1S2 : suites numériques : TD n

1S2 : suites numériques : TD n

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I

Dans chaque cas, étudier le sens de variation de la suite (u_n).

a) u₀= −1 etu_n+1=u_n+n b) u₀=5 etu_n+1=u_n− 1

n+1 c) u_n=1+ 1

2²+ 1

3²+ · · · + 1 n²=

Xn i=1

1 i²

d) u_n=1×2×3× · · ·×n(remarque : ce produit se note aussin!)

II

Pour chacune des propositions suivantes, indi- quer si elle est vraie ou fausse. Dans le cas où elle est fausse, on essaiera de donner un contre exemple.

1. Si u_n Éu_n+1 pour une infinité d’entiers, alors la suite (u_n) est croissante à partir d’un certain rang.

2. Une suite qui n’est pas croissante peut ne pas être décroissante.

3. On donne le tableau de variation d’une fonction f sur [0 ;+∞[

x 0 9, 5 +∞

Variations de f ^@_@

@ Rf(9, 5)

La suite (u_n) de terme général u_n = f (n) est croissante à partir de rang 10.

III

Montrer que les suites suivantes sont monotones à partir d’un certain rangn₀que l’on déterminera.

1. un= 1

2n+1− 1 2n−1 2. un=1+1

n + 1 n²

IV

(u_n) est une suite arithmétique de premier terme u₀= −3 et de raisonr=2.

Calculer les termesu1,u10,u100etu150.

V

(u_n) est une suite arithmétique.

On sait queu₁₅=13 etu₁₇=5.

1. Calculeru0et la raisonr de cette suite.

2. Calculeru₂₅

VI

Calculer la sommeS=5+9+13+17+ · · · +269

VII

Pour rechercher du pétrole, on entreprend un fo- rage. Le première mètre coûte 90 e, le deuxième mètre coûte 110e, le troisième coûte 130e _{et ainsi} de suite, en augmentant toujours de 20e_{le prix du} mètre supplémentaire.

1. Combien coûtera un forage de 50 mètres ? 2. Avec une somme de 56 090e, quelle profondeur

peut-on atteindre ?