produit scalaire-angles orientés-barycentre-1°PH

(1)

PRODUIT SCALAIRE a) Définition

Soit u

et _v^deux vecteurs non nuls du plan . Le produit scalaire de u

par _v^noté u v .

est le nombre défini par l’une ou l’autre des égalités ci-dessous : ^. ¹ ² ² ²

u v2 u v  u  u 

 

     

. Exemple : ABCD est un parallélogramme avec u AB ; v AD

donc ^. ¹ ² ² ²

AB AD2 AC  AB  AD 

    

u v xx .  'yy'

où ^{( ; )}^{x y} et ^{( ' ; ')}^{x y} sont les coordonnées respectives de u

et de _v^dans un repère orthonormal quelconque . u v OA OB OA OB   ^.     ^cos



OA OB ^;



; ^{u v}^{ }^. ^ ^u^ ^ ^v^ ^cos

 

^{u v}^{ }^;

Preuve de l’égalité de ces quatre expressions :

 Montrons que ^. ¹ ² ² ² ^' ^'

u v2 u v  u  u xxyy

 

     

où ^{( ; )}^{x y} et ^{( ' ; ')}^{x y} sont les coordonnées respectives de u

et de _v^dans un repère orthonormal quelconque ._{u v}^{ }_ a pour coordonnées (x x y y ' ;  '), donc u v  ² (x x ')² ( y y ')²x²x'² 2 ' xxy²y'² 2 yy'

et ^{u v}^. ^¹₂^ ^{u v}^ ²^ ^u ²^ ^u ²^^¹₂^{( ²}^x ^^x^{'² 2 '}^ ^xx^ ^y^²^^y^{'² 2}^ ^{yy x}^'^{ }^² ^y^²^^x^'²^^y^'²)

 

     

donc on a : 1

. (2 ' 2 ') ' '

u v 2 xx  yy xxyy

 Montrons que OA OB cos(OA OB ; )xx'yy'

où ^{( ; )}^{x y} et ^{( ' ; ')}^{x y} sont les coordonnées respectives de _OA^et _OB^dans un repère orthonormal bien choisi …

Choisissons un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

tel que ^_i et _OA^soient colinéaires et de même sens . On note ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) les coordonnées respectivement de _OA^ et _OB^ dans ce repère .

On a alors : x OA , ^y^⁰, x'OBcos(OA OB ; )

et y'OBsin(OA OB ; )

Ainsi :

' ' ' ' cos( ; ) 0 sin( ; ) cos( ; )

xxyy xx yy OA OB OA OB   OB OA OB  OA OB OA OB 

Montrons que cos( ) OA OH Si OA et OB et sont de même sens

OA OB AOB

OA OH Si OA et OB sont de sens contraire

 

  

 



 

où O , A et B sont trois points du plan tels que _{u OA}^{ }_ et _{v OB}^{ }_ . H est le projeté orthogonal de B sur ( OA )

L’abscisse de H est celle de B , c'est à dire x_H OBcos(OA OB ; ) .

^u^ v

o

B

A Ainsi OA OB cos(OA OB ; )OA x _H

Deux cas se présentent : Si OA

et OH

sont de même sens , alors i

et OA

sont de même sens et xH OH ; d’où OA OB cos(OA OB ; )OA OH

Si _OA^ et _OH^sont de sens contraire, alors i

et OA

sont de sens contraire et xH  OH ; d’où OA OB cos(OA OB ; ) OA OH

.Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment.

Signe du produit scalaire :

On déduit facilement le signe du produit scalaire OA OB .

suivant la nature de l’angle(OA OB ; ) .

i

j

 A

B

H

(2)

En effet les normes des deux vecteurs OA

et OB

sont positives . On en déduit donc que OA OB . est du signe de cos(OA OB ; )

. Si 0 ( ; )

OA OB 2

   

< 90° , cos(OA OB ; ) 0

et OA OB . 0 Si ( ; )

OA OB  2

= 90° ( c'est à dire _{OA OB}^{ }_ ) , cos(OA OB ; ) 0

= 0 et OA OB . 0

Si ( ; )

2 OA OB

    

, cos(OA OB ; ) 0

et OA OB . 0 a) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

Définition : La norme d’un vecteur_u^{ }__AB est le nombre réel positif ^u^ ^^AB. Définition : Soit u

et_v^ deux vecteurs colinéaires.

