TS Le produit scalaire dans l’espace Notations : On note

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TS Le produit scalaire dans l’espace

Notations :

On note E l’ensemble des points de l’espace ; E

l’ensemble des vecteurs de l’espace.

Une unité de longueur est fixée.

I. Définition et conséquences immédiates 1°) Définition (expression trigonométrique)

u et v

sont deux vecteurs quelconques de E

. 

 

cos ; u  v  u v 

si u et v

sont non nuls u v 



0 si u 0 ou v 0 2°) Cas particulier

A, B, C sont trois points quelconques de E tels que A  B et A  C.

AB ACAB AC cos BAC  

 



3°) P.S. de 2 vecteurs colinéaires u

et v

sont deux vecteurs non nuls de E

.

u  v si u

et v

sont colinéaires de même sens

u v

u v

 

u v

    si u

et v

sont colinéaires de sens contraire



u v

4°) Signe du P.S.

u et v

sont deux vecteurs quelconques non nuls de E

.

 ^{u v}^{ }^ ^⁰^

 

^{u v}^{ }^; ^{est aigu}

 

 

0 ;

u v   u v 

 est obtus

 ^{u v}^{ }^ ^⁰^

 

^{u v}^{ }^; est droit

2 Le produit scalaire en physique est utilisé pour définir le travail d’une force constante sur un trajet rectiligne ; on parle de travail moteur ou de travail résistant suivant son signe.

II. Carré scalaire d’un vecteur 1°) Définition

2 2

u u u  u



2°) Cas particulier

2 2 2

AB  AB AB

 

III. Vecteurs orthogonaux 1°) Définition

On dit que deux vecteurs u et v

de E

sont orthogonaux (on note u  v

) pour exprimer que

 soit u et v

sont non nuls et 

 

^{u v}^{ }^; ^₂^^.

 soit u 0 ou v 0

2°) Propriété

u  v

 u v 0



3°) Lieux d’orthogonalité de référence dans l’espace Dans le plan :

 Ensemble des points M du plan tels que AB CM 0

 où A, B, C sont trois points tels que A  B : droite perpendiculaire à (AB) passant par C.

 Ensemble des points M du plan tels que MA MB 0

 où A et B sont deux points tels que A  B : cercle de diamètre [AB].

Dans l’espace :

 Ensemble des points M de l’espace tels que AB CM 0

 où A, B, C sont trois points tels que A  B : plan orthogonal à (AB) passant par C.

 Ensemble des points M de l’espace tels que MA MB0

 

 où A et B sont deux points tels que A  B : sphère de diamètre [AB].

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3 IV. Expression du produit scalaire à l’aide du projeté orthogonal

1°) Propriété

A, B, C sont trois points quelconques de E tels que A  C.

On note H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).

AB ACAH AC

   

  .





B

A H C

2°) Démonstration

Voir cours de 1^ère. 3°) Généralisation

A, B, C, D sont quatre points coplanaires de E tels que A  B.

On note H et K les projetés orthogonaux respectifs de C et D sur la droite (AB).

AB CDAB HK

   

  .

A B

C

D

H K

4°) Mises en garde

 On ne peut projeter que sur deux droites.

 Lorsque l’on calcul un produit scalaire dans l’espace, on ne peut pas faire de projection orthogonale sur un plan.

4 V. Propriétés du produit scalaire

1°) Propriétés fondamentales (symétrie et bilinéarité du produit scalaire)

P1 : ^

 

^{u v}^{ }^, ^^E^² ^{u v}^{   }^ ^^{v u}^ . (P1 : symétrie du produit scalaire) P2 : ^

 

^{u v}^{ }^, ^^E^² ^{ }^ ^u^^

 

^^v^ ^{ }



^{u v}^{ }^



(P2 et P3 : bilinéarité du produit scalaire) P₃ : ^



^{u v w}^{  }^{, ,}



^^E^³ ^u^^



^v^{ }^^w



^^{u v u w}^{   }^ ^ ^

2°) Démonstrations

Voir cours de 1^ère.

