Université du Littoral Côte d’Opale Année 2009/2010 Licence Informatique et Mathématiques, 1ère année Semestre 2, Session 1
Examen d’Algèbre Mercredi 19 mai 2010
Durée : 3 heures. Sans document, ni calculatrice.
Questions de cours :
Soit E un espace vectoriel surR de dimensionn∈N∗. 1. Soit A={v1, v2, . . . , vk} une famille de vecteurs de E.
(a) Compléter la définition : « La famille Aest une famille génératrice de E ⇔. . . » Dans ce cas, que peut-on dire de l’entier k= CardApar rapport à n= dimE ? (b) Si possible, donner un exemple de famille génératrice de R3 comprenant quatre
vecteurs.
2. Soit F un espace vectoriel sur R etf:E →F une application.
(a) Donner la définition de «f est une application linéaire deE dansF ». On suppose ces conditions réalisées.
(b) Définir le noyau Kerf de f.
(c) Donner une condition sur Kerf pour que l’application f soit injective. Justifier.
(d) Définir le rang def. Quel lien y a-t-il entre le rang def et la dimension de Kerf? 3. On considère l’ensembleMn(R) des matrices réelles carrées de taille n.
(a) Définir la matrice identité, notée In, de Mn(R).
Que représente In pour l’ensembleMn(R) ?
(b) Soit A∈ Mn(R). Donner la définition de : «A est inversible dansMn(R) ».
(c) Dans cette question, n= 3. La matrice A=
3 1 −1 1 1 −1
3 2 4
est-elle inversible ? Vrai-Faux :
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, justifier brièvement. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.
1. Si une famille {u, v, w} d’éléments d’un espace vectoriel réel E est liée, alors l’un des vecteurs u,v,w est colinéaire à l’un des deux autres.
2. Si l’un des vecteursu,v,wd’une famille {u, v, w}d’éléments d’un espace vectoriel réel E est colinéaire à l’un des deux autres, alors la famille {u, v, w}est liée.
3. L’anneau des matrices carrées de taille 2, M2(R), est un anneau intègre.
4. SiA etB sont deux matrices deM2(R), alors (A+B)2 =A2+ 2AB+B2.
Tournez, s’il vous plaît
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Exercice 1 :
1) On considère l’ensemble
E ={(x, y, z, t)∈R4|x+y=z=t= 0}.
Vérifier queE est un sous-espace vectoriel deR4. En donner une base et la dimension.
2) On considère le sous-espace vectorielF de R4 défini par F ={(a, a+b,−a+c, c)|(a, b, c)∈R3}.
Donner une base et la dimension deF.
3) Montrer queE etF sont supplémentaires dansR4.
Exercice 2 :
On considère l’espace vectoriel réel E = R3. On note usuellement C = {e1, e2, e3} la base canonique deE.
1) Rappeler explicitement les vecteurse1,e2 ete3. On s’intéresse à la matrice
A=
1 0 1 0 1 1 1 1 0
et on notef l’endomorphisme deR3 dont A est la matrice dans la base canoniqueC.
2) Déterminer l’image parf d’un vecteur quelconqueu= (x, y, z) de R3. 3) Soitw= (3,0,1)∈E.
Vérifier que le vecteurw admet un unique antécédent par f, que l’on déterminera.
4) Propriétés de l’endomorphisme f : a. Déterminer une base du noyau def.
b. En déduire le rang de f et une base de Imf.
5) Soientv1 = (1,1,1) etv2= (1,−1,0).
Montrer que l’on peut compléter {v1, v2} par un vecteur v3 choisi dans C pour former une base deR3.
6) On noteB la matrice def dans la base B={v1, v2, e1}.
Déterminer la matriceB.
7) Vérifier queA est inversible et calculerA−1. En déduire explicitement l’endomorphismef−1.
8) En déduire queB est inversible et donner l’expression deB−1 en fonction de A−1. (On ne demande pas de calculer explicitementB−1).
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Exercice 3 :
On rappelle que pour toute matriceB deM3(R), on poseB0 =I3 et pour tout entier naturel n,Bn+1 =B×Bn=Bn×B.
On considère les deux matrices L=
2 −1 −1
0 0 0
−2 1 1
et M =
0 0 0
1 −2 1
−1 2 −1
.
1) Calculer les produitsM L etLM. Que peut-on en déduire pour ces deux matrices ? 2) CalculerL2 etM2.
En déduire, par récurrence, l’expression des matrices Ln et Mn pour tout entier naturel n non nul.
3) On considère la matriceA=L+M.
a. Déterminer la matriceA.
b. Montrer que, pour tout entier naturel nnon nul, on a : An= 3n−1L+ (−3)n−1M.
4) Une application
On considère trois suites numériques (un), (vn) et (wn) définies par :
u0= 1, v0 = 0 etw0 = 0 pour tout entiern∈N,
un+1= 2un−vn−wn
vn+1 =un−2vn+wn wn+1 =−3un+ 3vn
Pour tout entier natureln, on pose Xn=
un
vn
wn
. a. Préciser le vecteur colonneX0.
b. Montrer que pour tout entier natureln, on aXn=AnX0.
c. En déduire, pour un entiern fixé, les expressions deun,vn,wn en fonction de n.
d. Préciser les valeurs deu4,v5 etw6.
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