Enoncé E340 (Diophante)
La variante valaisanne du problème impossible
Jules dit à Simon et à Paul qu’il a choisi deux entiers naturels supérieurs à 1 et inférieurs à 40. Il leur dit qu’il donne discrètement à Simon la somme de ces deux nombres, et qu’il donne discrètement à Paul le produit de ces deux nombres. Puis il leur demande de déterminer les deux nombres choisis. Après un bon moment de recherches de la part de Simon et Paul, s’instaure le dialogue suivant :
Simon dit à Paul : « Tu ne peux pas connaître ma somme. »
Un peu plus tard, Paul dit à Simon : « Grâce à toi, je connais maintenant ta somme. »
Quelques minutes plus tard, Simon dit à Paul : « Je connais alors ton produit »
Quels sont les nombres choisis par Jules ? Contribution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoientP et S le produit et la somme des entiers cherchés.
a) (première déclaration de Simon) : S est tel que, quel que soit x entre 2 et 39, avec S−x entre 2 et 39, le produit x(S −x) admet au moins une autre factorisation du même type : la connaissance du produit ouvre plusieurs possibilités pour la somme.
On peut éliminer ainsi tous les cas où x peut être un nombre premier p≥ 20, la factorisationp(S−p) étant alors la seule avec facteurs de 2 à 39 ; il en résulteS ≤24.S n’est pas pair de 8 à 24, car il serait somme de deux nombres premiers, dont le produit n’aurait pas d’autre factorisation ; de même,S−2 n’est pas premier. Si S = 6, le produit P = 8 = 2·4 n’a qu’une factorisation (de même que le produit 9 = 3·3 si on admet que les deux entiers à trouver peuvent ne pas être distincts).
Cela ne laisse subsister pourS que les valeurs 11, 17 et 23 (liste S1).
b) (réponse de Paul) :P est tel que, parmi les diverses décompositions de P =xy, il n’y en a qu’une telle que x+y appartienne à S1. Cela élimine les produits 30 = 5·6 = 2·15, 42 = 3·14 = 2·21, 60 = 5·12 = 3·20.
On obtient ainsi les possibilités :
S P
11 18, 24, 28 17 52, 66, 70,72 23 76, . . . 130,132
c) (réponse de Simon) : elle s’expliquerait si ce tableau montrait une somme à laquelle correspond un seul produit. Je ne me l’explique donc pas.
Il faudrait aussi que cette somme soit unique avec cette propriété pour que je puisse connaître somme et produit, comme l’énoncé y invite.
