equations différentiellespremier ordre-term-STL-CH

Tp mathématiques Equations différentielles 1^er ordre Ter STI-GMF-STLCH Exercice 1

1. Soit (E) l'équation différentielle : y'+2y = 0,où y est une fonction numérique définie et dérivable surR a. Résoudre l'équation (E).

b. Déterminer la solution f de (E) telle que f (0) = 1 . 2. a. Calculer la valeur moyenne de f sur [0; 10] .

b. Déterminer, en fonction de n, la valeur moyenne de f sur l'intervalle [ n ; n+ 1].

3. Soit (un) la suite définie par : Un =

1

^{2 2}

(1 )

2

e e^{ } n

 , pour tout n entier positif ou nul.

a. Calculer la valeur exacte de U0 U1et U2.

b. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c. Déterminer la valeur exacte de la somme S= U0 + U1 + ...+ U9 . Exercice2

Au cours d'une réaction chimique, on appelle C(t) la concentration du réactif (en moles par litre) à l'instant t (en minutes). On admet que la fonction C : t C(t), définie sur l'intervalle I = [0 ; [ , est solution de l'équation différentielle : C’(t) = a C(t) (E)

où a est une constante donnée liée à la réaction.

1. a. Résoudre l'équation (E).

b. Déterminer la solution de (E) vérifiant:

C(0) = 0,1mol.L ^-1 (C(0) est la concentration initiale à l'instant t = 0) .

2. On donne a = 9,9 10^ min^l et on suppose désormais que la fonction C est définie sur I par:

C t( ) 0,1 e^{9,9 10 3t .}

a. Déterminer le temps de demi-réaction noté t1/2 c'est-à-dire la valeur de t pour laquelle la

concentration est égale à la moitié de la concentration initiale C( 0) . On donnera d'abord la valeur exacte de t puis celle arrondie à la minute.

b. La courbe représentative de la fonction C est donnée ci-contre. L'axe des abscisses est gradué en minutes.

Déterminer graphiquement la valeur de t pour laquelle la concentration est égale à 10 % de la concentration initiale.

Exercice 3

Soit l'équation différentielle (E) : y’ + y = x , où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle x et y' sa dérivée.

1. Résoudre l'équation différentielle (H) : y'+ y = 0.

2. Déterminer les deux nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur R par : g(x) = a x + b , est solution de l'équation (E).

3. a. Le nombre k désignant une constante réelle, on considère la fonction I définie sur R par:

f x( )k e^x x 1.Vérifier que la fonction f est solution de l'équation (E).

b. Déterminer le réel k pour que f(0) = 0.

4. Dans cette question, on prend k = 1 .

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0 20

0,1

0,01 0,02 0,03 0,04

minutes 0,05

0,06 0,07 0,08 0,09

a. Calculer la valeur moyenne m de f sur l'intervalle [ 0 ; 2] . b. En déduire une valeur approchée de m à 10^ près.

Exercice 4

Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs d’un corps à l’instant t (t est exprimé en jours).On admet que la fonction N de la variable positive t est solution de l’équation différentielle y' y, où  est une constante réelle positive.

1. Déterminer N(t) en fonction de , sachant que N(0) 10 ⁹.

2. Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié. Calculer la valeur exacte de  . 3. Au bout de combien de jours le nombre de noyaux deviendra-t-il inférieur à 10 ?²

Exercice 5

On chauffe dans une grosse cuve un liquide et on appelle g(t) sa température en degrés Celsius à l’instant t exprimé en secondes, g étant une fonction numérique définie sur



^{0 ;}



.

On admet que la fonction f définie sur



^{0 ;}



par ( )f t g t( ) 100 est la solution de l’équation différentielle : ( E) : y' 2 10  ^4y0 vérifiant f(0) 80.

