Nom :
Prénom : DS n°1
le 25/09/2017 Classe :
T S …
Avis du professeur
Compétences évaluées Acquis En cours
d'acquisition Non Acquis Exercice controlé : Etudier le sens de variation d'une suite.
Déterminer des limites. Lever des formes indéterminées.
Mener des raisonnements par récurrence.
Ecrire un algorithme.
Comprendre un algorithme / Interpréter le résultat affiché en sortie.
Démontrer qu'une suite est géométrique et déterminer son premier terme et sa raison.
Exprimer le terme général d'une suite en fonction de . Modéliser une situation.
Résoudre un problème à prise d'initiative.
Utilisation de la calculatrice.
Maîtrise des calculs
Rédaction des réponses soignée et rigoureuse.
Barème Ex 1(EC) : 3 pts Ex 2 : 4 pts Ex 3 : 3 pts Ex 4 : 3 pts Ex 5 : 7 pts Total : 20 pts Note de l'élève
Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.
Exercice 1 : Exercice controlé
1. ( ) est la suite définie sur N par = .
Utiliser la calculatrice pour conjecturer le sens de variation de ( ). Démontrer le résultat.
2. est la suite définie sur N par = .
a) Justifier que les termes de la suite sont positifs.
b) Exprimer en fonction de .
c) En déduire le sens de variation de la suite ( ).
Exercice 2 : Déterminer les limites des suites suivantes en +∞.
a) = b) = + 1 c) =
d) = e) = f) = ( + )
Exercice 3 : ( ) est la suite définie sur N par = 8 et = .
1. a) Montrer par récurrence que la suite ( ) est décroissante sur N et minorée par 4.
b) Que peut-on en déduire ?
2. On admet que la limite de ( ) vérifie la relation = . Déterminer . Exercice 4 : ( ) est la suite définie sur N par = 2 et = .
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = . 2. Déterminer la limite de ( ).
bn
an
dn en fn )
un
un 3n2¡n+ 1
un
2n n+1
n
v vn
vn+1
vn
vn
un un+1 p
5un¡4 u0
un
un L p
5L¡4
L L
un u0 un+1 2
3
1 3n+ 1 un+
n un 2
(
23)
n+n unn
5
3¡n2 cn
n2+4n¡1 n3¡3
-n2+2n¡4 3n¡1
1 n2
1 n
1 n3 -3n2+ 4n¡5 (n¡
5pn+ 3n+ 1
Exercice 5 : Pour égayer son magasin, le gérant a décidé d'y installer un aquarium de 300 L.
Au départ, l'eau, les graviers, les plantes, les poissons et autres accessoires occupent un volume de 280 L.
Compte tenu de la température du magasin, du taux d'humidité et d'autres facteurs, 2 % du volume de l'aquarium s'évapore chaque semaine. Pour compenser cette évaporation, un système de remplissage automatique rajoute 5 L d'eau chaque semaine.
On note le volume d'eau en litres contenu dans l'aquarium au bout de semaines.
1. a) Justifier que la suite ( ) est définie sur N par = 280 et = . b) Proposer un algorithme qui permet d'afficher les 5 premiers termes de la suite.
c) Compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à près.
0 1 2 3 4
d) On considère l’algorithme suivant :
Variables : N est un nombre entier naturel V est un nombre réel
Initialisation : Traitement :
Affecter à N la valeur 0 Affecter à V la valeur 280 Tant que V ≥ 260 faire N prend la valeur N + 1
V prend la valeur 0,98 × V + 5 Fin Tant que
Sortie : Afficher N
Donner et interpréter le résultat fourni par cet algorithme.
2. On considère la suite ( ) définie sur N par = .
a) Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique dont on déterminera le 1er terme et la raison.
b) Exprimer puis en fonction de .
3. Indiquer pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse à l'aide d'un raisonnement mathématique rigoureux.
◦ Affirmation 1 : L'aquarium risque un jour de déborder.
◦ Affirmation 2 : L'aquarium risque un jour d'être à sec.
4. L'aquarium a la forme d'un parallélépipède rectangle de longueur = 125 cm, de largeur = 40 cm et de hauteur = 60 cm. Il contient une plante de décoration en plastique de 52 cm de hauteur.
