equations différentielles-2-ordre-term STI-GMF-STL-CH2008-2009-EXERCICEES-bacs

Tp mathématiques Equations différentielles y"w y² 0 Ter STI-GMF-STLCH Exercice 1

Soit ( E ) l'équation différentielle (E) : 4y" + y = 0.

1°. Résoudre cette équation différentielle (E).

2°. Déterminer la solution particulière f qui vérifie les conditions (0)f  3/ 2et f' (0)  3 / 4. 3°.a. Trouver deux réels A et tels que : ^{f x( )Acos ( / 2)} ^{x }.

b. Déterminer la solution dansR de l’équation f x( ) 3 / 2

4°.Calculer une primitive de f sur R et en déduire la valeur exacte de ^{/ 3}

0

3 ^ f x dx( )





Exercice 2

1°. Résoudre l'équation différentielle (E) : 4 y " + 49 y = 0 .

2°. Déterminer la solution particulière f qui vérifie les conditions ( ) 1

f 3   et ^{f ( ) 1 } . 3°. Trouver deux réels r et w strictement positifs et un réel  tels que : ^{f x( )rcos}^wx^.

4°. Calculer ^{/ 7}

0 f x dx( )



 . Interpréter graphiquement le résultat 5°.

a. Déterminer la solution g de l’équation ( E ) qui vérifie '( / 2) 0f   et f (0)  2. b. Montrer que, pour tout réel x , ^{( ) 2 cos 7 3}

2 4

f x   x .

c. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle



/14 ; 5 /14



Exercice 3

On considère l'équation différentielle (E) : y" 25 y0, où y est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur R ^.

1. Résoudre l'équation différentielle (E) .

2.a. Déterminer la solution particulière f qui vérifie les conditions ^f



^{/ 5}



 ³et ^{f '}



^{/ 20}



^0. b. Montrer que, pour tout réel x, f (x) peut s'écrire sous la forme f x( ) 3 2 cos 5  x/ 4. 3.a Déterminer la solution dansR de l’équation cost  2 / 2 .

b. Déterminer la solution dansRde l’équation f x( ) 3

c. donner , pour l’équation précédente f x( ) 3, toutes les solutions appartenant à l’intervalle



^{/ 2 ; / 2}



Exercice 4

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : y" y 0.

2. On désigne par f l a solution particulière de (E) dont la courbe représentative dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées (0 ; 1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y x _.

2.a. Déterminer f(0)et f '(0).

2.b. En déduire une expression de f x( )en fonction de x . 2.c. Vérifier que pour tout réel x , ^{f x( ) 2 cos}



^{x/ 4}



^.

3. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ;], c'est-à-dire le réel m défini par

0

1 ( )

m ^ f x dx





Exercice 5

On donne l’équation différentielle : y'' + 36y = 0

1. Donner la forme des solutions de cette équation différentielle.

2. Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle satisfaisant aux conditions suivantes : - la courbe représentative de f passe par le point G de coordonnées



^{0 ; 3}



^.

- la droite tangente à cette courbe au point G a pour coefficient directeur 6.

3. Vérifier que pour tout réel x : f x( ) 6sin 6  x/ 3. 4. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle



^{0 ; / 6}



^.

Exercice 1

1 . L'équation^{4 "y  y 0} soit ^{" 1 0}

y 4 y est une équation différentielle du deuxième ordre sans second membre de la formey"w y² 0avec ¹

w 2.. Les solutions sont les fonctions de la forme :

Ses solutions sont les fonctions de la forme : ^{f x( )Acoswx B sinwx} ; avecA ; B ;x et donc ici : ^{( ) cos sin}

2 2

x x

f x A B avec x

2. Puisque ^{f x'( ) }₂^Asin₂^xB₂^cos₂^x donc si ^{f(0) 3}₂ alors ^{A 3}₂ et si ' (0) ³

f   4 alors ³

2 4

B 

et donc ³

B  2 .La solution particulière cherchée est donc la fonction ( ) ³cos ³sin

2 2 2 2

x x

f x   ,x .

