

Soit (u_n) la suite définie par :u₀= −2 et pour tout nombre entier natureln,u_n+1=3u_n+1

7−4u_n et soit (v_n) la suite définie par v_n=5u_n−3

2u_n−1pour toutn.

1. Démontrer que la suite (v_n) est une suite arithmétique.

2. Exprimezv_n, puisu_nen fonction den.

IV

Un jardinier amateur tond sa pelouse tous les samedis, et re- cueille à chaque fois 120 litres de gazon coupé qu’il stocke dans un bac à compost de 300 litres.

Chaque semaine, les matières stockées perdent par décomposi- tion, ou prélèvement, les trois quarts de leur volume.

On appelle v_n le volume en litres stocké le n-ième samedi de tonte.

Vérifier que l’on a :v₁=120,v₂=150 etv₃=157, 5.

Exprimerv_n+1en fonction dev_n.

1. Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?

2. On définit, pour tout entiernÊ1 , le nombret_n part_n = 160−v_n.

Démontrer que la suite (t_n) est géométrique, et préciser son premier terme et sa raison.

3. Exprimert_nen fonction denet en déduire le terme géné- ral de la suite (v_n).

4. Les conditions restant les mêmes, le bac de stockage sera- t-il un jour rempli ?