La plante dépassera-t-elle un jour de la surface de l'eau ? Si oui, au bout de combien de semaines ? Justifier.
Rappel : 1 L = 1 dm
vn n
vn v0 vn+1
10-1
vn
n
an an vn¡250
an
an vn n
L l
h
3
0,98vn+ 5
Correction du DS n°1 Exercice 1 : Exercice controlé
1. ( ) est la suite définie sur N par = .
Utiliser la calculatrice pour conjecturer le sens de variation de ( ). Démontrer le résultat.
La calculatrice permet d'obtenir : = 1, = 3, = 11 et = 25.
La suite ( ) semble croissante sur N.
Dé
monstration :
∀ ∈ N, = =
= =
Or : ∀ ∈ N, > .
On en déduit : ∀ ∈ N, > 0 ⇔ > . Ainsi, la suite ( ) est croissante sur N.
Autre démonstration possible : ∀ ∈ N, = = où est la fonction définie sur R par : =
est une fonction polynôme du 2nd degré avec =3>0 et = = donc est décroissante sur ]-∞; [ puis croissante sur ] ; +∞[. On en déduit que la suite ( ) est croissante sur N* ⊂ ] ; +∞[.
Enfin, puisque < , on peut en déduire que ( ) est également croissante sur N.
2. est la suite définie sur N par = .
a) Justifier que les termes de la suite sont positifs.
∀ ∈ N, ≥ 1 > 0
De plus : 2 > 0 donc : ∀ ∈ N, > 0 Donc : ∀ ∈ N, = > 0.
b) Exprimer en fonction de .
∀ ∈ N, = = × = = c) En déduire le sens de variation de la suite ( ).
Si = 0 alors = . On en déduit : = 1 ⇔ =
∀ ∈ N*, > donc > > 0 ⇔ > 1 Ainsi : ∀ ∈ N*, > 1
Tous les termes de la suite ( ) étant strictement positifs, on en déduit : ∀ ∈ N*, > .
La suite ( ) est strictement croissante sur N*. Avec = , on peut dire qu'elle est croissante sur N.
un un 3n2¡n+ 1
un
v vn 2n
n+1
vn+1
vn n
vn
un
u0 u1 u2 u3
un
n un+1¡un 3(n+ 1)2¡(n+ 1) + 1¡(3n2¡n+ 1) un+1¡un 3(n2+ 2n+ 1)¡n¡1 + 1¡3n2+n¡1 un+1¡un 3n2+ 6n+ 3¡3n2¡1 6n+ 2
6n+ 2
n un+1¡un un+1 un
n n+ 1
2n vn 2n
n+1 n n
n
n vn+1v
n
2n+1 n+2
2n n+1
2n+1 n+2
n+1 2n
2£2n£(n+1) (n+2)£2n
2n+2 n+2
n 2n n 2n+ 2 n+ 2 2n+ 2 n+ 2
n vv1
0 v0 v1
n vn+1v
n
2n+2 n+2
vn n vn+1 vn
vn v0 v1
n un 3n2¡n+ 1 f(n) 3x2¡x+ 1 f(x)
f
f a ® 2a-b 16 f 16
1
6 un 1
6
u0 u1 un
Exercice 2 : Déterminer les limites des suites suivantes en +∞.
a) =
On sait que : = +∞ = +∞ et =
On en déduit, par somme de limites : = ( ) = +∞
b) = + 1
On sait que : = -∞
Par quotient de limite, on en déduit : = 0
Ainsi, par somme de limites : = ( + 1) = 1 c) =
On sait que : = -∞ et = +∞ « +∞ – ∞ » est une forme indéterminée.
Levée de la forme indéterminée : = = (- + – )
On a : = = 0. On en déduit, par somme : (- + – ) = - < 0 De plus : = +∞
On en déduit, par produit : = -∞ d) =
Un raisonnement direct mènerait à la forme indéterminée .
