Suites géométriques       

(1)

Suites géométriques

Vocabulaire : Le nombre aⁿ est la puissance de a d’exposant n Définitions :

a désigne un nombre réel et n un entier naturel

aⁿ = a x a x a x ………x a (produit de n facteurs) a¹ = a

a^-n = 1 ( pour a ≠ 0 ) a⁰ = 1 ( pour a ≠ 0 ) aⁿ

Formules :

a et b désignent des nombres réels non nuls et n et m des entiers relatifs aⁿ x a^m = a^{( n + m )} aⁿ x bⁿ = (a x b )ⁿ ( aⁿ )^m = a^{( n x m )} aⁿ = a^{( n - m )} aⁿ = ( a )ⁿ

a^m bⁿ b

Définition

La suite géométrique

 

^u_n _n__IN de raison q et de premier terme t est définie par













 u q

u t

u

n n 1 0

0, n pour tout Une suite géométrique est donc une suite pour laquelle le rapport q

u u

n

n^1  est constant.

Exemple : la suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = - 3 est : (-3; -6; -12; -24; -48; ...) Propriété : formule explicite pour une suite géométrique

Si

 

u_n _n__IN est une suite géométrique de raison q alors pour tout entier naturel n on a u_n u₀qⁿ Plus généralement, pour tous entiers n et k avec k<n, on a u_n u_kq⁽ⁿ^^k⁾

Exemple : avec la suite de l'exemple précédent on a : u0 = -3 x 2⁰ = -3 x 1 = -3 u1 = -3 x 2¹ = -3 x 2 = -6 u2 = -3 x 2² = -3 x 4 = -12 u3 = -3 x 2³ = -3 x 8 = -24 u4 = -3 x 2⁴ = -3 x 16 = -48 Etude du sens de variation :

Si la raison q est positive, on a u_n_₁u_n u₀ q^{ }ⁿ^¹ u₀ qⁿ u₀qⁿ 



q1



.

La suite

 

u_n _n__IN est donc monotone et le sens de variation est déterminé par les signes de u₀ et q1. Exemple : pour la suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = - 3

Pour tout entier naturel n, u_n_₁u_n 32^ⁿ^¹^ (3)2ⁿ 32ⁿ



21



32ⁿ 0 donc la suite

 

u_n _n__IN est strictement décroissante

Si la raison q est négative (cas hors programme), la suite géométrique n’est pas monotone (ni croissante, ni décroissante)

Exemple :

Pour u_n 

 

1ⁿ la suite est géométrique de raison –1. Elle est périodique et vaut alternativement –1 ou 1.