1- a. Résoudre l’équation différentielle ( E) ,puis exprimer f t( )en fonction de t ..

b. Montrer que : g t( ) 100 80  e 2 10^4t. Calculer g(0)

2. a. Au bout de combien de temps la température atteint-elle 85°C ? Donner la réponse en heures, minutes et secondes. La température peut-elle atteindre 100°C ? Justifier

Exercice 6

Un condensateur de capacité C, initialement chargé à une tension U 0 = 10 volts, se décharge à partir de l'instant t0 = 0 à travers un circuit de résistance R. Pour t 0, on sait que la tension U est une fonction du temps, exprimé en secondes, solution de l'équation différentielle (E) : RC U'(t) + U(t) = 0. On prendra C = 15.10^-5 farads et R = 2.10⁴ ohms.

1. a) Résoudre l'équation différentielle (E).

b) Déterminer la fonction U solution de (E) vérifiant la condition initiale U(t0) = U0 = 10 2.à partir de quel instant t1 la tension U(t) vérifiera U(t) 1/10 u0.

On donnera la valeur exacte de t1, puis sa valeur arrondie au dixième de seconde.

3. Calculer la valeur moyenne de la fonction U entre les instants t0 et t1. On en donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième de volt.

Exercice 7

Un réservoir contient 1 000litres d'eau douce dont la salinité est de 0,12g • L^-1.

A la suite d'un incident regrettable, de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute. On note S la salinité de l'eau du réservoir; s est une fonction du temps t (exprimé en minutes).

On admet que s est solution de l'équation différentielle : ( E ) : S'(t) + 0,01 S(t) = 0,39.

1° Résoudre l'équation différentielle (E).

2° Considérant qu'à l'instant t = 0 où débute l'incident la salinité de l'eau du réservoir était de 0,12 g • L ^–1, montrer que l'on a : S(t) = 39 – 38,88 e^{– 0,01 t}

3° Déduire du résultat précédent la salinité de l'eau du réservoir 60 minutes après le début de l'incident.

4° De combien de temps le service de surveillance dis-pose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée si, pour réduire les conséquences de l'incident, la salinité doit rester inférieure à 3,9 g • L^-1?

Exercice 8

Une citerne calorifugée est chauffée par une résistance .la température ( )t de la citerne vérifie l’équation différentielle ( 1 ) : '( ) t  a b, avec a2,088 10 ² et b2,32 10 ⁴.

Lorsque t est exprimé en secondes et ( )t en ^C^.

1° Montrer que y  90 est solution de l’équation différentielle (2) : y' by (2).

2° Donner la solution générale de l’équation (2)

3° En déduire l’expression de ( )t sachant que (0) 20  . 4°Au bout de combien de temps la température atteint-elle 80^C ^? Exercice 9

1. a) Résoudre l'équation différentielle : (E) 4 ' 3y y0.

b) Déterminer la fonction f, solution de (E) telle que '(0)f  6.

2. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur l'intervalle I =



^{0 ; 4}



^{parg x( ) 8} ^e0,75x . a) Étudier les variations de g sur I et tracer sa courbe représentative (C) dans le plan rapporté à un repère

C R K

U

orthonormal(o; ; )^{ }i j (unité graphique 1cm).

b) Soit A le domaine plan compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 4.

Calculer le volume V du solide engendré par la rotation du domaine A autour de l'axe des abscisses (x' x). (On rappelle que, dans ce cas, le volume



est donné par la formule:



^



_a^b^{g x( )}^2dx).

On donnera la valeur exacte de



en cm3 puis sa valeur approchée arrondie au mm^3.

Exercice 10

On chauffe dans une grosse cuve un liquide et on appelle g(t) sa température en degrés Celsius à l’instant t exprimé en secondes , g étant une fonction numérique définie sur



^{0 ;}



^.

On admet que la fonction g est la solution de l’équation différentielle ( E) : 50 '( )g t g t( ) 100 . 1- a. Résoudre l’équation différentielle ( E) .

b. Montrer que : g t( ) 80e^{ 2 104t} 100sachant que la température initiale est de 20°C.

2. a. Au bout de combien de temps la température atteint-elle 85°C ?Donner la réponse en heures et minutes . b. La température peut-elle atteindre 100°C ? Justifier

Exercice 1

1

.

^{( ) : ' 2E y  y0}

1.a.

_{y ce} ^2x

est la solution générale de E.