3.a ^{f x( )}₂^3cos₂^x ₂^3sin₂^{x 3}^₂^3cos_{2 2}^x1sin₂^x^{ 3 cos} ⁷₆^cos₂^xsin7₆^sin₂^x donc ^{f x( ) 3 cos}₂^x7₆^

b. ^{f x( ) 1} si et seulement si ^{3 cos}₂^x7₆^^ ₂³ soit ssi ^cos₂^x7₆^^1₂ soit ^cos₂^x7₆^^cos^₃^2k

on a donc ^{ }_2^{x 7}₆^{ }₃^{2k ou} ₂^x7₆^{   }₃ ^2k d'où ^{  }_2^{x }₃ ⁷₆^{2k ou} ₂^{x  }₃ ⁷₆^2k . et ^{ }^{x 3}₂^{ 4k ou x5}₃^{ 4k} dans l'intervalle



^0;4



les solutions sont ^x3₂^ et ^x5₃^ 4. la valeur moyenne de f sur l’intervalle



^{0 ; / 3}



est égale : ^m_{( / 3) 0} ¹ _



₀^{/ 3f x dx( )}

^m_³



₀^{/ 3 3 cos}₂^x7₆^^{dx ; 6 3 sin} ₂ ⁷₆ ^{/ 3} 0 m x

 



  

     ; ^{m6 3}_ ^^sin^₆^7₆^^sin^7₆^^

^{m6 3}_ ^_^sin ^{  sin}_⁷₆^_^_

 

  ; ^{6 3 1}

m 2



 

    ; m ^{3 3}

   . Exercice 2

(E) ^{4 " 49y  y0}. ^{" 49 0}

y  4 y et " ^{7 2} 0

y    2 y L'équation différentielle (E) est de la forme y" + w ²y = 0 avec^w7₂.Donc ses solutions sont les fonctions définies sur _ de la forme f(x) = A cos w x + B sin w x , les solutions de cette équation sont donc les fonctions : ^{f x( )Acos}⁷₂^x^Bsin⁷₂^x où A et B sont deux constantes réelles.

2. ^{( ) 1}

f 3   et ^{f ( ) 1 } . ^{f( )}₃ ^Acos⁷₆^^Bsin⁷₆^ cos sin 1

6 6

A ^^B ^^  

^A ₂^3^{B }  ¹₂ ^{ 1}  A 3 B 2. ^{f( ) 1 } et ^{f( ) Acos}⁷₂^^Bsin⁷₂^ cos 2 sin 2 1

2 2

A  B 

 

     

   

   

^{ B} ^{ 1 1}  B 1. ^_B^A_{ }^{3 }₁^{B 2}

 ^{3 3}

1 A B

 



  



^{B 1 ; A 3}. Donc ^{f x( ) 3 cos}⁷₂^x^sin⁷₂^x 3. ^{( ) 2 3cos 7 1 in 7 sin( ) 2 cos cos 7 sin sin 7 2cos 7}

2 2 2 2 4 6 2 6 2 2 6

f x    x s  x         x      x  x

4. ^{/ 7 7 / 6}

0 / 6

( ) 2 cos(7 )

2 6

f x dx x dx

 





   

 

²²7^sin(72x6 0⁾^{/ 7 }_7^4sin(7_{2 7}^{  }₆^)4₇^sin(7₂^{ 0 }₆^)_

 

^⁴₇^{sin( }₂^₆^)4₇^{sin( )}₆ ^^4₇^^sin(2₃^{) sin( ) }₆ ^^_{7 2 2}^{4 1 1} ^{ }^0

     

Ce résultat signifie que les aires comprises entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites

x 6

et ^x7₆^ , positives et négatives se compensent du fait de la période de la fonction f.

5°. ^{'( ) 0}

f 2  et f (0)  2. ^{f(0)Acos 0} ^{Bsin 0} ^{  2A}. ^{f x( )Acos}⁷₂^x^Bsin⁷₂^x

Puisque ^{f x'( ) 7}₂^Asin7₂^x7₂^Bcos7₂^x donc si ^{'( ) 0}

f 2   '( ) ⁷ sin^{7 7} cos⁷ 0

2 2 4 2 4

A B

f   

    

7 7

sin 2 cos 2 0

2 4 2 4

A ^  ^ B ^  ^

        ^{7 sin 7 cos 0}

2 4 2 4

A   B  

      ^{7 sin 7 cos 0}

2 4 2 4

A      B     

alors ^{A B 0} etB  A 2 ^{f x( )  2 cos7}₂^{x 2 sin7}₂^x ,x  ^{( ) 2 2cos7 2sin7}