On appelle produit scalaire des vecteurs u

et_v^ le nombre réel notéu v .

égal : - au produit de leurs normes ^u^ ^ ^v^ s’ils sont de même sens

- à l’opposé du produit des normes ^ ^u^ ^ ^v^ s’ils sont de sens contraires

u

v

u

v

Conséquences : Le produit scalaire u u .

est appelé carré scalaire de u

et noté _u^²; par définition on a

2 2

u  u .

2) Produit scalaire de deux vecteurs non colinéaires

Définition : Soitu et_v^ deux vecteurs non nuls et _v^_' le projeté orthogonal de _v^ sur u

.On pose par définition :u v u v   .  . ' . Autrement dit,

Théorème : Si Le produit scalaire de deux vecteurs^_AB et ^_AC non colinéaires est égal au produit scalaire entre ^_AB et ^_AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB). : AB AC. AB AH.

Démonstration.

 

. . . . .

AB ACAB AH HB  AB AHAB HBAB AH

          

puisque  AB CH . Soit ile vecteur unitaire de la droite ⁽^AB⁾, on a donc ^_AB__{AB i}_.^et AH AH i.

. .

AB AH AB i AH i    AB AH i i  AB AH

    

car  i i. 1 .

. ' ' ' . '

AB AH AB i AH   i AB AH   i i AB AH

    

Propriété

Soit _u^ et_v^ deux vecteurs du plan.

Si _u^ ou _v^ est nul, alors u v . 0

. Sinon, ^{u v}^{ }^. ^ ^u^ ^ ^v^ ^cos

 

^{u v}^{ }^; ^où^{( ; )}^{u v}^{ } désigne l’angle orienté formé par les vecteurs u

etv

v

u

Propriétés : Pour tous vecteurs _u^ et_v^ , 1) Si u 0 ou v 0

, on pose u v . 0 . 2) La parité de la fonction cosinus assure que u v v u   .  .

.

On dit que le produit scalaire est symétrique. Ceci implique aussi que l’on peut considérer l’angle géométrique formé par les vecteurs _u^ et _v^

v

u

v'



A H B

C

H' C'

i

(3)

3) u v .  0 ( ; )u v  / 2 2 k k Z

. On dira alors que _u^ et_v^ sont orthogonaux APLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

1 ) RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE

Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé Preuve : On a     _BC__{BA AC}_ _ _{AC AB}_

2 2 2

2 2 . 2 2 2 cos ;

c AB  CB CA  CB CA  CB CA a  b  ab CB CA 

E ) FORMULE DES SINUS

A ) CARACTERISATION D’UN CERCLE DE CENTRE ET DE RAYON DONNES Soit A un point du plan et r un réel positif .

Le cercle C de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que^{}_AM² __r². H

I C

A

a c b

B

(4)

Preuve : Soit M un point du plan .M C  AM r  _AM² __r²…

APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE DE CENTRE ET DE RAYON DONNES On se place dans un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

.

Soit A un point de coordonnées ( x 0 ; y 0 ) , un réel positif r et C le cercle de centre A et de rayon r . Pour tout point ^{M x y}^{( ; )}du plan , ^{}_AM a pour coordonnées (x x y y 0;  0) etAM² (x x ₀)²(y y ₀)² Le cercle C est donc l’ensemble des points ^{M x y}^{( ; )}du plan tels que (x x ₀)²(y y ₀)² r²

B ) CARACTERISATION D’UN CERCLE DE DIAMETRE DONNE

Soit A et B deux points distincts du plan. La cercle C de diamètre [ AB ] est l’ensemble des points M du plan tels que MA MB . 0

.