1.b. La solution f de (E) est telle que

^{f(0) 1}

. On a donc

_1ce⁰ _c

soit c = 1.

D'où f est définie par

f x( )e^2x

.

2.a. La valeur moyenne de f sur [0; 10] est :

^{1 b ( )}

a

f x dx

b a



 ^;

^_{10 0}¹_



₀^10e2xdx

^{2 10}

0

1 1

10 2 e x

 ^ ^{ }

;

^{1 1 20}

20 e

    ^ 

2.b

^{1 1 2}

1 n

n e xdx

n n

 ^{ }

 

 ^;

¹₂ ^{2x n 1}

n

 ^ e^{ } ^

^{1 2( 1)} 2

n n

e e

  ^{ }  

;

^{1 2 2 2}

2

n n

e e e

  ^  ^{ } 

^1₂^e2n



^1e2



3.

Un¹₂⁽¹e^2)e^2n

,

0 1 ²

(1 )

U 2 e^

;

1 1(1 ²) ²

U 2 e^ e^

;

2 1 ^{2 4}

(1 )

U 2 e^ e^

3.b. Pour montrer que (Un) est une suite géométrique il suffit de montrer qu'il existe un réel non nul que tel que U

n + 1

= q U

n.

Un¹₂⁽¹e^2)e^2n

;

1 1 ^{2 2( 1)}

(1 )

2 n n

U _  e^ e^{ }

;

1 1 ^{2 2 2}

(1 )

2 n n

U _  e^ e^ e^

;

U_n1U_ne^2

. Donc (Un) est une suite géométrique de premier terme

0 1 ²

(1 )

U 2 e^

et de raison

_e^2

3.c

_{0 1 2 3 4 5} ... _{1 0} ^{1 1}

1 n

n n q

U U U U U U U U U

q



 

        



.On a donc

^{0 1 2 3 4 5 1}



²



^{2( 1)}2

1 1

... 1

2 1

n

n n e

U U U U U U U U e

e

 

  

          



.

^{0 1 2 3 4 5} ... ^{1 1}



1 ^{2( 1)}



2 n n n

U U U U U U  U _ U   e^{ }

Exercice 2

1-a les solutions de ( E) sont de la forme

C t_k: k e^at

;

kR

.

b-

Ck^{(0) 0,1}

; d’où k e

⁰

 0,1 c’est-à-dire

^k0,1

. La solution cherchée est

C t: 0,1e^at

pour

t0

. 2-

_{C t( ) 0,1 e}^{ 9,9 103t}

.

^{C( )}₂^{t 1}₂^C(0)

; d’où

^{0,1e 9,9 103t 1}₂

;

9,9 10 ^3t ln 2

1 3

2

ln 2 min 70 min

9,9 10

t  _ 



.

b- graphiquement , la concentration est dixième de sa valeur initiale au bout de 230 min ou encore 3h 50 min ( 231 min ou 232 min ).

Exercice 3

1) Soit l'équation différentielle : (H) : y' + y = 0 y ' = -y d'où

y k e ^x

;

kR

. 2) Si g(x) = a x + b est solution de l'équation (E) alors on a : a + a x + b = x pour tout

kR d'où ^_{  }^a_{a b}^1 ₀



donc

^_{    b}^a1_{a 1}



et g(x) = x - 1 .

3) a)

f x( )k ex x 1

on a

f x'( ) k ex1

, donc

f x'( ) f x( ) k ex 1 k ex  x 1 x

. pour

kR on a : f ' (x) + f (x) = x ; et f est solution de (E) .

b)

_{f x( )}_{k e}^x _{x 1}

si f (0) = 0 alors k  1 = 0 d'où k = 1 4) a) k = 1

_{f x( )}_e^x _{x 1}

.

²

0

1 ( )

2 0 f x dx

  

 ^;

^_{2 0}¹_



₀^{2(ex x 1)dx}

¹_{2 2}^{2 2}

0 x x

e x

    

 

 

;

^1₂^^{e2   4}₂ ^{2 ( e0 0 0)}

^1₂^_^{e2 2 2 1   }_

^1₂^_^1e2_

. b) m = 0,43 à 10

^-2

près par défaut.