3°) Conséquences sur les développements scalaires doubles



^{u v u' v'}^{, ,} ^,



^E⁴

     



^u ^v

 

^{u' v'}



u u' u v' v u' v v'    

    

  

^^u^ ^ ^^{' v}^



^{ }^'



^{u v}^{ }^



4°) Identités remarquables scalaires

 

^{u v}^, ^E²

   



^u^{ }^^v



²^^u^²^²^{u v v}^{  }^ ^ ²

 

^{u v}^, ^E²

   



^{u v}^{ }^



²^^u^²^²^{u v v}^{  }^ ^ ²

 

^{u v}^, ^E²

   



^u^{ }^^v

 

^ ^u^{ }^^v



^^u^²^^v^²

5°) Bilan des méthodes de calcul d’un produit scalaire

Expression trigonométrique avec le cosinus (cas particuliers

 vecteurs colinéaires + ou – le produit des normes Projeté orthogonal

 vecteurs orthogonaux : 0)

P.S. de 2 vecteurs

Décomposition de vecteurs Calcul dans un repère orthonormé u v xx'yy' zz'



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5 VI. Relations métriques dans un triangle quelconque

1°) Théorème de Pythagore généralisé (formule d’Al Kashi)

Dans un triangle ABC quelconque, on a : BC²AB²AC²2 AB AC cos A  .

 



^BC²^ ^BC^ ²^ ^{AC AB}^{ }^ ²



2°) Formule de la médiane

A et B sont deux points quelconques de E.

I est le milieu de [AB].

 M  E ² ² ² AB²

MA MB 2MI

   2

M

A I B

Idée pour faire la démonstration :

  

²



²

2 2

MA MB  MI IA   MI IB

3°) Autres formules dites aussi parfois « formules de la médiane »

 M  E MA²MB²2 AB IM 



 M  E ² AB²

MA MB MI

  4

 



4°) Aire d’un triangle – Formule des sinus

ABC est un triangle quelconque.

On pose a = BC, b = CA, c = AB.

L’aire S du triangle ABC est donnée par : 1  1  1 

sin A sin B sin C

2 2 2

S bc  ca  ab

   2

sin A sin B sin C

a b c abc

   S

C

b a

A c B

6 VII. Lignes et surfaces de niveau

1°) Définition

f est une application de E dans .

k est un réel.

On appelle surface de niveau k de f l’ensemble Sk



^ME / f

 

^M k



. On parle de ligne de niveau lorsque f est une application du plan dans .

2°) Exemple

A et B sont deux points quelconques de E.

I est le milieu de [AB].

f E   M  MA²MB²

Déterminer la surface de niveau k de f c’est-à-dire l’ensemble Sk



^ME / f

 

^M k



. ^



^M^^{E /}^MA²^^MB²^^k



D’après la formule de la médiane, M E

2

2 2 2 AB

MA MB 2 MI

   2 .

MS_k  MA²MB²k 

2

2 AB

2 MI  2 k



2

2 1 AB

MI 2k 2 

   

 

On ne connaît pas le signe de AB2

k 2 ; il faut faire une discussion.

1^er cas : AB2

k 2

MS_k 

1 AB2

MI 2k 2 

   

 

Skest la sphère ²

de centre I

1 AB

de rayon

2 2

R k 

   

 

.

(4)

7 2^e cas :

AB2

k 2 MS_kMI0 MI

 

^I

Sk

3^e cas : AB2

k 2

MS_k

2 2

0

1 AB

MI 2 k 2





 

   

 





impossible Sk 

VIII. Quelques définitions relatives aux projetés orthogonaux et aux distances 1°) Définition du projeté orthogonal d’un point sur une droite de l’espace

D est une droite.

A est un point de l’espace.

On appelle projeté orthogonal de A sur D le point H d’intersection de la droite D et du plan passant par A et orthogonal à D.

La distance AH est appelée distance du point A à la droite D.

Le projeté orthogonal d’un point A sur D est le point H de D défini par : - H = A si A  D ;

- (AH)  D si A  D.

A

 D

H

2°) Définition du projeté orthogonal d’un point sur un plan de l’espace

P est un plan.

A est un point de l’espace.

On appelle projeté orthogonal de A sur P le point H d’intersection du plan P et de la droite passant par A et orthogonale à P.

La distance AH est appelée distance du point A au plan P.

8 A



H P

Propriété : La distance AH est la plus courte distance du point A à un point de P.

3°) Définition de deux droites orthogonales dans l’espace

On dit que deux droites de l’espace sont orthogonales pour exprimer que leurs parallèles menées d’un point quelconque sont perpendiculaires.

Remarques :

 Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

 On applique l’adjectif perpendiculaire uniquement pour des droites coplanaires.

Exemple :

ABCDEFGH est un cube.

A

D C

F H

B E

G

Les droites (AB) et (FG) sont orthogonales (elles ne sont pas coplanaires).

On note (AB)  (FG).