Nom :
Groupe : 1MATHS1 DS n°4
Trigonométrie et produit scalaire Le : 28/01/2021 Durée : 2h Note : … / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Ré-appliquer les méthodes du cours sur des exercices contrôlés.
Déterminer la parité d'une fonction par le calcul.
Justifier qu'une équation n'admet aucune solution dans R.
Justifier graphiquement si une fonction peut être paire ou impaire sur R.
Déterminer par le calcul si une fonction est périodique de période T donnée.
Déterminer la transformation du plan qui permet de passer d'un point à un autre sur une courbe.
Calculer des images / Compléter un tableau de valeurs.
Compléter le tracer d'une courbe sinusoïdale.
Calculer / Exprimer un produit scalaire de différentes façons.
Calculer une longueur
Justifier la nature d'un triangle
Justifier la position relative de deux droites
Exercice 1 : EC … / 7
1. a) Convertir 150° en radian.
b) Convertir en degrés.
2. Déterminer la mesure principale de .
3. Les réels - et - repèrent ils le même point sur le cercle trigonométrique ? Justifier.
4. Quelle est la valeur d'un angle en radian dont la mesure appartient à ]- ; ] et dont le cosinus vaut et le sinus vaut ?
5. On admet le résultat suivant : = . En déduire la valeur exacte de .
6. A l'aide de la courbe de la fonction cosinus ci-dessous, résoudre graphiquement l'inéquation < .
7. A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans ]- ; ] l'inéquation < .
Exercice 2 : Soit la fonction définie sur R par = . … / 2 1. Déterminer la parité de la fonction sur R.
2. Montrer que, quel que soit l'entier relatif non nul, l'équation = n'admet aucune solution dans R. Que peut-on en déduire ?
7¼ 3
45¼ 4 17¼
3
2¼ 3
¼
¼ -p
3
2 0,5
p5 + 1 cos(¼ 4
5) sin(¼
5)
¼ ¼ -1
sin(x) 2
cos(x) 0,5
f f(x) sin(2x)¡3x
f
k f(x) f(x+k¼)
Exercice 3 : Soit la fonction définie sur R par = … / 6 On note c sa représentation graphique dans le plan rapporté au repère (O ; , ).
Une portion de la courbe c est donnée ci-dessous sur l'intervalle [- ; ].
1. La fonction peut-elle être paire ou impaire sur R ? Justifier graphiquement chaque réponse.
2. a) Démontrer que est - périodique sur R.
b) Soient M et M les points de c d'abscisses respectives et . Quelle transformation géométrique permet de passer de M à M ? 3. Compléter le tableau des valeurs de sur l'intervalle [- ; ].
-
* * * *
* Justifier chaque résultat en présentant des calculs détaillés.
4. Compléter la construction de la courbe sur l'intervalle [- ; ].
Exercice 4 : … / 5
On considère la figure ci-dessous dans laquelle AB = , BC = , = °, I est le milieu de [BC] et H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
1. a) Exprimer le produit scalaire . de deux façons différentes.
b) Montrer que BH =
c) Calculer la valeur exacte de . 2. a) Calculer .
b) En déduire la nature complète du triangle BCH.
3. a) Que peut-on dire des droites (IH) et (BC) ? Justifier.
b) En déduire la valeur de .
f 5cos(2x+ ¼
3) f(x)
~j
~i
f
f ¼
¼ 6
5¼ 6 x+¼
0 x
0
f(x)
x f(x)
¼ 6
¼ 6
¼ 3
¼
2 2¼
3
5¼ 0 6
¼ 2¼
¼ 6
5¼ 6
2,5 2,5 5
[
ABC 45
6 5
¡!BA ¡!
BC
¡!CH2
¡!BC
¡! IH 5p
2
2 ¡!HB ¡!HA
Correction du DS n°4
Exercice 1 : Cf. correction des exercices n°4, 6, 8 du cours #4 et n°20, 24, 29 et 31 p 101 et 102 du livre Exercice 2 : Soit la fonction définie sur R par = .