Levée de la forme indéterminée : = = =
On a : = = 0. On en déduit, par somme : ( + – ) = De même, puisque : = +∞ et : = 0 alors : ( – ) = +∞ On en déduit, par quotient de limites : = 0
e) =
Un raisonnement direct mènerait de nouveau à la forme indéterminée .
Levée de la forme indéterminée : = = =
On a : = = = 0.
On en déduit, par somme : ( + – ) = et : ( – ) = 3 Par produit de limites on a : [ ( + – )] = -∞
On en déduit, par quotient de limites : = -∞
f) = ( + )
Un raisonnement direct mènerait à la forme indéterminée « ∞ × 0 ».
Levée de la forme indéterminée en développant : = ( + ) = 1 + – –
On a : = = = 0.
On en déduit, par somme : (1 + – – ) =
Ainsi : =
an
bn 5 3¡n2
cn -3n2+ 4n¡5
dn n2+4n¡1 n3¡3
en -n2+2n¡4 3n¡1
fn (n¡n12) n1 n13
n!lim+1an lim
n!+1 n!lim+1 lim
n!+13n lim
n!+1
5p n 5p
n+ 3n+ 1
1 1 5p
n+ 3n+ 1
n!lim+13¡n2
n!lim+1
5 3¡n2
n!lim+1 lim
n!+1
bn 5
3¡n2
n!lim+1
n!lim+1 lim
n!+1
-3n2 4n
cn -3n2+ 4n¡5 n2 3 n4 n52
n!lim+1
4
n lim
n!+1
5
n2 lim
n!+1 3 n4 n52 3
n!lim+1n2
cn
11
n2+4n¡1 n3¡3 dn
n2(1+n4¡n12) n2(n¡n32)
1+n4¡n12
n¡n32 n!lim+1
4
n lim
n!+1 lim
n!+1
4 n 1
n2 1 n12 1
n!lim+1 lim
n!+1
n n32 lim
n!+1 n n32
n!lim+1dn
11
n!lim+1 lim
n!+1
n!lim+1
n!lim+1
en -n2+2n¡4 3n¡1
n2(-1+n2¡n42) n(3¡n1)
n(-1+n2¡n42) 3¡n1 2
n lim
n!+1
4 n2
1 n
-1 n2 n42 -1 lim
n!+1 3 n1
n!lim+1 n -1 n2 n42 en
n!lim+1 lim
n!+1 lim
n!+1 n!lim+1 n!lim+1
fn (n¡n12)n1 n13 n12 n13 n15 1
n2
1 n3
1 n5 1 n2
1 n3
1 n5 fn 1
1
Exercice 3 : ( ) est la suite définie sur N par = 8 et = .
1. a) Montrer par récurrence que la suite ( ) est décroissante sur N et minorée par 4.
On pose : ∀ ∈ N, p : « ≥ ≥ 4 ».
◦ Initialisation :
= 8 et : = = = =
Donc : ≥ ≥ 4 et p est vraie.
◦ Hérédité :
Soit ∈ N. On suppose que p est vraie, c'est-à-dire : ≥ ≥
On en déduit successivement : ≥ ≥ car > 0 ≥ ≥ La fonction racine carrée étant croissante sur R , on a : ≥ ≥ On en déduit : ≥ ≥ 4.
Ainsi p est vraie et la propriété p est héréditaire.
◦ Conclusion :
p est vraie et p est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≥ ≥ 4.
Ainsi, la suite ( ) est décroissante sur N et minorée par 4.
b) Que peut-on en déduire ?
La suite ( ) est décroissante sur N et minorée par 4 donc ( ) converge vers un réel (avec ≥ 4).
2. On admet que la limite de ( ) vérifie la relation = . Déterminer . = > 0
Donc : = ⇔ = ⇔ = 0
On calcule le discriminant : ∆ = = = = > 0
L'équation admet deux solutions distinctes :
= = = = et = = = =
La solution ne convient pas car, d'après la question 1.a) la suite ( ) est minorée par 4.