Exercice 4

1-L’équation y' ya pour solution générale : N t( )Ae^t où A est un réel .commeN(0) 10 ⁹ alors A10^{9 d’où N t( ) 10 9et.}

(0) 109

N  et (18) ¹⁰⁹

N  2 donc ^{9 18} 10⁹

10 e^{ }  2 ¹⁸ 1

e^{ }  2 d’où ¹⁸ 1

e^{ } 2 ; ^{18 ln 1}

  2

     . ^{ln 2}

 18 3. Résolvons : N t( ) 10 ^{2 }

10

9e^{ln 2}18^t 

10

2 ^

ln 2 2

18 7 9

10 10 10

e^ t   ^  ^{ln 2}₁₈ ^{tln 10}

 

^{7  7 ln10}

 18 7 ln10

418,5

t ln 2  . A partir du 419ème jour, le nombre de noyaux sera inférieur à 10^2. Exercice 5

1. l’équation différentielle y ay' 0est une équation différentielle linéaire du 1^er ordre

on sait que la solution générale de cette équation :les fonctions f définie sur R par f x( )k e^{a x} où kR . Ici _{a  2 10}^4 _{f t( )k e}^{ 2 104t} . f(0)ke⁰  80. D’où k  80 et enfin f t( ) 80e^{ 2 104t}

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0 20

0,1

0,01 0,02 0,03 0,04

minutes 0,05

0,06 0,07 0,08 0,09

2- on sait que f t( )g t( ) 100 pour ^t



^{0 ;}



^{, d’où} g t( ) 100 80  e ^{2 104}t

3.a) g(0) 100 80  e0 100 80 20  . la température atteint 85°C lorsque : _80e^{ 2 104t}_{100 85}  _80e^{ 2 104t} _{ 15}  ^{2 10 4 15 3}

80 16

e  ^ t    2 10 ⁴ ln 3 t 16

  

    

 



 

4

ln 3/16 3

5000ln 8370 sec

2 10 16

t  _     soit t  2 h 19’ 30’’.

c. la réponse est non car on aura 80e^{ 2 104t}100 100 c’est - à -dire 80e 2 10^4t 0 ou encore e^{ 2 104t} 

0

impossible car e^t 0 pour tout réel t

EX 6 -Solution

1.a) La solution générale est : _{U t( )Ae}^_RC^t où AR . ici RC = 3 donc _{U t( )ke}^₃^t b) Pour tout t = t0 = 0 on trouve U0 = 10v donc k = 10 et u(t) = 10e^{( 1/ 3) t}, t 0.

2. ^{( ) 1} ₀

u t 10U _10e^₃^t_1  3 ¹ 10 t e

  t/3 ln 10 t 3 ln10. On a donc t1 = 3 ln10 = 6,9 s au 1/10 de seconde près.

3. La valeur moyenne de u entre t0 et t1 est définie par : ¹

1 0 0

1 ( )

t

t

u t dt t t

  



Soit ici : ^3ln10

0

10 3 3ln10

t e dt

 



^{ ,}

3ln10 3

0

10 3

3ln10

t

 e^

 

 

  

 

 

;

10

ln10

3ln10 3 3

e

    ^  ^;

^_ln10^{10 }^1₁₀^1 ⁹ 3,9 ln10 volts

 

 = 9/ln10 = 3,9 V au 1/10 de volt.

Exercice 7

1°  S : ^{S t( )Ce0,01t0,39}_0,01 Donc S(t) = 39 + C e– 0 ,0 1 t.

2°  S(0) = 0,12  39 + C e–0 , 0 1  0 = 0,12  C = 0,12 – 39 .S(t) = 39 – 38,88 e ^{–0,01 t} 3°  S(60) = 39 – 38,88 e^{–0,01  60}  17,66.

4°  S(t)  3,9  S(t) = 39 – 38,88 e^{–0,01 t} = 3,9  e^{–0,01 t} = 39 – 3,9  ^0,01

35,1 38,88

e^ t  _

^ln



^e0,01t



^ln_38,88^{35,1 }_^{ 0,01 lnt eln}_38,88^{35,1 }_^{  t 100ln}_38,88^{35,1 }_. t  10,23.