1. Déterminer la parité de la fonction sur R.
∀ ∈ R, ∈ R et =
Or, la fonction sinus est impaire sur R donc : ∀ ∈ R, =
On en déduit : = =
Ainsi, la fonction est impaire sur R.
2. Montrer que, quel que soit l'entier relatif non nul, l'équation = n'admet aucune solution dans R. Que peut-on en déduire ?
∀ ∈ Z*, = ⇔ = = =
Or, la fonction sinus est -périodique sur R donc : ∀ ∈ R, ∀ ∈ Z, =
On en déduit : = ⇔ = ⇔ =
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul mais ≠ et ≠ .
Ainsi, si est un entier relatif non nul, l'équation = n'admet aucune solution.
On peut en déduire que la fonction n'est pas -périodique sur R . Exercice 3 : Soit la fonction définie sur R par =
On note c sa représentation graphique dans le plan rapporté au repère (O ; , ).
Une portion de la courbe c est donnée ci-dessous sur l'intervalle [- ; ].
1. La fonction peut-elle être paire ou impaire sur R ? Justifier graphiquement chaque réponse.
On ne voit qu'une portion de la courbe c mais si elle était entière on observe qu'elle ne serait pas symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Donc ne peut pas être paire sur R. La courbe c ne serait pas, non plus, symétrique par rapport l'origine O du repère. Donc ne peut pas être impaire sur R.
2. a) Démontrer que est -périodique sur R.
∀ ∈ R, ∈ R et = =
Or, la fonction cosinus est -périodique sur R donc : ∀ ∈ R, =
On en déduit : = =
Ainsi, la fonction est -périodique sur R.
b) Soient M et M les points de c d'abscisses respectives et . Quelle transformation géométrique permet de passer de M à M ? La fonction est -périodique sur R.
Donc, si M et M sont les points de c d'abscisses respectives et alors on passe de M à M par une translation de vecteur .
f f(x) sin(2x)¡3x
f
k f(x) f(x+k¼)
f f(x) 5cos(2x+ ¼
3)
~i ~j
¼ 6
5¼ 6
f
f ¼
0 x x+¼
0
x -x f(-x) sin(-2x) + 3x
µ sin(-µ) -sin(µ) f(-x) -sin(2x) + 3x -f(x)
f
µ
k f(x) f(x+k¼) sin(2x)¡3x sin(2(x+k¼))¡3(x+k¼) sin(2x)¡3x sin(2x+ 2k¼)¡3x¡3k¼ sin(2x) sin(2x+ 2k¼)¡3k¼
2¼ k sin(µ+ 2k¼) sin(µ)
f(x) f(x+k¼) sin(2x) sin(2x)¡3k¼ 3k¼ 0
3 0 ¼ 0
f(x) f(x+k¼) k
f ¼
f
f
f
x x+¼ f(x+¼) 5cos(2(x+¼) + ¼
3) 5cos(2x+ 2¼+ ¼ 3)
2¼ µ cos(µ+ 2k¼) cos(µ)
f(x+¼) 5cos(2x+ ¼
3) f(x)
¼
f ¼
0 x x+¼ 0
¼~i
3. Compléter le tableau des valeurs de sur l'intervalle [- ; ].
-
* * * *
* Justifier chaque résultat en présentant des calculs détaillés.
= = = = =
= = = = = =
= = = = =
= = = = = =
4. Compléter la construction de la courbe sur l'intervalle [- ; ].
Méthode : On place les points A, B, C, D, E, F et G d'abscisses respectives - , , , , , et sur la portion de courbe c. Puis on place leurs images B', C', D', E', F' et G' par translation de vecteur .