2 2 2 2

x x

f x    

3 7 3 7

( ) 2 cos cos sin sin

4 2 4 2

x x

f x        . Donc ^{f x( ) 2 cos }⁷₂^x3₄^

5b. ^{7cos 7 3} '( ) cos ( )

2 2x 4u x u x avec ^{u x( )}⁷₂^x3₄^. Une primitive de u'cosuest sinu, donc une primitive de ⁷₂^cos⁷₂^x3₄^ est ^sin⁷₂^x3₄^, et une primitive de ^cos⁷₂^x3₄^ est ²₇^sin⁷₂^x3₄^

5 /14 5 /14

14 /14

1 28 7 3

( ) cos( )

5 4 2 4

14 14

f x dx x dx

 

 



 _



^ 



_ ^{  7 2}sin(^{7 3} ) ^{5 /14}

7 2x 4 14

 

  

 

  ^_^2^{sin(7 5}_{2 14}^{ 3}₄^{) sin( 7}_{2 14}^{  3}₄^)

² sin( ) sin( ) ²1 1 ⁴

2 2

 

  

  

     

  et ^m_⁴

Exercice 3

1-Soit l'équation différentielle : ^{y" 25 y0} soit y" 5 ²y0. L'équation différentielle (E) est de la forme y" + w ²y = 0 avec^w5. Ses solutions sont les fonctions définies sur _ de la forme f(x) = A cos w x + B sin w x où A et B sont deux constantes réelles.

donc ici : ^{f x( )}^{Acos 5} ^x ^{Bsin 5} ^x avecx .

2. a.^{f x( )Acos 5} ^{x Bsin 5} ^x donc si ^{f    }  ^₅ ³ ; or ^cos

f     5 A   A , alorsA3 et si ^{f x'( ) 5 sin 5A}  ^{x 5 cos 5B}  ^x ;^{f '}₂₀^{  } ⁰ signifie que ^{5 sinA  }  ^₄ ^{5 cosB  }  ^₄ ^0 et

^5A ₂^2^5B ₂^2^0  A B 0 et ^{A B 3}, donc ^{f x( ) 3cos 5}  ^{x 3sin 5} ^x . 2b. ^{f x( ) 3 2 } ₂^{2cos 5 x } ₂^{2sin 5 x  }  ^{ cos cos 5}₄ ^{ x sin sin 5}₄ ^{ x } or^{sin cos 2}

4 4 2

    on a donc et donc ( ) 3 2 cos 5

f x   x4. 3a..cos ²

t  2 ; ^{costcos}³₄^ ; ^{  }^{t 3}₄^{ 2k ou t 3}₄^{2k k}

  ; ^S³₄^{ 2k ; 3}₄^{2k k }

 .

3b. ^{f x( ) 3} ; ^{3 2 cos 5} ^x₄^^{ 3} ; ^{cos 5 2}

4 2

x 

   

 

  ; ^{cos 5 cos 3}

4 4

x  

    

   

   

d’après la question précédente , cette équation est équivalente ^{   }^{5x }₄ ³₄^{ 2k ou 5x  }₄ ³₄^{2 ' ;k k ; 'k}

   3 3

5 2 5 2 ' ; ; '

4 4 4 4

x   k ou x   k  k k

        

  

^{5 2 5 2 ' ; ;}

x  k ou x 2 k  k k

       

   ^{2 2 ' ; ; '}

5 5 10 5

k k

x   ou x   k k

       

  

^S^₅^2k₅^{ ; }₁₀^{ 2 'k}₅^{ ; k ; k' }

  

3.c * Cherchons d’abord les solutions de la forme ^₅^2₅^k appartenant à



^{/ 2 ; / 2}



²

2 5 5 2

  k 

    ^{ 2}

2 5 5 2 5

  k  

     ^{ 7 2 3}

10 5 10

 k 

   ^{ 7 3}

4 k 4

   . k’ est un entier : Les seules valeurs possibles sont donc k = 1 et k = 0.