On en déduit que la suite ( ) converge vers 4.
un u0 un+1 p
5un¡4 un
L un L p
5L¡4 L
n un un+1
u0 u1 p
5u0¡4 p
5£8¡4 p 36 6 u0 u1 0
k k uk uk+1
5uk 5uk+1
5uk¡4 5uk+1¡4 16 20
4
5 p5uk¡4 p
5uk+1¡4 p
+ 16 uk+1 uk+2
k+1 n
0 n n un un+1
un
un un L L
L p
5L¡4 L p
5L¡4 L2
b2 ¡4ac L1 -b¡p
¢
2a L2 -b+p
¢ 2a
5L¡4 L2¡5L+ 4
(-5)2 ¡4£1£4 25¡16 9 5¡p
9 2
5+p 9 2 5¡3
2 1 5+32 4
L1 un
un n
Exercice 4 : ( ) est la suite définie sur N par = 2 et = . 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = . On pose : ∀ ∈ N, p : « = ».
Initialisation :
= 2 et = =
Donc : = Donc p est vraie.
Hérédité :
Soit ∈ N. On suppose que p est vraie, c'est-à-dire : = .
= = [ ] + = + + = +
On en déduit que p est vraie et que la propriété p est héréditaire.
Conclusion :
p est vraie et p est héréditaire donc : ∀ ∈ N, = . 2. Déterminer la limite de ( ).
∀ ∈ N, = .
∈ ]- ; [ donc : = 0.
On en déduit : = 0.
De plus : = +∞. Donc, par somme de limites : = +∞.
Finalement : = +∞.
un u0 un+1 2
3un+1 3n+ 1 n un 2
(
23)
n+nun n
u0 0
k k
k+1 n
0 n n
un 2
(
23)
n+nu0 2
(
23)
0+ 0 2£1 + 0 2 2(
23)
0+ 02
uk
(
23)
k+k 23 1
uk+1 uk+3k+ 1 23 2
(
23)
k+k 13k+ 1 2(
23)
k+1 23k 13k+ 1 2(
23)
k+1 k+ 1un 2
(
23)
n+nn un 2
(
23)
n+n 23 1 1 lim
n!+1
(
23)
nn!lim+12
(
23)
nn!lim+1n lim
n!+12
(
23)
n +nn!lim+1un
n
Exercice 5 : Pour égayer son magasin, le gérant a décidé d'y installer un aquarium de 300 L.
Au départ, l'eau, les graviers, les plantes, les poissons et autres accessoires occupent un volume de 280 L.
Compte tenu de la température du magasin, du taux d'humidité et d'autres facteurs, 2 % du volume de l'aquarium s'évapore chaque semaine. Pour compenser cette évaporation, un système de remplissage automatique rajoute 5 L d'eau chaque semaine.
On note le volume d'eau en litres contenu dans l'aquarium au bout de semaines.
1. a) Justifier que la suite ( ) est définie sur N par = 280 et = .
Pour tout entier naturel , désigne le volume d'eau (en L) contenu dans l'aquarium au bout de semaines.
Initialement, l'eau, les graviers, les plantes, les poissons et autres accessoires occupent un volume de 280 L.
On pose alors : = 280.
Chaque semaine, 2 % du volume de l'aquarium s'évapore et on ajoute 5 L d'eau pour compenser la perte.
On en déduit : = – + = = .
b) Proposer un algorithme qui permet d'afficher les 5 premiers termes de la suite.
0 → 280 →
Pour allant de 0 à 4 : Afficher
→
Fin pour
c) Compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à près.
0 1 2 3 4
280 279,4 278,8 278,2 277,7
d) On considère l’algorithme suivant :
Variables : N est un nombre entier naturel V est un nombre réel
Initialisation : Traitement :
Affecter à N la valeur 0 Affecter à V la valeur 280 Tant que V ≥ 260 faire N prend la valeur N + 1
V prend la valeur 0,98 × V + 5 Fin Tant que
Sortie : Afficher N
Donner et interpréter le résultat fourni par cet algorithme.
L'algorithme affiche : N = 55
Cela signifie qu'au bout de 55 semaines, l'eau, les graviers, les plantes, les poissons et autres accessoires occupent un volume strictement inférieur à 260 L.
vn n
vn v0 vn+1
10-1 n
vn
vn n
n v0
vn+1 vn 2
100vn 5 vn¡0,02vn+ 5 0,98vn+ 5
0,98V + 5 V V V N
i
0,98vn+ 5
2. On considère la suite ( ) définie sur N par = .
a) Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique dont on déterminera le 1er terme et la raison.