On peut remarquer que G est déjà l'image de A par cette même translation. On place également le point B'', image de B' par translation de vecteur . Enfin, on place les points F'', E'', D'', C'' et B''' images de F, E, D, C et B par la translation de vecteur . Il ne reste plus qu'à prolonger la courbe c en passant par tous ces points
Exercice 4 :
On considère la figure ci-dessous dans laquelle AB = , BC = , = °, I est le milieu de [BC] et H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
1. a) Exprimer le produit scalaire . de deux façons différentes.
D'une part : . = BA × BC × . =
. = = =
D'autre part, H étant le projeté orthogonal de C sur (AB), on a :
. = .
Or et sont colinéaires et de même sens donc : . = BA × BH = 6 BH
b) Montrer que BH =
D'une part, on a . = D'autre part, on a . = 6 BH On en déduit : 6 BH = ⇔ BH = =
f(x) ¼
6 5¼
6
x ¼6 0 ¼6 ¼3 ¼2 2¼
3
5¼ 6
f(x) 2,5 2,5 5
¼ 2¼
6 5 ABC[ 45
¡!BA ¡!BC 5 - 2,5 - 5 - 2,5
f (-
¼6)
5cos(-2¼ 6 + ¼3) 5cos(-¼ 3 + ¼
3) 5cos(0) 5£1 5
f (
¼6)
5cos(2¼ 6 + ¼3) 5cos(¼ 3 + ¼
3) 5cos(2¼
3 ) 5£(-1
2) -5 - 2,5 2
-5
2 - 2,5
f (
¼3)
5cos(2¼ 3 + ¼3) 5cos(3¼
3 ) 5cos(¼) 5£(-1) - 5
f (
¼2)
5cos(2¼ 2 + ¼3) 5cos(¼+ ¼
3) - 5cos(¼
3) - 5£ 1 2
¼ 6
¼ 6
¼ 3
¼ 2
2¼ 3
5¼ 0 6
¼~i
¼~i -¼~i
¡!BA ¡!BC cosABC[ 6£5£cos(45)
¡!BA ¡!BC
¡!BA ¡!BC 30cos(¼ 4) 30
p2
2 15p 2
¡!BA ¡!BC ¡!BA ¡!BH
¡!BA ¡!BH
¡!BA ¡!BC
¡!BA ¡!BC
5p 2 2 15p
2 ¡!BA ¡!BC
15p
2 5p
2 2 15p
2 6
c) Calculer la valeur exacte de . et sont colinéaires et de sens contraires.
HB = et HA = AB – BH = =
Donc . = - HB × HA = - × = = =
2. a) Calculer .
Le triangle BCH est rectangle en H.
D'après le théorème de Pythagore on a : BC = BH + CH
On en déduit : = CH = BC – BH = = = = = =
b) En déduire la nature complète du triangle BCH.
CH = et CH est une longueur donc CH > .
On en déduit CH = = = = = = BH
On savait déjà que le triangle BCH était rectangle en H, on en déduit qu'il est aussi isocèle en H.
3. a) Que peut-on dire des droites (IH) et (BC) ? Justifier.
I est le milieu de [BC] donc (IH) est la médiane issue de H dans le triangle BCH isocèle en H.
Or, dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base.
On en déduit que (IH) est perpendiculaire à (BC).
b) En déduire la valeur de .
Puisque (IH) est perpendiculaire à (BC) les vecteurs et sont orthogonaux.
On en déduit que . =
¡! IH ¡!BC
¡!HB ¡!HA
¡!CH2
¡!HB ¡!HA
¡!HB ¡!HA 5p 2 2 5p
2
2 6¡ 5p
2 2
12¡5p 2 2 12¡5p
2 2
-60p
2 + 25p 22 4
-60p 2 + 50
4 -15p
2 + 12,5
2 2 2
¡!CH2 2 2 2 52¡(5p 2
2 )2 25¡ 52p 22
22 25¡ 50 4
100 4 ¡ 50
4 50
4 25
2
25 2
2 0
r25 2
p25 p2
p5 2
5£p p 2
2£p 2
5p 2 2
¡! IH ¡!
¡! BC
IH ¡!BC 0
