E330. L’énigme de la Bête
Diophante choisit secrètement deux nombres entiers positifs puis il donne à Hippolyte leur pro- duit et à Théophile leur somme, chacun d’eux étant informé de la nature du nombre reçu par son voisin.
L’un des deux amis dit à l’autre :
- « Tu n’es pas en mesure de deviner le nombre que j’ai »
- « Erreur, lui répond l’autre, ton nombre est celui de la Bête (i.e. 666) » Quels sont les deux nombres choisis par Diophante ?
Pour les plus courageux : montrer qu’il existe une infinité de nombres entiersN autres que celui de la Bête avec lesquels le même dialogue permet de trouver les deux nombres choisis par Diophante.
Donner les valeurs deN<100.
Solution de Claude Felloneau
Les nombres choisis par Diophante sont 1 et 665.
Désignons parsla somme etple produit des nombres choisis par Diophante.
• La connaissance despermet de devinerpsi et seulement sis=0 ous=1.
En effet, si s>2, il y a au moins trois possibilités pour le produit 0s =0, 1(s−1)=s−1 et 2(s−2)=2s−4 et deux au moins de ces produits sont différents.
Sis=1 ous=0, l’un des nombres choisis est nul doncp=0.
• La connaissance dep permet de deviner ssi et seulement si p est égal à 1 ou à un nombre premier.
En effet :
– Sipest premier ou égal à 1, les nombres choisis par Diophante sont 1 et p, donc leur somme ests=1+p.
– Sip=0, l’une des nombres est 0 et l’autre peut être quelconque ; on ne peux pas deviners.
– Sip>0 et n’est ni premier ni égal à 1, il existe un diviseuradeptel que 1<a<p. On a au moins deux possibilités pour les nombres choisis 1 etpd’une part,aetp
a d’autre part, donc deux sommes possibless1=1+pets2=a+p
a. Ons1−s2=(1−a)³ 1−p
a
´
6=0 car 1<a<p.
Ainsis16=s2et on ne peut donc pas deviner la sommes.
• Théophile est l’auteur de la première affirmation.
En effet, si Hippolyte est l’auteur de la première affirmation, il sait ques >2. S’il avait reçu p=0, il ne pourrait pas déduire cette information. On a doncp>1.
Cette affirmation ne donne pas d’information nouvelle à Théophile. Elle l’informe seulement quep>1 mais il le savait déjà car il a reçu la sommes>2. Il ne peut donc pas devinerp.
• Les nombres choisis par Diophante sont 1 et 665.
En effet, Théophile est l’auteur de la première affirmation.
Il est impossible ques=2, sinon les nombres choisis pourraient être 1 et 1 et Hippolyte ayant le produit 1 pourraient deviner la somme.
Il est impossible ques−1 soit un nombre premier sinon les nombres choisis seraient 1 ets−1 et Hippolyte, connaissantp=s−1, pourrait deviners.
Le nombres−1 n’est donc ni nombre premier ni égal à 1. Théophile sait qu’Hippolyte a reçu un nombrep=n(s−n) avec 06n6s.
p6=1 cars6=2. De pluspn’est pas un nombre premier, sinon on auraitn=1 ous−n=1, donc p=s−1 maiss−1 n’est pas premier.
L’affirmation de Théophile est donc vraie.
Cette affirmation permet à Hippolyte de savoir que la sommes−1 n’est ni un nombre premier ni égale à 1 car si tel était le cas, Hippolyte pourrait avoir reçu le nombrep=s−1 et serait en mesure de deviner les deux nombres choisis 1 etp, ainsi que la sommes=1+p.
Les décompositions p =1×p et p =n(s−n) correspondent aux sommes s1=1+p et s2=n+s−n=squi ne s’écrivent pas sous la forme 1+q avecq premier ou égal à 1 cars−1 n’est ni premier ni égal à 1 etpégalement.
Comme Hippolyte devine le nombre s, il n’y a qu’une seule possibilité et on a s1=s2, donc s=p+1.
Les nombres choisis par Diophante sont 1 ets−1.
Si Théophile a reçu le nombres=666 et Hippolyte a reçu le nombrep=665. Théophile affirme à juste titre qu’Hippolyte n’est pas en mesure de devinerspuisquepest différent de 1 et n’est pas un nombre premier.
Hippolyte fait le raisonnement suivant :
La décomposition en facteurs premiers de 665 est 665=5×133. Il y a deux sommes possibles 1+665=666 et 5+133=138.
Or 138=1+137 et 137 est premier. Il est exclu que Théophile ait reçu le nombre 138, car il n’au- rait pas fait la première affirmation. Il a donc reçu le nombre 666.
Les nombres choisis par Diophante sont donc 1 et 665.
• Les nombresNqui conviennent.
D’après les paragraphes précédents siN est un nombre avec lequel le même dialogue permet de trouver les deux nombres choisis par Diophante, c’est Théophile qui est l’auteur de la pre- mière affirmation et a donc reçu le nombres=N. Hippolyte a reçu le nombre p=N−1 qui n’est premier ni égal à 1.
Pour tout diviseurd propre deN−1, Hippolyte peut décomposerp end×N−1
d , ce qui lui donne la sommesd=d+N−1
d . sd−s=d+N−1
d −N= 1 d
¡d2+N−1−N d¤
=(d−1)(d+1−N)6=0 car 1<d<N−1.
Pour que Hippolyte devineN il faut et il suffit que pour tout diviseur propreddeN−1,sd−1 soit égal à 1 ou à un nombre premier.
Les entiersN<100 qui conviennent sont : 5, 9, 10, 17, 28, 33, 34, 37, 47, 51, 52, 59, 67, 79, 81, 82, 88, 97.
Tous les entiersN=1+p qoùpetq sont deux entiers premiers tels quep+q−1 est premier conviennent. En particulier, les entiers de la forme 1+3p, oùpetp+2 sont des entiers premiers jumeaux mais l’existence d’une infinité de tels entierspn’est qu’une conjecture.
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