Si non, trouver l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence de deux nombres cubiques

A561 – Cubes à gogo

Q₁ L’entier 2014 peut-il être égal à la différence de deux nombres cubiques x³ et y³ ? Si oui, déterminer x et y. Si non, trouver l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence de deux nombres cubiques.

Solution par Patrick Gordon

Notons x le plus grand des deux nombres x et y.

Si 2014 = x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²), il faut que (x – y) divise 2014.

On montre aisément que, sous les conditions (x – y) = D et x, y > 0, (x² + xy + y²) a pour minimum D².

Il en résulte, puisque, par construction (x – y) = D, que : (x – y) (x² + xy + y²) ≥ D³

Soit encore, pour que (x – y) (x² + xy + y²) = 2014 : D³ ≤ 2014

Soit enfin ;

D ≤ 12,6285403 soit, en nombres entiers : D ≤ 12.

Seuls les diviseurs 1 et 2 de 2014 satisfont cette condition.

Un rapide examen au moyen d'un tableur montre qu'il n'y a pas de solution, c’est-à-dire que l'entier 2014 ne peut pas être égal à la différence de deux nombres cubiques x³ et y³.

Quant à la solution approchée, le raisonnement ci-dessus reste valable au voisinage de 2014 et par conséquent, il faut la rechercher pour des valeurs de D ≤ 12.

On voit aisément, au moyen de ce même tableur ou par tâtonnements directs que, avec D = 3, la valeur la plus proche de 2014 est 16³ – 13³ = 1899.

Avec D = 4, la valeur la plus proche de 2014 est 15³ – 11³ = 2044.

Avec D = 5, on trouve : 14³ – 9³ = 2015.

On ne saurait trouver une solution plus proche de 2014, mais la question reste posée de savoir si 2013 peut être un éventuel ex-aequo.

Or 2013 se décompose en : 3 × 11 × 61 et donc les seules valeurs de D "candidates" sont 3 et 11. Comme pour 2014, un rapide examen au moyen d'un tableur montre qu'il n'y a pas de solution.

Par conséquent, l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence de deux nombres cubiques est unique et est 2015.

Q₂ Trouver les couples (p, n) avec p nombre premier et n entier naturel ≥1 tel que pⁿ est la somme de deux nombres cubiques.

Commençons par relever deux séries de solutions qui se remarquent sans grand effort.

Tout d'abord, avec p = 2 : 2¹ = 1³+ 1³

Mais aussi, du même coup, pour tout k ≥ 0 : 2^3k+1 = (2^k)³+ (2^k)³

Par ailleurs, avec p = 3 : 3² = 1³+ 2³

Mais aussi, du même coup, pour tout k ≥ 0 : 3^3k+2 = (3^k)³+ (2×3^k)³

Plus généralement, on veut que pⁿ = (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²).

Posons (x + y) = A et (x² – xy + y²) = B.

Pour A donné et x, y > 0, B = (x² – xy + y²) ne peut pas prendre n'importe quelle valeur.

En fonction du seul x, B se réécrit en effet :

B = x² – x (A – x) + (A – x)² = 3x² – 3Ax + A² Pour 0 ≤ x ≤ A, l'expression B varie entre A²/4 et A².

Donc AB = pⁿ varie entre A³/4 et A³. D'où :

1) p^n/3 ≤ A ≤ 4^1/3 p^n/3

Cette double inéquation (1) nous fournit un "filtre" pour la recherche de "candidats" (la condition n'étant que nécessaire).

En effet si, au moyen d'un tableur, on calcule les intervalles ci-dessus pour les premières valeurs de pⁿ, on voit apparaître (mis à part le cas de p = 2, qui est particulier et a été traité ci- dessus) que toutes les puissances 3, 6, 9… de tout nombre premier (≥3) semblent répondre à la question.

Soit en effet à rechercher une décomposition en 2 cubes de p^3k (k entier quelconque).

Posons A = p^k; il en résulte B = p^2k.

Or, on a vu ci-dessus que B = 3x² – 3Ax + A².

Remplaçant A par p^k et B par p^2k, on obtient l'équation en x : p^2k = 3x² – 3 p^k x + p^2k.

Cette équation en x n'a que deux solutions : x = 0

x = p^k, d'où y = 0

Elle ne fournit donc que des solutions dégénérées (non exclues par la lettre de l'énoncé, mais peu conformes à son esprit).

On verra donc apparaître sur le tableau, pour n = 3, la puissance 1 de p puis, pour n = 6, la puissance 2 de p et ainsi de suite, de 3 en 3.

Ces valeurs apparaissent en début de l'intervalle de A car, pour n = 3k, la borne inférieure de l'inéquation (1) est p^n/3 = p^k = A

Or ces intervalles sont disjoints pour p > 3. En effet, la borne supérieure de A³ pour n est [voir inéquation (1)] 4pⁿ, qui est inférieur à la borne inférieure de A³ pour n+1, qui est pⁿ⁺¹, dès lors que p, premier, est > 3.

Il n'y a donc pas d'autres puissances de p susceptibles de donner une solution que celles qui figurent au début des intervalles n = 3k, qui donnent, comme on l'a vu, des solutions dégénérées.

Il n'y a donc pas d'autres solutions que celles relevées plus haut pour p = 2 et p = 3, soit : 2^3k+1 = (2^k)³+ (2^k)³

3^3k+2 = (3^k)³+ (2×3^k)³

Q₃ Trouver le plus grand entier naturel positif qui est égal à la somme des chiffres de son cube.

Bien que le cube n³ d'un nombre n croisse beaucoup plus vite que n, le nombre de chiffres de n³ croît moins vite que n.

Ainsi,

Un nombre compris entre 3 et 4 a un cube de 2 chiffres, soit une somme max. de 18

5 9 3 27

10 21 4 36

22 45 5 45

46 99 6 54

100 214 7 63 Au-delà de n = 99, la recherche est donc inutile.

Un tableur nous donne la réponse :

Le plus grand entier naturel positif qui est égal à la somme des chiffres de son cube est 27, dont le cube vaut 19.683.