A106 - La formule magique de Diophante.
Solution
1ère approche
Soit N le nombre choisi par Hippolyte compris entre 1 et 5000.
N est tel que N 2 modulo 11, N 15 modulo 17 et N 20 modulo 31.
Diophante a cherché les solutions particulières des trois systèmes : 1) P 1 modulo 11 et P 0 modulo 17*31=527
2) P 1 modulo 17 et P 0 modulo 11*31=341 3) P 1 modulo 31 et P 0 modulo 11*17=187
Dans le premier système, comme 527 10 modulo 11, il en résulte que 5270 1 modulo 11.
Dans les deuxième et troisième systèmes, Diophante voit immédiatement que 341 1 modulo 17 et 187 1 modulo 31.
Diophante fait donc le calcul 5270 * 2 + 341 * 15 + 187 * 20 et il divise la somme ainsi obtenue par le produit des trois nombres 11,17 et 31 = 5797.
Le reste de cette division donne N = 2004, nombre choisi par Hippolyte.
De manière générale si les restes annoncés par Hippolyte avaient été r1,r2et r3, Diophante aurait fait le calcul de la somme S = 5270* r + 341*1 + 187*r2 et le nombre choisi par r3 Hippolyte aurait été le reste de la division de S par 5797. La formule « magique » de Diophante est donc fondée sur les 4 entiers 5270, 341, 187 et 5797.
2ème approche
N, nombre choisi par Hippolyte, obéit aux 3 relations :N = 11*a + 2, N=17*b+15 et N = 31*c+20
Diophante obtient les équations diophantiennes suivantes :
11*a = 17*b+13 et 11*a = 31*c+18 avec a,b,c entiers naturels positifs.
La première équation a des solutions en a et b de la forme a = 17*m + 12 et b = 11*m + 7 avec m entier tandis que la seconde a des solutions en a et c de la forme a = 31*n + 27 et c = 11*n + 9 avec n entier.
La résolution du système des deux équations a = 17*m + 12 et a = 31*n + 27 donne pour solution de a la formule générale a = 182 + 527*p avec p entier >=0, d’où b = 117 + 341*p et c = 64 + 187*p. La plus petite solution en a,b,c est obtenue pour p=0 et Diophante peut annoncer N = 11*182+2 = 2004. Avec p=1, le nombre obtenu aurait été égal à 7801 = 2004 + 11*17*31 qui est supérieur à 5000.
Conclusion : la 2ème approche est beaucoup plus laborieuse que la première et si doué soit-il Diophante ne peut pas la mener à bien en quelques secondes. C’est donc la 1ère approche qui a été retenue par Diophante.
