1S2 : Produit scalaire, trigonométrie : TD n
o6
I
Exprimer les expressions suivantes en fonction de sinx et cosx:
A(x)=cosx+cos µ
x+2π 3
¶ +cos
µ x+4π
3
¶
II
1. Déterminer l’ensemble de définition def :x7→ 1 cos(2x) 2. (a) Montrer quef est périodique de périodeπ.
(b) A-t-elle une autre propriété particulière ? (c) Sur quel intervalle suffit-il d’étudierf ?
III
Dans un repère orthonormal ³ O;−→
i ;−→ j´
, on considère le pointM(2p
3 ; 2).
1. Déterminer des coordonnées polaires deMdans³ O;−→i ´ 2. On considère le pointNtel queON=OM
2 et³−−→
OM;−−→
ON´
= 3π
4 (2π).
Déterminer des coordonnées polaires deNdans³ O;−→
i ´ . 3. (a) À partir de formules d’addition, montrer que
sin µ11π
12
¶
= p6−p
2
4 .
(b) De même, calculer la valeur exacte de cos µ11π
12
¶ . 4. En déduire les coordonnées cartésiennes deN.
IV
1. Résoudre dans [0 ; 2π[ les équations : (a) cosx=0
(b) 1−2sinx=0.
2. Résoudre dans [0,2π[ les inéquations : (a) cosx>0
(b) 1−2sinxÊ0
3. On considère la fonctionf définie parf(x)=cos2x+sinx.
(a) Sur quel ensemble est-elle définie et dérivable ? (b) Sur quel ensemble suffit-il de l’étudier ? Justilier (c) Etudier les variations def sur [0 ; 2π[
(d) Dresser son tableau de variations complet (avec les valeurs des extremum) sur [0 ; 2π].
(e) Construire la courbe représentative def sur [0 ; 2π[.
(f) Montrer que, pour toutx,f³π 2+x´
=f³π 2−x´
. En déduire une conséquence graphique.
(g) Compléter alors la courbe sur
·
− π 2 ; 5π
2
¸
1S2 : Produit scalaire, trigonométrie : TD n
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I
Exprimer les expressions suivantes en fonction de sinx et cosx:
A(x)=cosx+cos µ
x+2π 3
¶ +cos
µ x+4π
3
¶
II
1. Déterminer l’ensemble de définition def :x7→ 1 cos(2x) 2. (a) Montrer quef est périodique de périodeπ.
(b) A-t-elle une autre propriété particulière ? (c) Sur quel intervalle suffit-il d’étudierf ?
III
Dans un repère orthonormal ³
O;−→i ;−→j´
, on considère le pointM(2p
3 ; 2).
1. Déterminer des coordonnées polaires deMdans³ O;−→
i ´ 2. On considère le pointNtel queON=OM
2 et³−−→
OM;−−→
ON´
= 3π
4 (2π).
Déterminer des coordonnées polaires deNdans³ O;−→
i ´ . 3. (a) À partir de formules d’addition, montrer que
sin µ11π
12
¶
= p6−p
2
4 .
(b) De même, calculer la valeur exacte de cos µ11π
12
¶ . 4. En déduire les coordonnées cartésiennes deN.
IV
1. Résoudre dans [0 ; 2π[ les équations : (a) cosx=0
(b) 1−2sinx=0.
2. Résoudre dans [0,2π[ les inéquations : (a) cosx>0
(b) 1−2sinxÊ0
3. On considère la fonctionf définie parf(x)=cos2x+sinx.
(a) Sur quel ensemble est-elle définie et dérivable ? (b) Sur quel ensemble suffit-il de l’étudier ? Justilier (c) Etudier les variations def sur [0 ; 2π[
(d) Dresser son tableau de variations complet (avec les valeurs des extremum) sur [0 ; 2π].
(e) Construire la courbe représentative def sur [0 ; 2π[.
(f) Montrer que, pour toutx,f³π 2+x´
=f³π 2−x´
. En déduire une conséquence graphique.
(g) Compléter alors la courbe sur
·
− π 2 ; 5π
2
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