Exercice 8

On sait que θ '( )t  a b tθ( ), avec _{a2, 088 10} ^4et _{b2,32 10} ^4. On pose: y θ 90

d'où θ= y+90et θ' = y', par dérivation. θ '( )t  a b tθ( ) y' a b y( 90) y'   by a 90b . Or a90b2,088 10 290 2,32 10  4 0. D'où l'équation se réduit à: y' by

b) L'équation y' byest une équation différentielle linéaire du premier ordre. Sa solution générale est de la forme : y ke bt où k est un réel quelconque. Comme θ( )t  y 90, on en déduit : _{θ( )t ke}^bt_90. Sachant queθ(0) 20 ,on peut déterminer la constante k : θ(0)k e0  90 20 k

90 20

 et k 

70

.

D'où l'expression de θ( )t en fonction de t : θ( ) 90 70t   ebt

2°) La température atteint 80°C au bout du temps t tel que θ( ) 80t  , c'est-à-dire : 90 70 ebt 80  70ebt  10  ¹

7

ebt  ^{t ln 7}

 b  ^{ln 7} ₄ ^8387,5

2,32 10

t _ 

 La température atteint 80°C au bout d'environ 8387 secondes, soit 2 19 ' 47 ''h Exercice 9

1a. ^{4 ' 3y  y0}  ' ³

y  4y l’équation différentielle ^{' 3}

y  4y est une équation différentielle du 1^er ordre de la

forme y'ay.On sait que la solution générale de cette équation est de la forme _{y ke} ^at où k est un réel quelconque. Ici 3

a 4, d’où la solution générale de l’équation (E) : _{y ke} ^{(3 / 4)t}.

b. Soit f la fonction , solution de ( E ) , telle que ^{f '(0) 6}.comme f x( )ke^{(3/ 4)}t, et comme la dérivée de

 

^eu

^'

^{u e}

^'

^u, on peut dériver f . 3 ^{( 3/ 4)}

'( ) 4

f x k e^ x.

3 ⁰ 3

'(0) 4 4

f k e  k

  .comme f '(0) 6. 3 4 k 6

   ; k 8. la fonction f cherchée est telle que : f x( ) 8 e^{(3 / 4)}x.

2. la dérivée de g est définie sur I par : '( ) 8 ^{3 (3/ 4)} 4

g x   e x . _{g x'( )  6 e}^{(3 / 4)x}.Comme _e^{(3 / 4)x}_0 ,

on en déduit que g x'( ) 0 .Donc la fonction g est strictement décroissante sur I . le volume V du solide engendré par la rotation du domaine A autour de l'axe des abscisses (x' x) est donné par la formule:



^



_a^b^{g x( )}^2dx. comme l’unité graphique est le cm , l’unité de volume est cm³. d’où ⁴ 8 ^{( 3/ 4) 2}

0 e t dt







^ ^{ } ^{; 64} 0^{4 ( 3/ 2) 64 ( 2}3^{) ( 3/ 2)} 0^{4 128}3



^{6 0}



t x

e dt e  e e

 



^



^{    }_ ^{ }_ ^{  }

^

^128₃^



^1e6



^{cm 3} . une valeur approchée de



arrondie au mm ³est alors



^133,709cm ³ Exercice 10

L’égalité

^{50 '( )g t g t( ) 100}

peut s’écrire

^{'( ) 1 ( ) 2}

g t  50g t 

. C’est une équation différentielle de la forme

'

y ay b

. Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions g vérifiant :

/ 50 2 / 50

( ) 100

1/ 50

t t

g t ke^  ke^ 



.où k est une constante réelle

b.g(0)ke0100 20 ^donc k 80 par conséquent : _{g t( ) 100 80  e}^{t/ 50}.

2- g(t)= 85 signifie 100 80 e^0,0285 80e^0,02t 15 ^{e0,02t }₁₆^{3 0,02t}  ^ln₁₆^{3 }

50ln 16 84 t  3  la cuve atteindra la température de 85° au bout de 1 h et 24 min.

5

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4