∀ ∈ N, = et : = .
Donc : = =
Or : = ⇔ =
Donc : = = =
On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison = 0,98.
Calcul du 1er terme : = = = b) Exprimer puis en fonction de .
( ) est géométrique de raison = 0,98 et de 1er terme : = . Donc : ∀ ∈ N, = =
On en déduit : = = +
3. Indiquer pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse à l'aide d'un raisonnement mathématique rigoureux.
◦ Affirmation 1 : L'aquarium risque un jour de déborder.
A la lecture du tableau de valeurs de la question 1.c) il semble que la suite ( ) soit décroissante.
Prouvons-le :
∀ ∈ N, = +
Donc : =
= = =
= < 0
<
On en déduit que la suite ( ) est effectivement décroissante sur N.
Ainsi, le volume occupé dans l'aquarium par l'eau, les graviers, les plantes, les poissons et autres accessoires diminue chaque semaine. L'aquarium ne débordera jamais. L'affirmation 1 est donc fausse.
Autre justification possible : ∀ ∈ N, = + 0 < 0,98 < 1 donc la suite ( ) est décroissante sur N.
30 > 0 donc la suite ( ) reste décroissante sur N.
Ajouter (ou soustraire) un nombre ne modifie pas les variations d'une suite. Donc ( ) est décroissante sur N.
◦ Affirmation 2 : L'aquarium risque un jour d'être à sec.
∀ ∈ N, = +
∈ ]- ; [ donc : = 0.
On en déduit : = 0 Puis : ( + ) =
Finalement : = .
Ainsi, ( ) est décroissante sur N et convergente vers 250. ( ) est minorée par 250.
Donc le volume occupé dans l'aquarium par l'eau, les graviers, les plantes, les poissons et autres accessoires ne sera jamais inférieur à 250 L. L'aquarium ne sera jamais à sec. L'affirmation 2 est donc fausse.
4. L'aquarium a la forme d'un parallélépipède rectangle de longueur = 125 cm, de largeur = 40 cm et de hauteur = 60 cm. Il contient une plante de décoration en plastique de 52 cm de hauteur.
La plante dépassera-t-elle un jour de la surface de l'eau ? Si oui, au bout de combien de semaines ? Justifier.
On peut commencer par calculer le volume d'eau minimum que doit contenir l'aquarium pour que la plante, haute de 52 cm, reste totalement immergée.
= × × 52 = 125 × 40 × 52 = 260 000 cm = 260 dm = 260 L.
L'algorithme de la question 1. d) a permis de déterminer qu'il faudra 55 semaines pour que le volume contenu dans l'aquarium devienne strictement inférieur à 260 L. La plante dépassera donc de la surface de l'eau au bout de 55 semaines.
an an vn¡250
an
an vn n
L l
h
n an+1 vn+1 ¡250 vn+1
an+1
an vn¡250 vn an+ 250 an+1
an q
0,98an
0,98an+ 245¡245 a0 v0¡250 280¡250 30
0,98 (an+ 250)¡245
0,98vn¡245 0,98vn+ 5¡250
0,98vn+ 5
n
an q a0 30
an a0£qn 30£0,98n vn an+ 250 250 30£0,98n
vn
vn 250 30£0,98n
vn+1¡vn 250 + 30£0,98n+1¡250¡30£0,98n vn+1¡vn 30£0,98n£0,98¡30£0,98n
vn+1¡vn 30£0,98n(0,98¡1) vn+1¡vn 30£0,98n(-0,02) vn+1¡vn -0,6£0,98n
vn
n vn 250 30£0,98n
n!lim+1
1 1 lim
n!+1
n!lim+12 lim
n!+1
0,98 0,98n
30£0,98n 250 30£0,98n 250 250
vn
3 3
Vmin
Vmin L l
n vn 250 30£0,98n 0,98n
30£0,98n
vn
vn vn
n
vn+1 vn
