E330 – L’énigme de la Bête
Diophante choisit secrètement deux nombres entiers positifs puis il donne à Hippolyte leur produit et à Théophile leur somme, chacun d’eux étant informé de la nature du nombre reçu par son voisin.
L’un des deux amis dit à l’autre :
- "Tu n’es pas en mesure de deviner le nombre que j’ai"
- "Erreur, lui répond l’autre, ton nombre est celui de la Bête (i.e. 666)".
1. Quels sont les deux nombres choisis par Diophante ?
2. Pour les plus courageux : montrer qu’il existe une infinité de nombres entiers N autres que celui de la Bête avec lesquels le même dialogue permet de trouver les deux nombres choisis par Diophante. Donner les valeurs de N <100.
Solution par Patrick Gordon Question 1
La seule connaissance de la somme S ne permet pas de deviner le produit, sauf dans les cas très particuliers :
S = 1 impossible car les entiers1 sont tous deux entiers positifs, S = 2 auquel cas les entiers sont 1 et 1 et leur produit 1,
S = 3 auquel cas les entiers sont 1 et 2 et leur produit 2.
On n'est manifestement pas dans ce cas car alors, "l'autre nombre" (le produit) ne pourrait pas être 666.
La seule connaissance du produit P permet de deviner la somme S, si et seulement si ce produit est un nombre premier, auquel cas les entiers sont P et 1 et leur somme S est S = P + 1 (donc S–1 est un nombre premier).
On n'est pas non plus dans ce cas car alors, "l'autre nombre" (la somme) serait 666, donc P = 665, qui n'est pas un nombre premier.
Poursuivons.
Supposons tout d'abord que "le premier des deux amis" est Théophile
Si Théophile (qui connaît la somme S) dit "Tu n’es pas en mesure de deviner le nombre que j’ai", c'est qu'il sait que S–1 n'est pas un nombre premier.
Mais alors, si Hippolyte (qui connaît le produit P) peut dès lors trouver le nombre de Théophile (la somme S) c'est que, en entendant ce dernier dire "Tu n’es pas en mesure de deviner le nombre que j’ai", il a reçu une information suffisante pour deviner la somme S. Or tout ce qu'il a appris c'est que S–1 n'est pas un nombre premier.
Comment, en sachant cela et en connaissant le produit P, peut-il trouver la somme S?
1 On appellera "les entiers" (et on les notera au besoin x et y) les "nombres choisis par Diophante", pour ne pas confondre avec les "nombres" P et S que connaissent respectivement Hippolyte et Théophile.
Si P est premier, on a vu que S = P + 1 et que donc S – 1 est premier. Il y aurait alors contradiction et donc P n'est pas premier.
Dans le cas le plus simple où P est le produit de deux nombres premiers a et b, la
connaissance du produit conduit aux hypothèses suivantes sur les entiers x et y (à un échange près de x et y) :
x = a y = b; S–1 = a+b–1 x = ab y = 1; S–1 = ab.
Y a-t-il alors une valeur de P qui conduise Hippolyte de manière univoque à la solution S = 666?
Supposons tout d'abord P = 665. Ce nombre se décompose de manière unique en le produit des deux nombres premiers 5 et 133.
La solution x = 5, y = 133 donnerait S–1 = 137, qui est premier et ne convient donc pas.
La solution x = 1, y = 665 donne S–1 = 665, qui n'est pas premier et donc convient.
À titre de vérification, reprenons depuis le début de l'énoncé.
Diophante choisit les deux nombres 1 et 665, puis il donne à Hippolyte leur produit P = 665 et à Théophile leur somme S = 666. Hippolyte sait qu'il a reçu le produit et donc que Théophile a reçu la somme et vice-versa.
Théophile voit que S–1 = 665 n'est pas premier et sait donc que le produit P ne l'est pas car, s'il l'était, Hippolyte saurait que les deux nombres sont 1 et P et connaîtrait donc la somme S.
Mais alors, S–1 = P serait premier.
Mais, en entendant Théophile dire "Tu n’es pas en mesure de deviner le nombre que j’ai"
(c’est-à-dire la somme S), Hippolyte lui aussi comprend que S–1 n'est pas premier. Or, pour Hippolyte, de deux choses l'une :
Ou bien les deux entiers de Diophante sont 5 et 133, mais alors S–1 = 137, qui est premier et ne convient donc pas.
Ou bien les deux entiers de Diophante sont 1 et 665, et alors S–1 = 665, qui n'est pas premier et donc convient.
Conclusion
"Les deux entiers choisis par Diophante sont 1 et 665" est une solution si le dialogue est celui de l'énoncé.
Il n'est pas sûr que nous ayons établi l'unicité de cette solution mais, puisque l'énoncé dit
"Quels sont les deux nombres choisis par Diophante ?", on peut raisonnablement la supposer.
Question 2
On a vu que l'existence de la solution trouvée pour N donné (ci-dessus N = 666) repose sur le fait que, en notant S et P la somme et le produit des deux entiers choisis par Diophante :
N–1 n'est pas premier
N–1 se décompose en le produit de deux nombres premiers a et b tels que a+b–1 soit premier.
Il existe à l'évidence une infinité de nombres N = ab + 1 où a et b sont deux nombres premiers (autant que de couples de nombres premiers a, b). Existe-t-il une infinité de couples de
nombres premiers (a, b) tels que, en outre, a+b–1 soit premier? Oui, presque certainement et l'on doit pouvoir le monter de multiples façons. Il suffit par exemple de prendre b = 3. On a alors, a+b–1 = a+2 avec a premier et il doit être aisé de démontrer que la propriété "si a est premier, a+2 l'est aussi(à partir d’une certaine valeur de a)" est fausse.
Pour trouver les valeurs (ou du moins certaines des valeurs) de N < 100 telles que le même dialogue permette de trouver les deux nombres choisis par Diophante, on peut dresser un tableau croisé de deux nombres premiers a et b tels que leur produit (= N–1) soit < 99 et ne retenir que ceux qui satisfont la condition que a+b–1 soit premier
On trouve les valeurs suivantes de a+b–1pour les couples (a,b) respectifs :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
2 3
3 5 7 13 19 31
5 7 11 17 23
7 11 13 17 19
11 13 17
13 17 19
17 19
19 23
23
29 31
D'où les valeurs de N :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
2 5
3 10 16 34 52 88
5 16 36 66 96
7 36 50 78 92
11 34 78
13 66 92
17 52
19 96
23
29 88
C’est-à-dire (sauf erreur et sans que l'exhaustivité soit garantie) : N = 5, 10, 16, 34,36, 50, 52, 66, 78, 88, 92, 96.