* Cherchons d’abord les solutions de la forme ^{ }₁₀^{ 2 'k}₅^ appartenant à



^{/ 2 ; / 2}



^{2 '}

2 10 5 2

  k  

     ^{ 2 '}

2 10 5 2 10

  k   

     ^{ 4}₁₀^{  2 'k}₅^{  6}₁₀^{  1 k' 3}₂ . k’ est un entier :

Les seules valeurs possibles sont donc k’ = 1 ; k’ = 0 et k’ = 1 .^{S }_ ^₂ ^{; }₅ ^{; }₁₀^{ ; }₅ ^{; 3}₁₀^{ }_ 4. a. ^{( ) 3 2}

f x  2 ; ^{3 2 cos 5} ^x₄^^{3 2}₂ ; ^{cos 5} ^x₄^^1₂ ; ^{cos 5} ^x₄^^{cos }  ^₃ , d’après la question précédente , cette équation est équivalente ^{   }^{5x  }_{4 3} ^{2k ou x 5    }₄ ^₃ ^{2 ' ;k k ; 'k}

  

^{   }^{5x  }_{4 3} ^{2k ou 5x   }_{4 3} ^{2 'k  ;k ; 'k }

    5 ⁷ 2 5 2 ' ; ;

12 12

x  k ou x  k k k

 

       

  

^{  }_^{x 7}₆₀^{ 2k}₅^{ ou x  }₆₀^{ 2 'k}₅^{ ;k ; 'k } . ^S⁷₆₀^{ 2k}₅^{ ; }₆₀^{ 2 'k}₅^{ ; k ; k' }

  

Exercice 4

1 . L'équation y'' + y = 0 est une équation différentielle du deuxième ordre sans second membre de la forme y"w y² 0 avec w = 1. Les solutions sont les fonctions de la forme :

^{f x( )Acosx B sinx} ; AR ; BR ;xR . 2 .

a . La courbe représentative de la fonction f passe par le point ( 0 ; 1 ) donc f(0) = 1, elle admet en ce point une tangente, parallèle à la droite y = x donc f '(0) = 1.

b . On a f ’ de la forme ^{f x'( ) Asinx B cosx} d’où si alors d'où ^{f x( ) cos xsinx} xR

c . ^{f x( ) cos xsinx 2} ₂^2cosx ₂^2sinx^{ 2 cos cos} ^₄ ^{xsin sin}₄ ^x^{ 2 cos}^x₄^ xR

3 . ¹ ₀ ^{( ) 1} ₀ ^cos

m ^ f x dx ^ x 4 dx

 

 









   ⁼

0

2 sin x 4

 



   

  

  = ^{2 sin 3 sin}

4 4

 



    

    

 = _^2 ₂^2 ₂^2

 

^{2 2 2 2}

m 2

 

   .

Exercice 5

1-Soit l'équation différentielle : ^{y" 36 y0} soity" 6 ²y0. Elle est de la forme : y"w y² 0avec 6

w .

Ses solutions sont les fonctions de la forme : ^{f x( ) Acoswx B sinwx} ; avecAR ; BR ;xR et donc ici : ^{f x( )Acos 6x B sin 6x} avec xR .

2.- si la courbe de f passe par G(0; 3)alors f(0) 3

- si la tangente à cette courbe en g a un coefficient directeur égal à 6 alors ^{f '(0) 6}

Calculons f ’(x). ^{f x'( ) 6 sin 6A x6 cos 6B x} donc si f(0) 3 alors A 3 et si ^{f' (0) 6} alors 6B6et donc B = 1 et donc f x( ) 3 cos 6xsinx

Par conséquent, la solution demandée est : f x( ) 3 cos 6xsinx 3. D’après la formule sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a), on déduit : sin 6 sin 6 cos cos 6 sin ¹sin 6 ³cos 6

3 3 3 2 2

x  x  x  x x

     

 

  d’où ^{2sin 6 3 cos 6 sin(6 )}

x 3 x x

   

 

 

par conséquent, ^{f x( ) 2sin 6 } ^x₃^.

4- ¹ ₀ ^{( ) 1} ₀ ^{2sin 6}

/ 6 0 / 6 3

m ^ f x dx ^ x  dx

 

 

 







   ^{= 6}

0

2 1

cos 6

/ 6 6 x 6

 



   

  

  = ¹²_ ^^1₆^cos^₃^^1₆^{cos }  ^₃ ^

=^{2 cos 4 cos}

3 3

 



     

    

 =^{2 1 1}

 2 2

  

 

  ; 2

m