Preuve : Comme vous le savez depuis longtemps, le cercle C , privé des points A et B ,est l’ensemble des points M du plan tels que le triangle MAB est

rectangle en M , c'est à dire l’ensemble des points M tels que MA MB . 0 . D’autre part, si M = A ou M = B , alors MA 0

ou MB0

et on a encore MA MB . 0 . APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE DE DIAMETRE DONNE

Etude d’un exemple : On se place dans un repère orthonormal :

Déterminons une équation du cercle C de diamètre [ AB ] avec A ( – 1 ; 3 ) et B ( 2 ; 2 ) . Soit ^{M x y}^{( ; )}un point du plan . On a M C  MA MB . 0

. Or MA(1x;3y)

et MB(2x; 2y) Ainsi M C  ⁽¹^^x⁾⁽²^{  }^x^{) (3} ^y⁾⁽²^^y^{) 0}^  x²y² x 5y 4 0.(x1/ 2)²(y5 / 2)² 5 / 2 Rem : En développant (x x ₀)² (y y ₀)² r² ( trouvé en A ) ) on obtient une équation de la forme x ² + y ² + 2 a x + 2 b y + c = 0 ( où a , b et c sont des réels ), mais réciproquement une équation de cette forme ne représente pas toujours un cercle .

Ex :^x²^^{y² x}^{ }³^y^{  }^{3 0} ^{( x}^^{1 2}^{/ )² ( y²}^ ^^{3 2}^{/ )²}^{ }^{1 2}^/

Ce qui est impossible ; l’ensemble des points vérifiant cette relation est donc l’ensemble vide . 4 ) TRIGONOMETRIE

A ) FORMULES D’ADDITION

Pour tout réel a et b : cos(a b ) cos cos a bsin sina b ; cos(a b ) cos cos a bsin sina b sin(a b ) sin cosa bcos sina b ; sin(a b ) sin cos a bcos sina b Preuve : Montrons que cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b

On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni du repère orthonormal direct ( ; ; )O i j 

. On note A et B les points de C , définis par ( ; i OA)a^

et ( ; i OB)b . Les coordonnées de A et de B sont respectivement A(cos ;sin )a a et B(cos ;sin )b b . D’autre part, d’après

la relation de Chasles, on a :(OB OA ; ) ( OB i ; ) ( ;  i OA) ( ; i OA ) ( ; i OB ) a b .

cosa sina

cosb sinb

u

v

A

a b a-b B

O

+

(5)

Calculons alors de deux manières le produit scalaire OB OA .

: avec les coordonnées : . cos cos sin sin

OB OA  b a b a

. en utilisant cos(OB OA ; )

: OB OA OA OB .   cos(OB OA ; ) cos( a b ) .Ainsi cos(a b ) cos cos a bsin sina b

Montrons que cos(a b ) cos cos a bsin sina b. Il suffit d’écrire cos(a b ) cos( a ( ))b cos(a ( )) cos cos( ) sin sin( ) cos cosb  a  b a  b a bsin sina b

Montrons que sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a Il suffit d’écrire

 

  ^ ^ ^ ^

sin( ) cos ( ) cos / 2 ) cos / 2 cos( ) sin / 2 sin( )

a b  ^2  a b ^  a b   a  b  a b

 

Donc on a : ^sin(^{a b}^ ^{) sin cos}^ ^a ^b^^{cos sin}^a ^b

Montrons que ^sin(a b ^{) sin(}a ( )) sin cosb  a bcos sin( ) sin cosa  b a bcos sina b Ex : En remarquant que

12 3 4

 _{ } 

on peut calculer les valeurs exactes de ^cos 12

 

 

  et sin 12

 

 

  .

2 3

cos( ) cos cos sin sin

12 3 4 3 4 4 4

 _   _   _ _

; 3 2

sin( ) sin cos cos sin

12 3 4 3 4 4 4

 _   _   _ _ B ) FORMULES DE DUPLICATION ET DE LINEARISATION

sin 2a2sin cosa a

2 2

cos 2acos asin a = 2 cos²a1= 1 2sin ²a

2 1 cos 2

cos 2

a  a

 ; ² 1 cos 2

sin 2

a  a

 Preuve : En prenant a b , dans les formules précédentes on obtient sin 2a2sin cosa aet

2 2

cos 2acos asin a.En utilisant la relationcos²asin²a1 , on obtient cos 2a2 cos²a1 et cos 2a 1 2sin2a. On en déduit les deux dernières formules.

