(e) h~v, ~wi=T(~v)T(w), o`~ u T :V →Fest une application lin´eaire

Alg`ebre lin´eaire 1<sup>`ere</sup>ann´ee S´ERIE 16 le 20 mars 2006

L’exercice 2 est `a rendre le 27 mars au d´ebut de la s´eance d’exercices.

Notation. Siz∈C, alors zd´esigne le conjugu´e complexe de z; siz∈Ralorsz=z.

1. Les applications V ×V → F suivantes sont-elles bilin´eaires ? sym´etriques ? des produits scalaires surV ?

(a) V =F²,h(x₁, x₂),(y₁, y₂)i=x²₁+x₁y₂+y₂²,

(b) F=R,V =R²,h(x₁, x₂),(y₁, y₂)i= (x₁−x₂)(y₁+y₂), (c) V =P(F),hp, qi=p(1)q(1),

(d) V =F(F,F),hf, gi=f(g(3)),

(e) h~v, ~wi=T(~v)T(w), o`~ u T :V →Fest une application lin´eaire.

2. Soit a < b∈R. On consid`ereC([a, b]), l’espace vectoriel des applications continues f : [a, b]→R.

(a) Montrer que

hf, gi:=

Z _b

a

f(t)g(t)dt.

d´efinit un produit scalaire surC([a, b]).

(b) Montrer que sin(x) et cos(x) sont orthogonales par rapport au produit scalaire hf, gi:=

Z _π

−π

f(t)g(t)dt.

3. La transpos´ee conjugu´ee d’une matrice A = (a_ij) ∈ Mat(m, n,C) est la matrice A^∗ ∈ Mat(n, m,C) avec (A^∗)_ij =a_ji.

(a) SoientA, B ∈Mat(n, n,C). Montrer que (AB)^∗ =B^∗A^∗. On ´ecritv∈Cⁿen forme de matrice ligne :

v=¡

v₁ · · · v_n¢

v_i ∈C ∀i= 1, . . . , n.

Une matrice complexe carr´ee A est ditehermitienne (ouauto-adjointe) siA^∗=A.

(b) Soit A∈Mat(n, n,C) une matrice hermitienne. Montrer que hv,wi_A:=vAw^∗

d´efinit une forme bilin´eaire sym´etrique dans Cⁿ. (c) Soient

A=



1 +i 2i 0

−2i 3−i 1

0 1 1 + 2i



, v=¡

i 2 3 + 5i¢

, w=¡

−3 0 4i¢ .

Calculer hv,wi_A.

Sih , i_A :V ×V → F est un produit scalaire, on dit queA est une matrice hermitienne d´efinie positive.

(d) Montrer que siA∈Mat(n, n,R) est d´efinie alors toutes les valeurs propres deA sont r´eelles et positives.