A425-La chèvre de Diophante dans son pré rectangulaire Solution
Soit P le piquet de la chèvre de Diophante. Soit H, I, J et K les projections de P sur les côtés AB, BC, CD et DA du rectangle.
Il est naturel de chercher des triangles APH, BPI, CPJ et DPK qui soient tous pythagoriciens.
Les plus petits triangles pythagoriciens ont pour dimensions : [3,4 et 5] et [5,12 et 13]. En considérant les triangles dont les côtés sont des multiples de ces triangles de base, on peut juxtaposer les triangles (15,20,25), (20,48,52), (36,48,60) et (15,36,39). D’où le rectangle ABCD dont la longueur AB est égale à 63 et la largeur BC vaut 56. Les distances du piquet aux sommets du rectangle sont PA=39, PB=60, PC=52 et PD=25.
On vérifie grâce à la puissance de calcul d’un ordinateur que c’est bien le plus petit rectangle.
En effet PA,PB, PC et PD peuvent être des entiers sans que PH, PI, PJ et PK le soient nécessairement.
Avec les triangles pythagoriciens de dimensions [3,4 et 5] et [8,15 et 17], on obtient un rectangle dont la longueur est de 84 et la largeur de 77 et avec les triangles pythagoriciens de dimensions [5,12 et 13] et [8,15 et 17], on obtient un rectangle déjà beaucoup plus grand dont la longueur est de 220 et la largeur de 171.
Si Hippolyte donne à Diophante l’autorisation de planter le piquet en dehors du pré de Diophante, il existe une solution avec un rectangle de longueur 20 et de largeur 15 tel que PA=7, PB=15, PC =24 et PD = 20.