Ex : 2

1 cos4 1 22 2 2

cos 8 2 2 4

  ^   ^   , donc on a cos ² ² ² ²

8 4 2

      ^ .Or ^^/⁸^^{[ ; / ]}⁰^ ² , donc

cos(/ )8 0 et _{cos( / 8)} ² ²

  ^2 . 2

1 cos6 1 23 2 3

cos 12 2 2 4

  ^   ^   .Puisque ^^/¹²^^{[ ; / ]}⁰^ ² donc

cos(/12)0et _cos ² ³

12 2

 _ ^ .

A) CARACTERISATION D’UNE DROITE Définition

Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul, orthogonal à un vecteur directeur de d .

Soit d une droite, A un point de d et _u^un vecteur normal à d . La droite d est l’ensemble des points M du plan tels que

AM .u 0

.C'est à dire M  d   AM u. 0 La droite d est l’ensemble des points M du plan tels que ^{}_AM et _u^ sont orthogonaux … Rem : Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires on peut utiliser le produit scalaire et les vecteurs directeurs .

B ) APPLICATION : EQUATION D’UNE DROITE DONT ON CONNAIT UN POINT ET UN VECTEUR NORMAL

Soit ( ; , )O i j 

un repère orthonormal et u a b( ; )

un vecteur non nul.

A u M

(d)

(6)

Si le vecteur u a b( ; )

est normal à une droite d , alors d a une équation de la forme a x + b y + c = 0 . ( où c est un réel )

Réciproquement, toute droite ayant une équation de la forme a x + b y + c = 0 ( avec ( a ; b ) ¹ ( 0 ; 0 ) ) admet le vecteur u a b( ; )

comme vecteur normal.

Preuve :

Soit A( x 0 ; y 0 ) un point de d et M ( x ; y ) un point du plan , alors : M  d   AM u. 0 . On a u a b( ; )

et AM x x y y(  ₀;  ₀)

. Ainsi ^{M d}^  a (x – x 0 ) + b (y – y 0 ) = 0  a x + b y – ( a x 0 + b y 0 ) = 0  a x + b y + c = 0 en posant c = – ( a x 0 + b y 0 ) Si la droite d a pour équation a x + b y + c = 0 , alors le vecteur v b a( ; )

est un vecteur directeur de d . ( facile à montrer ). Or u v a b .   ( ) ab0

Ainsi _u^ et_v^ sont orthogonaux et _u^ est normal à d . ANGLES ORIENTES - REPERAGE POLAIRE

Par convention on oriente le cercle : le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

I- Angles orientés.

Soit le cercle de centre O ; on pose _u^ = _OM^{} et _v^ = _ON^. Les demi-droites [OM) et [ON) coupent le cercle trigonométrique en deux point A et B. au couple (_OA^,_OB^), on associe une famille de nombres de la forme

2

l   k , k Z où lest la longueur de l'arc AB.

par définition, chacun de ces nombres est une mesure en radians de l'angle orienté (_u^,_v^ ).

1. Parmi toutes les mesures de 2k , il n'y en a qu'une qui soit dans l'intervalle ]- ; [. Cette mesure est appelée mesure principale de (_u^,_v^ ).

2. La valeur absolue de la mesure de (u ,v

)est égale à la mesure en radians de l'angle géométrique formé par (_u^,_v^ ).

3. O est un point fixe et  un réel. La rotation de centre O de l'angle , mesuré en radians, est la

transformation, notée R( O,  ) du plan orienté telle que O est invariant et tout point M, d'image M' est tel que OM = OM' et (_OM^{},_ON^) = 

II- Propriétés des angles orientés.

