TS9 DS 3 7 janvier 2020 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom,pr´enom :
Exercice 1 : PGCD et Matrices (20 points)
Partie A :
Soient aetbdeux entiers naturels tels que a > b.
1. D´emontrer que PGCD(a, b) = PGCD(a−b, b).
2. En utilisant l’´egalit´e pr´ec´edente, calculer PGCD 43−1, 42−1 .
3. Compl´eter l’algorithme ci-dessous de telle sorte qu’apr`es ex´ecution, la variable Acontienne PGCD 43−1, 42−1
.
A←43−1 B←42−1 Tant que . . . :
SiA > B, alors : A←. . . Sinon :
B ←. . . Fin Si Fin Tant que Partie B :
On consid`ere la suite (un) d´efinie par u0 = 0, u1 = 1 et pour tout entier naturel npar : un+2= 5un+1−4un.
On admettra que pour tout entier natureln non nul,un est un entier naturel non nul.
On note Vn= un+1
un
.
1. Justifier que pour tout entier naturel n, Vn+1 =AVn o`u A est une matrice carr´ee d’ordre 2 dont on pr´ecisera les coefficients.
2. On poseP =
1 4
1 1
etQ=
−13 43
1 3 −13
(a) Donner sans justification les produits de matricesQP etP Q. Quels sont les noms de ces matrices ? (b) V´erifier que QAP est la matrice D=
1 0
0 4
.
3. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel nnon nul,An=P DnQ.
On admet dans le reste de l’exercice que Dn=
1 0
0 4n
4. Soit un entier naturel nnon nul. Calculer les coefficients de la matriceAn. 5. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel nnon nul,Vn=AnV0. 6. Justifier que pour tout entier naturel n,un=−1
3 +1 3 ×4n. 7. (a) V´erifier que pour tout entier natureln, un+1= 4un+ 1.
(b) En d´eduire PGCD(un+1, un) pour tout entier natureln.
(c) D´eterminer pour tout entier natureln, PGCD 4n+1−1, 4n−1 .