1. Dire que deux vecteurs sont colinéaires de même sens équivaut à dire que (u ,v

) = 0 2. Dire que deux vecteurs sont colinéaires de sens contraire équivaut à dire que (^_u,^_v ) =  3. Pour tous vecteurs non nuls, _u^,_v^,_w^ : (_u^,_v^) + (_v^,_w^) = (_u^,_w^)

4. Pour tous vecteurs non nuls, _u^,_v^ : (_u^,_v^ ) = (_v^,_u^) (_u^,_v^) = (_u^,_v^ ) (u, _v^) = (u

,v )+  ( _u^,v ) = (u

,v ) +  III- Trigonométrie

Soit (O,_OA^,_OB^) un repère orthonormal direct et C le cercle trigonométrique associé.

Soit x un réel et soit M le point de C tel que (OA

,OB

) = x

Le point M a pour cuople de coordonnées (cos x ; sin x)

(7)

Autrement dit : _OM^{}= cos x . _OA^ + sin x . _OB^

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur IR et on a pour tout réel x : -1  cos x  1 et -1  sin x  1 cos² x + sin² x = 1

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2.

sin(x + 2k) = sin x et cos(x + 2k) = cos x

IV- Résolution d'équations

 étant un réel fixé : cos x = cos  

 

 





















k x

ou

k x

2 2

kZ

sin x = sin  

 

 





















k x

ou

k x

2 2

kZ

V- Repérage polaire.

( ; ; )O i j 

est un repère orthonormal direct. Le point M est repéré par l'angle



^{ }^{i OM}^;



^^

et par sa distance à O : OM r.

On a donc pour tout point M distinct de O , un couple



^r^;^



tel que OM r et



^{ }^{i OM}^;



^^

On appelle ce couple les coordonnées polaire de M et on note : ^{M r}



^;^



M

cosx sinx

x

M



M'





M



M



(8)

Si les coordonnées cartésiennes de M sont



^{a b}^;



alors on a :_r_ _a²__b² ; a r cos et b r sin

BRYCENTRE I.1 Barycentre de deux points pondérés

Définition 1 Aest un point et ^est un réel . le couple ^{( ; )}^A^ est appelé point pondéré.

On appelle barycentre de deux points pondérés^{( ; )}^A^ et ^{( ; )}^B ^ avec ^{ }^{ ¹}⁰. le point G tel que : 0

GA GB

  . Démonstration

0 ( ) 0

GA GB GA GA AB

     

, soit (  )GA AB0

, c’est-à-dire ^^AG^_{ }^_ ^^AB car

  ¹0 .Le réel _{ }^_ et les points A et B sont donnés , donc il existe un unique point G vérifiant AG  AB

 



 

. Exemple 1

Soit [AB] un segment, construire le barycentre G de (A, 3) et (B, 2) Le point G vérifie : 3GA2GB  0 3GA2(GA AB  ) 0

. Grâce à la relation de Chasles, on obtient : (5)GA2 AB0

. ²

AG5AB

 

Remarque 1

• Physiquement, G est le point d’équilibre de la balance [AB] munie des masses ^ et ^

• Mathématiquement, la notion est étendre à des coefficients qui peuvent être négatifs

• En mécanique, le barycentre peut aussi s’appeler le centre d’inertie, le centre de gravité ……..

Pour toute la suite, on se place dans le cas où ^{ }^{ ¹}⁰ cas particuliers :

• Si ^{ }^ , G s’appelle l’isobarycentre du système : c’est le milieu du segment [AB]

• Si  ⁰et ^{ ¹}⁰,on a : GB 0

d’où GB 0 et G = B

• Si β = 0 et  ¹⁰,on a GA 0

d’où G = A I.2 Caractérisations du barycentre

Théorème 1

G est le barycentre des points ^{( ; )}^A^ et ^{( ; )}^B ^ avec ^{ }^{ ¹}⁰. si, et seulement si pour tout M du plan on a :

( )

MA MB MG

   Démonstration :

G est le barycentre des points ^{( ; )}^A^ et ^{( ; )}^B ^ avec ^{ }^{ ¹}⁰,donc, on a :GAGB 0 . on utilise la relation de Chasles : (GM MA)(GM MA) 0

d’où : (  )GMMAMA 0

. (  )MGMAMA

. I.3 Propriétés du barycentre

Propriété 1

Si^G est le barycentre de ^{( ; )}^A^ et ^{( ; )}^B ^ avec ^{ }^{ ¹}⁰, alors pour tout réel ^k^¹⁰, ^Gest le barycentre de ( ;A k) et ^{( ;}^{B k}^⁾. Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu’on multiplie tous les coefficients

(9)

par un même nombre non nul.

Exemple 4

Soit G le barycentre des points (A, ³

4 ) et (B, ¹

2 ), alors : G est le barycentre des points (A, 3) et (B,−2)

G est le barycentre des points (A,−300) et (B, 200) On se place dans le plan muni d’un repère ( ; , )O i j 

.

Propriété 2

x x

x  

 

 

 et G ^A ^B

y y

y  

 

 

 .

Théorème 2

G est le barycentre de trois points pondérés ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B ^ et ^{( ; )}^C ^ avec ^{  }^{  ¹}⁰si et seulement si 0

GA GB GC

  Démonstration

0 ( ) 0

GA GB GC GA AB GC

        

, soit ^ÂG^_{  }_{ }^ ^ÂB^_{  }_{ }^ ^ÂC. Or il existe un unique point G vérifiant ^ÂG^_{  }_{ }^ ^ÂB^_{  }_{ }^ ^ÂC.

Cas particulier

Si ^{  }^{ } le barycentre G de trois points ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B^ et ^{( ; )}^C ^ est l’isobarycentre de trois points ^{A B C}^{, ,} . L’isobarycentre du triangle ABC est son centre de gravité .

Propriété 1

Si^G est le barycentre de ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B ^ et ^{( ; )}^C^ avec ^{  }^{  ¹}⁰, alors pour tout réel ^k ^¹⁰, ^Gest aussi le barycentre de ^{( ;}^{A k}⁾,^{( ;}^{B k}^⁾et ^{( ;}^{C k}⁾

Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu’on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul.

Propriété 2

Soient A x y^{( ;}A A⁾ , B x y^{( ;}B B⁾ , C x y^{( ;}C C⁾ et G x y⁽ G^; G⁾ tel que ^Gsoit barycentre de ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B ^ et ^{( ; )}^C ^ avec ^{  }^{  ¹}⁰. ^G a pour coordonnées : G ^A ^B ^C

x x x

x   

  

 

   et G ^A ^B ^C

y y y

y   

  

 

   .

Théorème 3

G est le barycentre des points ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B ^ et ^{( ; )}^C ^ avec ^{  }^{  ¹}⁰. si, et seulement si pour tout M du plan on a : MAMBMC(    )MG

Démonstration :

G est le barycentre des points ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B ^ et ^{( ; )}^C ^ avec ^{  }^{  ¹}⁰,donc, on a : GAGBGC 0 on utilise la relation de Chasles : (GM MA)(GM MA)(GM MC) 0

d’où : (    )GMMAMAMC 0

. (    )MGMAMAMC

. Théorème 4

Si G est le barycentre des points ^{( ; )}^A^ ,^{( ; )}^B ^ et ^{( ; )}^C ^ avec ^{  }^{  ¹}⁰,et si H est le barycentre des points ( ; )A ,^{( ; )}^B ^ avec ^{ }^{ ¹}⁰, alors G est le barycentre des points ^{( ;}^H ^{ }^ ⁾ et ^{( ; )}^C ^ .

Démonstration

De GAGBGC 0

, on obtient (  )GHHAHBGC 0

. Or Hest le barycentre des points ( ; )A ,^{( ; )}^B ^ avec ^{ }^{ ¹}⁰ donc HAHB 0

et (  )GHGC 0 . G est donc le barycentre des points ^{( ;}^H ^{ }^ ⁾ et ^{( ; )}^C ^ .

produit scalaire-angles orientés-barycentre-1°PH





 

 

 

























 

 

 

 





































































































 

     

 

 









  ^ ^ ^ ^